1、【E-020】数学(理科)试卷 第 1 页(共 4 页)姓名座位号(在此卷上答题无效)数 学(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷第 1 至第 2 页,第卷第 2 至第 4页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。考生注意事项:1.答题前,考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。2.答第卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。3.答第卷时,必须使用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清晰。作图题可用铅笔在答题卡规定位置绘出,确认后再用 0.5
2、毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效。4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。第卷(选择题 共 60 分)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A=y|y=3x+3,x0,B=x|y=3-x,则 AB=A.(3,2B.2,3C.(3,3D.3,+)2.已知 i 是虚数单位,且 z=2+i1-i-i5,且 z 的共轭复数为 z-,则 zz-=A.2B.5C.2D.123.已知函数 f(x)=log3(x-2),x2f(x+1
3、3),x2,则 f(-2)=A.1B.2C.12D.34.在数学中,泰勒级数用无限项连加式级数来表示一个函数,包括正弦,余弦,正切三角函数等等,其中泰勒级数是以于 1715 年发表了泰勒公式的英国数学家布鲁克泰勒(Sir Brook Taylor)的名字来命名的.1715 年,泰勒提出了一个常用的方法来构建这一系列级数并适用于所有函数,这就是后来被人们所熟知的泰勒级数,并建立了如下指数函数公式:ex=n=0 xnn!=x00!+x11!+x22!+x33!+xnn!,其中xR,nN,n!=1234n,例如:0!=1,1!=1,2!=2,3!=6.试用上述公式估计 e12 的近似值为(精确到 0
4、.001)A.1.601 B.1.642 C.1.648 D.1.6475.对于不重合的直线 m,l 和平面,下列可以推出 成立的是A.ml,m,lB.ml,=l,mC.ml,m,lD.ml,l,m 6.已知单位向量 a 满足等式 2|a|=|b|,|a+2b|=13,则 a 与 b 的夹角为A.30B.60C.90D.120【E-020】数学(理科)试卷 第 2 页(共 4 页)7.已知 f(x)是偶函数,且 x0 时,f(x)=1x-12 x2,若 a=f(lg5),b=f(12),c=f(ln 17),则 a,b,c 的大小关系正确的是A.cabB.bcaC.abcD.ac0)的最小正周
5、期为,把 f(x)的图象向右平移(00,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,其右支上存在一点 M,使得 MF1MF2=0,直线 MF2 平行于双曲线的其中一条渐近线,则双曲线 C 的离心率为A.2B.3C.2 D.5第卷注意事项:第卷共 3 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22 题 第23 题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,请把正确的答案填在横线上.13.2019 年,习近平同志在福建、浙江等地调研期间,提
6、出了“绿水青山就是金山银山”的科学论断,将绿色发展理念贯穿于治国理政思想之中.为了响应中央号召,某日深圳环保局随机抽查了本市市区汽车尾气排放污染物 x(单位:ppm)与当天私家车路上行驶的时间 y(单位:小时)之间的关系,从某主干路随机抽取 10 辆私家车,根据测量数据的散点图可以看出 x 与 y 之间具有线性相关关系,其回归直线方程为 y=0.3x-0.4,若该 10 辆车中有一辆私家车的尾气排放污染物为 6(单位:ppm),据此估计该私家车行驶的时间为小时.14.已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面边长 AB=62,侧棱 AA1=1,则 BD1 与 AA1 所成的角为.15.把
7、(x2-1x)8-n(nN,且 1n4)的展开式中存在常数项,则展开式的二项式系数最大的一项系数为.16.已知函数 f(x)=ex(2x-1),g(x)=k(x-1),(k1),若 f(x)g(x)在 xR 上仅有 3 个整数解,则 k 的取值范围是.【E-020】数学(理科)试卷 第 3 页(共 4 页)三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答应写在答题卡上的指定区域内.17.(本小题满分 12 分)已知 an 是各项均为正数,前 n 项和为 Sn,Sn=-an+b,若 a2a4=14.()求 an 的通项公式;()若 bn=(-1)nlog
8、2an,求 bn 的前 2n+1 项和 T2n+1.ABCDMN第 18 题图18.(本小题满分 12 分)在如图所示的几何体中,底面为平行四边形 ABCD,侧面MAD 是正三角形,CDMD,面 NMAB面 NMDC=MN,AD=2CD=4,AC=2 5,MN=1.()求证:MNMA;()求二面角 M-BD-N 的余弦值.19.(本小题满分 12 分)已知 O 为坐标原点,若斜率为-2 的直线 l 过点 G(0,1),与抛物线 C:y2=2px 交于 A,B 两点,OAOB=-74.()求 p 的值;()若过点 M(2,0)的直线 l0 与抛物线 C 相交于 P,Q 两点,求证:1|PM|2+
9、1|QM|2为定值.50 60 70 80 90 100O（）0 008.0 016.0 024.0 036.第 20 题图20.(本小题满分 12 分)2019 年世界海洋日暨全国海洋宣传日主场活动在海南三亚举行,此次活动主题为“珍惜海洋资源保护海洋生物多样性”,旨在进一步提高公众对节约利用海洋资源、保护海洋生物多样性的认识,为保护蓝色家园做出贡献.联合国于第 63 届联合国大会上将每年的6 月 8 日确定为“世界海洋日”,为了响应世界海洋日的活动,2019年 12 月北京某高校行政主管部门从该大学随机抽取部分大学生进行一次海洋知识测试,并根据被测验学生的成绩(得分都在区间50,100内)绘
10、制成如图所示的频率分布直方图.()试求被测验大学生得分的中位数(保留到整数);()若学生的得分成绩不低于 80 分的认为是“成绩优秀”,现在从认为“成绩优秀”的学生中根据原有分组按照分层抽样的方法抽取 10 人进行奖励,最后再从这 10 人中随机选取 3 人作为优秀代表发言.求所抽取的 3 人不属于同一组的概率;记这 3 人中,为测试成绩在90,100内的人数,求 的分布列和数学期望.【E-020】数学(理科)试卷 第 4 页(共 4 页)21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=lnx+kx+2.()讨论函数 f(x)的单调性;()若函数 g(x)=exax-x+2,当 k=-1 且
11、 0f(x).请考生从第 22、23 题中任选一题做答,并用 2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分.22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程已知直线 l 的参数方程为 x=1+tcosy=-1+tsin(其中 t 为参数),以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为=2sin.()若点 P(x,y)在直线 l 上,且x-y-2x+y=3,求直线 l 的斜率;()若=4,求曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值.23.(本小题满分 10
12、分)选修 4-5:不等式选讲已知 f(x)=|x-1|-|ax-2a|(其中 aR).()若 a=1,求不等式 f(x)=，且1lg51,lnln717=,(ln7)(ln7)cff=，故cab 8.【解析】()2 3sin()6f xx=，由最小正周期可得=2，再由平移可得()2 3sin(22)6g xx=，由3 3()35g=可得3 32 3sin(2)25=，即3cos210=，答案选 A 9.【解析】由条件可知23(1)31,25(1)53nnannbnn=+=+=，215(1)1513ncnn=+=，根据解析式分别求出选项数值可知，仅有 C 项1046137ca=符合题意，答案选
13、C 10.【解析】根据已知条件 当0 x：50,xx eBD1,错；()()5450,05xfxxxexx=+=/或，根据()fx/解析式可知在 x=0 处的切线应该与 x 轴平行，故排除选项 A，答案为 C.11.【解析】我们可以将以 A 为顶点的三棱锥 A-BCD，其侧棱两两互相垂直的三棱锥补形成为一个长方体，将长方体的体对角线求出来就是外接球的直径，令 AB=x,AC=y,AD=z,根据三棱xylMF2F1O锥外接球的表面积为 8，利用球的面积公式求得球半径为：2R=，列式为：2228xyz+=，111222Syzxyxz=+侧面积,由于2222222()4()()()0 xyzSxyy
14、zxz+=+，所以 416S，故4S，故答案为 4 12.【解析】根据120MFMF=，12MFMF，不妨设直线2MF平行于双曲线的渐近线:0l bxay+=，如下面的图形，可知l 的方程为byxa=，且1MFl，从而l 是线段1MF 的垂直平分线，且直线1MF 的方程为()ayxcb=+，设1MF 与l 相交于点()N x y,，由()ayxcbbyxa=+=,得axcabyc=,即()a abNcc,，又1(0)Fc,，由中点公式，得222()aabMcc,，将点 M 的坐标代入22221xyab=中，得2222222()()1aabcccab=，化简，得225ca=，即离心率5cea=故
15、选 D 13.【答案】1.4【解析】由 0.30.4yx=，取6x=，得 0.3 60.41.4y=估计该私家车行驶的时间为 1.4 小时故答案为：1.4 14.【答案】60o【解析】由条件可知易求长方体的对角线，即球的直径 2,11/BBAA，11B BD即为1BD与1AA 所成，且11111cos2BBB BDBD=，1160B BD=，故异面直线所成的角 60o.15.【答案】52【解析】81()2nxx的展开式中第1r+项为81811C()()2rn rrrnTxx+=8342281C(1)2n rnrrrnx=，由34022nr=可得83(0,1,2,3,.,8)nr rn=，由条件
16、可知满足条件的 只 有2,2nr=，则611()2xx的 展 开 式 中，二 项 式 系 数 的 最 大 项 为4T，其 系 数 为333615C(1)22=.16.【答 案】227543kee【解 析】根 据 已 知 条 件：()()f xg x可 得：()()()()()1,0f xg xg xk xk=图像要在直线的下方，下面研究，直线过定点()1,0,容易判断()()00fg 根据()f x 的图像单调性可以判断若()()f xg x在 xR仅有 3 个整数解，则除 0 外，还有两个解应该是-1，-2，从而列式满足的条件为：()()()()3222373475432523fegkkee
17、fegk=。17.【解析】（1）根据已知条件可知：Sn-an+b，从而有：()1,2nnsab n=+作差可得：()1112,22nnnnaaana=，4 分 故有 na是各项均为正数的等比数列，2414a a=2314a=，由 na是各项均为正数可知，312a=，故5312aqa=，故3231()2nnnaa q=；8 分（2）由条件可得12(1)log(1)(2)(1)(2)nnnnnbann+=，21(10)(12)(34)(23)(22)(21)nTnnn+=+211nnn=+=12 分 18.【解析】（1）由 AD=2CD=4,AC=2 5,可知：AD=4,CD=2,ACDRt为，从
18、而可知四边形 ABCD 为矩形，又CDMD，ADMD=D，故有平面 MAD 平面 ABCD，平面 MAD 平面 ABCDAD=,AB 平面 ABCD,AB 平面 MAD，/,AB CD CD 平面 MCD,AB 平面 MCD,/AB 平面 MCD，而平面 MAB 平面 MCDMN=,/MN AB,MN 平面 MAD，又 MA 平面 MAD,MNMA.6分（2）如图，以 AD 的中点为原点，建立空间直角坐标系Oxyz 则(2,2,0),(2,0,0),(0,0,2 3),(0,1,2 3)BDMN，(4,2,0),(2,2,2 3)BDBM=，8 分 设平面 MBD 的一个法向量为1111(,)
19、x y z=n，由1100BDBM=nn可得11111420222 30 xyxyz=+=，令13x=可得1(3,6,3)=n 同理可得，平面 NBD 的一个法向量为2(1,2,0)=n，则1212121515cos,|45 4 3=n nn nnn，即二面角 MBDN的余弦值为15412 分 19.【解析】（1）根据条件可得直线 l 的方程为21yx=+，由2221ypxyx=+可得24(42)10 xp x+=，设1122(,),(,)A x yB xy，则121221;24pxxx x+=，将点 A,B 代入直线方程中可得：12122()2yyxxp+=+=,根据点 A,B 在抛物线上可
20、得：121222y ypxpxp=，则121217,244OA OBx xy yPP=+=6 分（2）设点1(P x，2)y，2(Q x，2)y，显然直线l 的斜率不为 0,直线l 的方程为2xmy=+联立方程224xmyyx=+=，整理可得2480ymy=216(2)0m=+，124yym+=，128y y=，21|1|PMmy=+，22|1|QMmy=+，222221222222222222212121111161622221|(1)(1)(1)64(1)8(1)884yymmmPMQMmymymy ymmm+=+=+，2211|PMQM+为定值.12 分 20.【解析】（1）由频率分步直
21、方图可知，第一组的频率为 0.08，第二组的频率为 0.16，第三组的频率为 0.36，由于 0.080.160.240.5+=，而 0.080.160.360.60.5+=，这组数据的中位数在第三组，即0.50.247010770.36+被测验大学生得分的中位数约为 77 分；4 分（2）认为“成绩优秀”的被测验学生共有两组，其频率分布为 0.24,0.16，根据分层抽样的方法可知，两组抽取的人数分别为 6 人、4 人 从 10 人中任选 3 人，有310C种不同情况，抽取的 3 人不属于同一组的情况有21126464C CC C+,故所抽取的 3 人不属于同一组的概率为2112646431
22、0C CC C4C5P+=；由条件可得 的取值可能有 0,1,2,3，且36310C1(0)C6P =,2164310C C1(1)C2P =，1264310C C3(2)C10P =,34310C1(3)C30P =；的分布列为 0 1 2 3 P 16 12 310 130 的数学期望为113101231.2621030E=+=12 分 21.【解析】（）函数定义域为()0+，/11()kxfxkxx+=+=讨论：当()()/0:()0,0+kfxf x在，递增 当/1110:()0,()0:0;()0:;kfxxfxxfxxkkk 故根据由 故此时11()0+f xkk增区间为：，；减区
23、间为，综上所述：()()0:0+kf x在，递增；当0k，即证xeaxlnx，当 01x，0axlnx，显然成立，当1x 时，0 xlnx，结合已知2102ae 可得，2102axlnxe xlnx，即证220 xelnxx，令22()xeh xlnxx=，则222(1)()xexxh xx=，令2()2(1)xxexx=，则2()21xxxe=，且在(0,)+上单调递增，2(1)10e=，存在0(1,2)x 使得0()0 x=，即02021xx e=，()x在0(1,)x上单调递减，在0(x，)+上单调递增，又 （1）10=，（2）0=，故当(1,2)x时，()0h x，()h x 单调递增
24、，()h xh（2）120ln=，故()0h x，得证()()g xf x12 分 22【解析】（1）设点(1cos,1sin)Ptt+，则2cossinsincos3cossincossinxyttxytt=+，整理可得 2sincos=，即1tan2=,直线 l 的斜率为12.5分（2）曲线 C 的方程可化为22 sin=，化成普通方程可得222xyy+=，即22(1)1xy+=，曲线 C 表示圆心为(0,1)C，半径为 1 的圆，直线 l 的参数方程化成普通方程可得20 xy=，圆心 C 到直线 l 的距离为|012|3 222d=，则曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最大值为 3 2+12.10 分 23.【解析】（1）当1a=时：()|1|2|f xxx=；此时()1f x 化为|1|02|xx 当1x 时，不等式化为()()121,1 1,1xxx+；当12x时，不等式化为()()121,2,12xxxx+；当2x 时，不等式化为()()121xx，解得；综上，()1f x 的解集为|2x x 5 分（2）当 28x 时，()1|(2)f xxax=，由()4f xx 可得|(2)3ax ，当2x=时，不等式显然成立，当 28x，故只需1|2a，即1122a，a 的取值范围是1 1,2 2.10 分