1、福建省莆田市2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1设复数z（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知f（x）是函数f（x）（x21）（x+2）的导函数，则f（1）（）A0B2C4D63某工厂为节能降耗，经过技术改造后，生产某种产品的产量x（单位：吨）与相应的生产能耗y（单位：吨）的对应数据如表：x（吨）3456y（吨）2.5344.5根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为，则b的值为（）A0.3B0.7C3D74已知，则a1+a2+a8（）ABC0D
2、15定义在R上的函数f（x），其导函数为f（x），且函数y（x+1）f（x）的图象如图所示，则（）Af（x）有极大值f（1）和极小值f（1）Bf（x）有极大值f（2）和极小值f（1）Cf（x）有极大值f（1）和极小值f（2）Df（x）有极大值f（2）和极小值f（1）6甲、乙、丙三人互传一个篮球，持球者随机将球传给无球者之一由甲开始持球传递，经过4次传递后，篮球回到甲手上的概率是（）ABCD7数术记遗是算经十书中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数某学习小
3、组有甲、乙、丙三人，该小组要收集九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分配方案种数有（）A38B56C62D808已知a，b，c0，且a2，b3，c5若aln22lna，bln33lnb，cln55lnc，则（）AabcBcbaCacbDbac二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为（）A若A，B是互斥事件，则B若A，B是对立事件，则P（AB）1C若A，B是独立事件，
4、则D若，且，则A，B是独立事件10已知某批零件的质量指标（单位：毫米）服从正态分布N（25.40，2），且P（25.45）0.1，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值不位于区间（25.35，25.45）的产品件数，则（）AP（25.3525.45）0.8BE（X）2.4CD（X）0.48DP（X1）0.51211一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列说法正确的是（）A从中任取3球，恰有一个白球的概率是B从中任取3球，恰有两个白球的概率是C从中任取3球，取得白球个数X的数学期望是1D从中不放回地取3次球，每次任取1球，已知第一次取到红球，则后两次中恰有一次取到红球的概率为
5、12已知x1，x2为函数f（x）x3+ax2+3的两个极值点，直线l过P（x1，f（x1），Q（x2，f（x2）两点，则下列说法正确的是（）Ax0是f（x）的一个极值点B若f（x）的单调递减区间为，则a1C若l的斜率为2，则a3D当a3时，f（x）的图象关于点（1，5）对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13复数z满足，则z 14二项式展开式中x的系数为 15定义在（0，+）上的函数f（x），其导函数为f（x），若xf（x）f（x）0，且f（2）2，则不等式f（x）x的解集是 16已知甲、乙两地相距150km根据交通法规，两地之间的车速应限制在50100km/h假设油价是7元/
6、L，某汽车以xkm/h的速度行驶，其耗油量为，司机每小时的工资是35元如果不考虑其他费用，那么该汽车从甲地到乙地的总费用最低是 元，此时车速是 km/h四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17随着智能手机的日益普飞，中学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件关于加强中小学生手机管理工作的通知，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究性学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对某校100名学生调查得到统计数据如表（
7、其中y4x）不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数34x学习成绩不优秀人数36y合计7030100（1）求x，y的值，并补全表中数据；（2）运用独立性检验思想，能否判断有99%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？参考公式及数据：，其中na+b+c+dP（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818甲、乙两队进行篮球决赛，因为疫情防控需要，取消主客场，两队比赛在某“中立”场馆举行，并采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，快赛结束）根据以往比赛成绩，甲队每场取胜的概率为，且各场
8、比赛结果相互独立（1）求甲队以3：1获胜的概率；（2）据资料统计，组织者在第一场比赛可获得门票收入200万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加50万元，求组织者在此次比赛中获得门票总收入不少于1000万元的概率19从0，1，2，3，4，5，6中任取3个偶数和2个奇数，组成没有重复数字的五位数（1）求其中大于50000且能被5整除的个数；（2）求其中3个偶数从左到右按由小到大排序的个数20已知函数f（x）x（xa）2+b在x1处取得极大值（1）求a的值；（2）若4b0，证明：f（x）有且只有3个零点21消费扶贫是指社会各界通过消费来自贫困地区和贫困人口的产品与服务，帮助贫困人口增收脱贫的一种扶贫
9、方式，是社会力量参与脱贫攻坚的重要途径大力实施消费扶贫，有利于动员社会各界扩大贫困地区产品和服务消费，调动贫困人口依靠自身努力实现脱贫致富的积极性，促进贫困人口稳定脱贫和贫困地区产业持续发展某地为了解消费扶贫对贫困户帮扶情况，随机抽取80户进行调查，并用打分来进行评估，满分为10分下表为80户贫困户所打分数X的频数统计：分数X5678910频数482024168（1）求贫困户所打分数的平均值；（2）从打分不低于8分的贫困户中，用分层抽样的方法随机抽取12户（）分别求抽到打分为8，9，10的贫困户的户数；（）从以上12户中任意抽取两户，记他们所打分数之和为Y，求Y的分布列22已知函数f（x）x2
10、exax2lnx，aR，曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线过点（1）求a的值；（2）若f（x）在xx0处取得最小值，求的值参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1设复数z（其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：z，复数z所对应的点的坐标为（1，1），位于第一象限故选：A2已知f（x）是函数f（x）（x21）（x+2）的导函数，则f（1）（）A0B2C4D6解：f（x）（x21）（x+2），f（x）2x（x+2）+x213x2+4x1，f（1）3+416，故选：D3某工厂为节能降耗，经过技术改造后，生产某种
11、产品的产量x（单位：吨）与相应的生产能耗y（单位：吨）的对应数据如表：x（吨）3456y（吨）2.5344.5根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为，则b的值为（）A0.3B0.7C3D7解：，则样本点的中心的坐标为（4.5，3.5），代入，得3.54.5b+0.35，解得b0.7故选：B4已知，则a1+a2+a8（）ABC0D1解：令x0得a01，令x1得a0+a1+a2+a8（1）4（1+）4（1）（1+）4（12）41，则a1+a2+a80，故选：C5定义在R上的函数f（x），其导函数为f（x），且函数y（x+1）f（x）的图象如图所示，则（）Af（x）有极大值f（1）和极小值
12、f（1）Bf（x）有极大值f（2）和极小值f（1）Cf（x）有极大值f（1）和极小值f（2）Df（x）有极大值f（2）和极小值f（1）解：由题意可得f（2）0，f（1）0，当x2时，x+110，又由图可知y（x+1）f（x）0，所以f（x）0，当2x1时，1x+10，又由图可知y（x+1）f（x）0，所以f（x）0，当1x1时，0x+11，又由图可知y（x+1）f（x）0，所以f（x）0，当1x时，02x+1，又由图可知y（x+1）f（x）0，所以f（x）0，所以f（x）在（，2），（1，+）上单调递增，f（x）在（2，1），（1，1）上单调递减，所以f（x）的极大值为f（2），极小值为f（1
13、），故选：B6甲、乙、丙三人互传一个篮球，持球者随机将球传给无球者之一由甲开始持球传递，经过4次传递后，篮球回到甲手上的概率是（）ABCD解：总的基本事件如图所示，所以总的基本事件数为16种，由甲开始持球传递，经过4次传递后，篮球回到甲手上的基本事件数为6种，所以由甲开始持球传递，经过4次传递后，篮球回到甲手上的概率是故选：C7数术记遗是算经十书中的一部，相传是汉末徐岳所著，该书记述了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数某学习小组有甲、乙、丙三人，该小组要收集九宫算、运筹算、了知算、成数算、
14、把头算5种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分配方案种数有（）A38B56C62D80解：根据题意，甲不收集九宫算和了知算的资料，则甲可以收集其他三种算法中的一种、两种或三种，据此分3种情况讨论：甲收集其他三种算法，丙丁2人收集剩下的2种，有2种分配方案，甲收集其它三种算法中的2种算法，有A18种分配方案，甲收集其它三种算法中的1种算法，有（C+）A42种分配方案，则有2+18+4262种分配方案；故选：C8已知a，b，c0，且a2，b3，c5若aln22lna，bln33lnb，cln55lnc，则（）AabcBcbaCacbDbac解：根据题
15、意，设f（x），其导数f（x），在区间（0，e）上，f（x）0，f（x）为增函数，在区间（e，+）上，f（x）0，f（x）为减函数，其图像草图如图：若aln22lna，bln33lnb，cln55lnc，则，即f（2）f（a），f（3）f（b），f（5）f（c），又由a2，b3，c5则ae，cbe，故有abc，故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为（）A若A，B是互斥事件，则B若A，B是对立事件，则P（AB）1C若A，B是独立事件，则D若，且
16、，则A，B是独立事件解：对于A：A，B是互斥事件，则，故A错误；对于B：A，B是对立事件，由于对立事件为必然事件，则P（AB）P（A）+P（B）1，故B正确；对于C：A，B是独立事件，所以P（）1，所以，故C正确；对于D：若A，B是独立事件，则：，P（B），所以，但是反之不一定成立，故D错误故选：BC10已知某批零件的质量指标（单位：毫米）服从正态分布N（25.40，2），且P（25.45）0.1，现从该批零件中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值不位于区间（25.35，25.45）的产品件数，则（）AP（25.3525.45）0.8BE（X）2.4CD（X）0.48DP（X1）0.51
17、2解：服从正态分布N（25.40，2），P（25.45）P（25.35）0.1，P（25.3525.45）1P（25.45）P（25.35）10.10.10.8，故A选项正确，X表示这3件产品的质量指标值不位于区间（25.35，25.45）的产品件数，即XB（3，0.2），E（X）30.20.6，D（X）30.2（10.2）0.48，故B选项错误，C选项正确，P（X1）1P（X0）1（0.8）30.488，故D选项错误故选：AC11一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，下列说法正确的是（）A从中任取3球，恰有一个白球的概率是B从中任取3球，恰有两个白球的概率是C从中任取3球，取得白球个数X的数
18、学期望是1D从中不放回地取3次球，每次任取1球，已知第一次取到红球，则后两次中恰有一次取到红球的概率为解：从中任取3球，恰有一个白球的概率P，故A选项错误，从中任取3球，恰有两个白球的概率P，故B选项正确，从中任取3球，全为红球的概率P，故X的分布列为：X 0 1 2 P 故E（X），故C选项正确，从中不放回地取3次球，每次任取1球，则第一次取到红球，则后两次中恰有一次取到红球的概率P，故D选项错误故选：BC12已知x1，x2为函数f（x）x3+ax2+3的两个极值点，直线l过P（x1，f（x1），Q（x2，f（x2）两点，则下列说法正确的是（）Ax0是f（x）的一个极值点B若f（x）的单调递
19、减区间为，则a1C若l的斜率为2，则a3D当a3时，f（x）的图象关于点（1，5）对称解：f（x）3x2+2ax，令f（x）0，得x0或x，因为x1，x2为函数f（x）x3+ax2+3的两个极值点，所以0，即a0，所以0，是函数f（x）x3+ax2+3的两个极值点，故A正确；当0，即a0时，在（，0），（，+）上，f（x）0，f（x）单调递增，在（0，）上，f（x）0，f（x）单调递减，若f（x）的单调递减区间为，则，解得a1，故B正确；由上，不妨设x10，x2，所以f（x1）f（0）3，f（x2）f（）（）3+a（）2+3+3，因为直线l过点P（0，3），Q（，+3），所以kPQ，若l的斜率
20、为2，则2，解得a3，故C不正确；当a3时，f（x）x3+3x2+3，所以f（x）+f（2x）x3+3x2+3+（2x）3+3（2x）2+310，所以函数f（x）关于（1，5）对称，故D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13复数z满足，则zi解：设za+bi，a，bR，即，解得a0，b1，zi故答案为：i14二项式展开式中x的系数为10解：设二项式展开式的通项为Tr+1，则Tr+1x2（5r）xrx103r，令103r1得r3，二项式展开式中x的系数为10故答案为：1015定义在（0，+）上的函数f（x），其导函数为f（x），若xf（x）f（x）0，且f（2）2，
21、则不等式f（x）x的解集是 （0，2）解：令（x0），当x0时，xf（x）f（x）0，当x0时，g（x）0，g（x）在（0，+）上单调递减；又f（2）2，当x0时，f（x）x1g（2），解得0x2；f（x）x的解集为（0，2），故答案为：（0，2）16已知甲、乙两地相距150km根据交通法规，两地之间的车速应限制在50100km/h假设油价是7元/L，某汽车以xkm/h的速度行驶，其耗油量为，司机每小时的工资是35元如果不考虑其他费用，那么该汽车从甲地到乙地的总费用最低是 210元，此时车速是 60km/h解：设该汽车从甲地到乙地的总费用为y，则，其中50x100，所以，当且仅当时，即x60时
22、，等号成立，所以汽车从甲地到乙地的总费用最低是210元，此时车速是60km/h故答案为：210，60四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17随着智能手机的日益普飞，中学生使用手机对学校管理和学生发展带来诸多不利影响为保护学生视力，让学生在学校专心学习，防止沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件关于加强中小学生手机管理工作的通知，对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定某研究性学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”，对某校100名学生调查得到统计数据如表（其中y4x）不使用手机使用手机合计学习成绩优秀人数3
23、4x学习成绩不优秀人数36y合计7030100（1）求x，y的值，并补全表中数据；（2）运用独立性检验思想，能否判断有99%的把握认为中学生使用手机对学习有影响？参考公式及数据：，其中na+b+c+dP（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）由题意可知，x+y+34+36100，解得x+y30，又y4x，解得x6，y24，所以列联表如下：不使用手机使用手机 合计学习成绩优秀人数346 40 学习成绩不优秀人数36 2460 合计70 30 100（2）由列联表可知，K2，所
24、以有99%的把握认为中学生使用手机对学习有影响18甲、乙两队进行篮球决赛，因为疫情防控需要，取消主客场，两队比赛在某“中立”场馆举行，并采取五场三胜制（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，快赛结束）根据以往比赛成绩，甲队每场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立（1）求甲队以3：1获胜的概率；（2）据资料统计，组织者在第一场比赛可获得门票收入200万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加50万元，求组织者在此次比赛中获得门票总收入不少于1000万元的概率解：（1）由已知第4场甲队获胜，前3场甲队胜2场负1场，所以甲队以3：1获胜的概率为；（2）因为200+250+3007501000，200+250+
25、300+35011001000，所以要使组织者们获得门票总收入不少于1000万元，本次比赛至少打4场，打4场比赛时，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，所以打4场的概率为P1+；打5场比赛时，前4场甲、乙两队各胜2场，所以打5场的概率为，所以组织者在此次比赛中获得门票总收入不少于1000万元的概率为19从0，1，2，3，4，5，6中任取3个偶数和2个奇数，组成没有重复数字的五位数（1）求其中大于50000且能被5整除的个数；（2）求其中3个偶数从左到右按由小到大排序的个数解：（1）根据题意，分2种情况讨论：5在首位时，其个位数字只能为0，此时有CCA36种选法，即有36个符合题意的五位数，6在
26、首位时，其个位数字能为5或0，若个位为0，有CCA36种选法，若个位为5，有CCA36种选法，此时有36+3672个符合题意的五位数，故共有36+72108个符合题意的五位数；（2）根据题意，分2种情况讨论：选出3个偶数没有0时，有CA60个符合题意的五位数，选出3个偶数含有0时，有4A72个符合题意的五位数，则有60+72132个个符合题意的五位数；故答案为：（1）108，（2）13220已知函数f（x）x（xa）2+b在x1处取得极大值（1）求a的值；（2）若4b0，证明：f（x）有且只有3个零点解：（1）f（x）x（xa）2+bx32ax2+a2x+b，f（x）3x24ax+a2，f（x
27、）在x1处取得极大值，f（1）34a+a20，解得a1或3，当a1时，f（x）3x24x+1（x1）（3x1），当x或x1时，f（x）0，当x1时，f（x）0，f（x）在x1处取得极小值，故舍去；当a3时，f（x）3x212x+93（x1）（x3），同理可得，f（x）在x1处取得极大值，符合题意，故a3，（2）证明：令f（x）x（x3）2+b0，则bx（x3）2x36x2+9x，令h（x）x36x2+9x，则h（x）3x212x+93（x1）（x3），当x1或x3时，h（x）0，当1x3时，h（x）0，h（x）在（，1），（3，+）单调递增，在（1，3）单调递减，h（x）极大值h（1）4，h（
28、x）极小值h（3）0，作图如下：4b0，0b4，由上图可知，当b（0，4）时，yb与h（x）x36x2+9x有且只有3个交点，即f（x）x（x3）2+b有且只有3个零点（证毕）21消费扶贫是指社会各界通过消费来自贫困地区和贫困人口的产品与服务，帮助贫困人口增收脱贫的一种扶贫方式，是社会力量参与脱贫攻坚的重要途径大力实施消费扶贫，有利于动员社会各界扩大贫困地区产品和服务消费，调动贫困人口依靠自身努力实现脱贫致富的积极性，促进贫困人口稳定脱贫和贫困地区产业持续发展某地为了解消费扶贫对贫困户帮扶情况，随机抽取80户进行调查，并用打分来进行评估，满分为10分下表为80户贫困户所打分数X的频数统计：分数
29、X5678910频数482024168（1）求贫困户所打分数的平均值；（2）从打分不低于8分的贫困户中，用分层抽样的方法随机抽取12户（）分别求抽到打分为8，9，10的贫困户的户数；（）从以上12户中任意抽取两户，记他们所打分数之和为Y，求Y的分布列解：（1）由已知条件可得，（2）（i）抽到打分为8的户数为，抽到打分为9的户数为，抽到打分为10的户数为（ii）由题意可得，Y的所有可能取值为16，17，18，19，20，P（Y17），故Y的分布列为：Y 16 17 18 19 20 P 22已知函数f（x）x2exax2lnx，aR，曲线yf（x）在点（1，f（1）处的切线过点（1）求a的值；（
30、2）若f（x）在xx0处取得最小值，求的值解：（1）因为f（x）x2exax2lnx，所以f（1）ea，故曲线yf（x）在点（1，ea）处的切线斜率kf（1）3ea2，又因为曲线yf（x）在点（1，ea）处的切线过点，所以，故3ea23e3a，解得a1故a的值为1（2）当a1时，f（x）x2exx2lnx，令，则，故g（x）在区间（0，+）单调递增，因为，所以存在唯一实数，使得g（x0）0，即，所以，即当x（0，x0）时，g（x）0，从而f（x）0，当x（x0，+）时，g（x）0，从而f（x）0，所以f（x）在区间（0，x0）单调递减，在区间（x0，+）单调递增，故当xx0时，f（x）取得最小值，所以