1、5向心加速度学习目标1.理解向心加速度的概念.2.知道向心加速度和线速度、角速度的关系式.3.能够运用向心加速度公式求解有关问题一、向心加速度的方向1定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫做向心加速度2向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响二、向心加速度的大小1向心加速度公式(1)基本公式an2r.(2)拓展公式anrv.2向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动1判断下列说法的正误(1)匀速圆周运动的加速度的方向始终不变()(2)匀速圆周运动是匀变速运动()(3)匀速圆周运动的加
2、速度的大小不变()(4)根据a知加速度a与半径r成反比()(5)根据a2r知加速度a与半径r成正比()2在长0.2m的细绳的一端系一小球，绳的另一端固定在水平桌面上，使小球以0.6m/s的速度在桌面上做匀速圆周运动，则小球运动的角速度为_，向心加速度为_答案3rad/s1.8 m/s2解析角速度rad/s3 rad/s小球运动的向心加速度anm/s21.8 m/s2.一、向心加速度及其方向如图1甲表示地球绕太阳做匀速圆周运动(近似的)；如图乙表示光滑桌面上一个小球由于细线的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动图1(1)在匀速圆周运动过程中，地球、小球的运动状态发生变化吗？若变化，变化的原因是什么
3、？(2)地球受到的力沿什么方向？小球受到几个力的作用，合力沿什么方向？(3)地球和小球的加速度方向变化吗？匀速圆周运动是一种什么性质的运动呢？答案(1)地球和小球的速度方向不断发生变化，所以运动状态发生变化运动状态发生变化的原因是受到力的作用(2)地球受到太阳的引力作用，方向沿半径指向圆心小球受到重力、支持力、细线的拉力作用，合力等于细线的拉力，方向沿半径指向圆心(3)物体的加速度跟它所受的合力方向一致，所以地球和小球的加速度都时刻沿半径指向圆心，即加速度方向是变化的匀速圆周运动是一种变加速曲线运动对向心加速度及方向的理解(1)向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变(2)向心加速度的作用：
4、向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度的作用只改变速度的方向，对速度的大小无影响(3)圆周运动的性质：不论向心加速度an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动例1下列关于向心加速度的说法中正确的是()A向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢B向心加速度描述线速度方向变化的快慢C在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D匀速圆周运动是匀变速曲线运动答案B解析匀速圆周运动中速率不变，向心加速度只改变速度的方向，A错误，B正确；向心加速度的大小不变，方向时刻变化，故C、D错误二、向心加速度的大小(1)匀速圆周运动的速度方向不断发生变化，
5、如图2所示，经过t时间，线速度由vA变为vB，圆周的半径为r.图2试根据加速度的定义式推导向心加速度大小的公式(2)结合vr推导可得向心加速度与角速度关系的表达式为：an_.(3)有人说：根据an可知，向心加速度与半径成反比，根据an2r可知，向心加速度与半径成正比，这是矛盾的你认为呢？答案(1)如图所示，由于A点的速度vA方向垂直于半径OA，B点的速度vB方向垂直于半径OB，所以AOBCBD，故等腰AOB和CBD相似，根据对应边成比例可得：，由于时间t很短，故弦长AB近似等于弧长，而弧长vAt，所以，根据an得an.(2)由vr，代入an可得an2r.(3)不矛盾说向心加速度与半径成反比是在
6、线速度一定的情况下；说向心加速度与半径成正比是在角速度一定的情况下，所以二者并不矛盾1向心加速度的几种表达式：an2rrv.2向心加速度与半径的关系(如图3所示)图33向心加速度公式也适用于非匀速圆周运动(1)物体做非匀速圆周运动时，加速度不是指向圆心，但它可以分解为沿切线方向的分量和指向圆心方向的分量，其中指向圆心方向的分量就是向心加速度，此时向心加速度仍满足：an2r.(2)无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心加速度都指向圆心例2如图4所示，一球体绕轴O1O2以角速度匀速旋转，A、B为球体上两点，下列几种说法中正确的是()图4AA、B两点具有相同的角速度BA、B两点具有相同的线速度CA
7、、B两点的向心加速度的方向都指向球心DA、B两点的向心加速度之比为21答案A解析A、B为球体上两点，因此，A、B两点的角速度与球体绕轴O1O2旋转的角速度相同，A对；如图所示，A以P为圆心做圆周运动，B以Q为圆心做圆周运动，因此，A、B两点的向心加速度方向分别指向P、Q，C错；设球的半径为R，则A运动的半径rARsin60，B运动的半径rBRsin30，B错；，D错例3如图5所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，主动轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，从动轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径已知r22r1，r31.5r1.A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则点A、B、C的向心加速度之比是(
8、假设皮带不打滑)()图5A123B243C843D362答案C解析由题意可知A点与B点的线速度大小相同，B点与C点的角速度相同根据向心加速度公式an，可得aAaBr2r121.根据向心加速度公式anr2，可得aBaCr2r321.5.由此得aAaBaC843，故选C.讨论圆周运动的向心加速度与线速度、角速度、半径的关系，可以分为两类问题：(1)皮带传动问题，两轮边缘线速度大小相等，常选择公式an.(2)同轴转动问题，各点角速度相等，常选择公式an2r.针对训练如图6所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心加速度大小是12cm/s2，那么小轮边缘上B点的向
9、心加速度大小是多少？大轮上距轴心距离为的C点的向心加速度大小是多少？图6答案0.24m/s20.04 m/s2解析大轮边缘上A点的线速度大小与小轮边缘上B点的线速度大小相等由aA和aB得aBaA24cm/s20.24 m/s2；C点和A点同在大轮上，角速度相同，由aA2R和aC2得aC4cm/s20.04 m/s2.1(向心加速度的概念)(多选)关于向心加速度，以下说法中正确的是()A向心加速度的方向始终与速度方向垂直B向心加速度的方向保持不变C物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心D物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心答案AD解析向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向沿圆周的切线
10、方向，所以向心加速度的方向始终与速度方向垂直，且方向在不断改变物体做匀速圆周运动时，只具有向心加速度，加速度方向始终指向圆心；非匀速圆周运动的加速度不是始终指向圆心，故选A、D.2(向心加速度公式)关于质点的匀速圆周运动，下列说法中正确的是()A由an可知，an与r成反比B由an2r可知，an与r成正比C由vr可知，与r成反比D由2f可知，与f成正比答案D解析质点做匀速圆周运动的向心加速度与质点的线速度、角速度、半径有关但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能给出当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比，对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论
11、，正确答案为D.3(传动装置中的向心加速度)如图7所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是()图7AanCanD2anEBanC2anD2anECanC2anEDanCanE答案C解析同轴转动，C、E两点的角速度相等，由an2r，有2，即anC2anE；两轮边缘点的线速度大小相等，由an，有，即anCanD，故选C.4(向心加速度的计算)滑板运动是深受青少年喜爱的运动，如图8所示，某滑板运动员从B点由静止开始进入半径为2.0m的光滑圆弧轨道，该圆弧轨道在C点与水平光滑
12、轨道相接，求：(不计各种阻力，g10m/s2)图8(1)运动员到达C点的速度；(2)他到达C点前、后瞬间的加速度答案(1)2m/s(2)20 m/s2，方向竖直向上0解析(1)运动员由B到C，只有重力做功，由动能定理mgRmvC2，得到C点速度为vC2m/s.(2)运动员到达C点前的瞬间做圆周运动，加速度大小am/s220 m/s2，方向在该位置指向圆心，即竖直向上运动员到达C点后的瞬间做匀速直线运动，加速度为0.一、选择题考点一向心加速度的理解1关于向心加速度，下列说法正确的是()A由an知，匀速圆周运动的向心加速度恒定B匀速圆周运动不属于匀速运动C向心加速度越大，物体速率变化越快D做圆周运
13、动的物体，加速度时刻指向圆心答案B解析向心加速度是矢量，且方向始终指向圆心，因此向心加速度不是恒定的，所以A错误；匀速运动是匀速直线运动的简称，匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动，存在向心加速度，B正确；向心加速度不改变速率，C错误；只有匀速圆周运动的加速度才时刻指向圆心，D错误2.如图1所示是A、B两物体做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支，由图可知()图1AA物体运动的线速度大小不变BA物体运动的角速度大小不变CB物体运动的角速度大小是变化的DB物体运动的线速度大小不变答案A解析根据an知，当线速度v大小为定值时，an与r成反比，其图象为双曲线的一支；根据an
14、r2知，当角速度大小为定值时，an与r成正比，其图象为过原点的倾斜直线，所以A正确3.如图2所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口在竖直平面内下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么木块()图2A加速度为零B加速度恒定C加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心D加速度大小不变，方向时刻指向圆心答案D解析由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D正确，A、B、C错误考点二向心加速度与其他物理量之间的关系4甲、乙两个物体都做匀速圆周运动，运动半径之比为94，运动的周期之比为34，则它们的向心加速度之比为()A14B41C49D94
15、答案B解析根据题意，由anr得：24，B选项正确5.如图3所示，A、B是两个摩擦传动轮(不打滑)，两轮半径大小关系为RA2RB，则两轮边缘上的()图3A角速度之比AB21B周期之比TATB12C转速之比nAnB12D向心加速度之比aAaB21答案C解析两轮边缘的线速度相等，由知，ABRBRA12，A错由T知，TATBBA21，B错由2n知，nAnBAB12，C对由an知，aAaBRBRA12，D错6(多选)一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为a，那么()A角速度B时间t内通过的路程stC周期TD时间t内可能发生的最大位移为2R答案ABD解析由a2R，得，A正确；由
16、a，得线速度v，所以时间t内通过的路程st，B正确；由a2RR，得T2，C错误；对于做圆周运动的物体而言，位移大小即圆周上两点间的距离，最大值为2R，D正确7.(多选)如图4所示，一个球绕中心轴线OO以角速度做匀速圆周运动，30，则()图4Aa、b两点的线速度相同Ba、b两点的角速度相同Ca、b两点的线速度之比vavb2Da、b两点的向心加速度之比aaab2答案BD解析球绕中心轴线转动，球上各点应具有相同的周期和角速度，即ab，B对因为a、b两点做圆周运动的半径不同，rbra，根据vr知vbva，A错，30，设球半径为R，则rbR，raRcos30R，故，C错又根据an2r知，D对8(多选)如
17、图5所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r13r，r22r，r34r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑向心加速度分别为a1、a2、a3，则下列比例关系正确的是()图5A.B.C.D.答案BD解析由于皮带不打滑，v1v2，由an得，A错，B对由于右边两轮共轴转动，23，由anr2得，C错，D对9(多选)如图6所示，一小物块以大小为an4m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R1m，则下列说法正确的是()图6A小物块运动的角速度为2rad/sB小物块做圆周运动的周期为sC小物块在ts内通过的位移大小为mD小物块在s内通过的路程为零答案AB解析因为an2R
18、，所以小物块运动的角速度为2rad/s，周期Ts，选项A、B正确；小物块在s内转过，通过的位移大小为m，在s内转过一周，通过的路程为2m，选项C、D错误10(多选)一小球质量为m，用长为L的悬线(不可伸长，质量不计)固定于O点，在O点正下方处钉有一颗光滑钉子如图7所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间，则()图7A小球的角速度突然增大B小球的线速度突然减小到零C小球的向心加速度突然增大D小球的向心加速度不变答案AC解析由于悬线与钉子接触时小球在水平方向上不受力，故小球的线速度不能发生突变，由于做圆周运动的半径变为原来的一半，由vr知，角速度变为原来的两倍，A正确，B错
19、误；由an知，小球的向心加速度变为原来的两倍，C正确，D错误二、非选择题11(向心加速度的计算)如图8所示，在男女双人花样滑冰运动中，男运动员以自身为转动轴拉着女运动员做匀速圆周运动若运动员的转速为30r/min，女运动员触地冰鞋的线速度为4.8 m/s，求女运动员做圆周运动的角速度、触地冰鞋做圆周运动的半径及向心加速度的大小(结果保留三位有效数字)图8答案3.14 rad/s1.53 m15.1 m/s2解析男女运动员的转速、角速度是相同的，由2n得23.14 rad/s3.14 rad/s由vr得r m1.53 m由a2r得a3.1421.53 m/s215.1 m/s212(向心加速度的
20、计算)长度为L0.5m的杆、一端固定一小球，另一端固定在转动轴O上，小球绕轴在水平面内匀速转动，杆每隔0.1s转过30，试求：(1)小球运动的线速度和角速度的大小；(2)小球运动的向心加速度大小答案(1)m/srad/s(2)m/s2解析(1)每隔0.1 s转过30，则可知，角速度为： rad/s rad/s；根据角速度与线速度的关系得：vr0.5 m/s m/s；(2)根据向心加速度公式有：an2r20.5 m/s2 m/s2.13.(向心加速度的计算)如图9所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度的大小(重力加速度为g)图9答案2g解析设乙下落到A点所用时间为t，则对乙，满足Rgt2得t，这段时间内甲运动了T，即T又由于an2RR由得，an2g.
