1、章末复习课 整合网络构建警示易错提醒1复数代数形式为zabi，a、bR，应用复数相等的条件时，必须先将复数化成代数形式2复数表示各类数的前提条件是必须是代数形式zabi(a、bR)z为纯虚数的条件为a0且b0，注意虚数与纯虚数的区别3不要死记硬背复数运算的法则，复数加减可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化4a20是在实数范围内的性质，在复数范围内z20不一定成立，|z2|z2.5复数与平面向量相联系时，必须是以原点为始点的向量6不全为实数的两个复数不能比较大小7复平面的虚轴包括原点专题一复数的概念解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁”是设z
2、xyi(x，yR)，依据是“两个复数相等的充要条件”例1(1)已知a，bR，i是虚数单位，若(1i)(1bi)a，则的值为_(2)满足方程x22x3(9y26y1)i0的实数对(x，y)表示的点有_解析：(1)因为(1i)(1bi)a(a，bR)，则1bi(1b)a，因此解得所以2.(2)所以所以点(x，y)为，.答案：(1)2(2)2个归纳升华1当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论，分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数当xyi没有说明x，yR时，也要分情况讨论2复数相等的充要条件，其实质是复数问题实数化，体现了转化与化归的思想变式训练设i是虚数单位，复数为纯虚数，则
3、实数a的值为()A2 B2 C D.解析：，由于该复数为纯虚数，所以2a0，且2a10，因此a2.答案：A专题二复数的四则运算及几何意义历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上，熟练掌握复数的乘法法则和除法法则，熟悉常见的结论是迅速准确求解的关键复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题的求解可结合加法与减法的几何意义进行例2(1)设zi，则|z|_(2)在复平面内，复数z(i为虚数单位)的共轭复数对应点为A，点A关于原点O的对称点为B，求：点A所在的象限；向量对应的复数(1)解析：因为ii.(i)21.所以z1.因此|z| .答案：(2)解：z1i，所以z的共轭
4、复数1i，所以点A(1，1)位于第四象限又点A，B关于原点O对称因为点B的坐标为B(1，1)，则zB1i所以向量对应的复数为zBzA(1i)(1i)22i.归纳升华复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的重点，在四则运算时，不要死记结论对于复数代数形式的加、减、乘运算，要类比多项式的加、减、乘运算进行；对于复数代数形式的除法运算，要类比分式的分母有理化的方法进行另外，在计算时也要注意下面结论的应用：(1)(ab)2a22abb2.(2)(ab)(ab)a2b2.(3)(1i)22i.(4)i.(5)i，i.(6)abii(bai)变式训练已知复数z(12i)(2i).(1)计算复数z；(2)若
5、z2(2a1)z(1i)b160，求实数a，b的值解：(1)由题意得z(12i)(2i)43i43i(2i)62i.(2)因为(62i)2(2a1)(62i)(1i)b160，所以3224i6(2a1)2(2a1)ibbi160，所以2212ab(264ab)i0，所以解得a3，b14.专题三共轭复数与复数的模共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：(1)|z|1z.(2)zRz.(3)z0，z为纯虚数z. 例3已知为纯虚数，且(z1)( 1)|z|2，求复数z.解：由(z1)( 1)|z|2zz1.由于
6、为纯虚数，所以0z10.设zabi(a，bR)，代入得a，a2b21.所以a，b.所以zi.归纳升华共轭复数的性质(1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称(2)实数的共轭复数是它本身，即zzR，利用这个性质可证明一个复数为实数(3)若z0且z0，则z为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数变式训练已知zR，为z的共轭复数，若z3i13i，求z.解：设zabi(a，bR)，则abi(a，bR), 由题意得(abi)(abi)3i(abi)13i，即a2b23b3ai13i，则有解得或所以z1或z13i.专题四数形结合思想复数的几何意义及复数加减运算的几何意义充分体现了数形结合这一
7、重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题熟练掌握复平面内的点、以原点为起点的平面向量和复数三者之间的对应关系，就能有效地利用数形转换来解决实际问题 例4已知复数z的模为1，求|z12i|的最大值和最小值解：因为复数z的模为1，所以z在复平面上的对应点在以原点为圆心，1为半径的圆上又|z12i|z(12i)|可以看成圆上的点Z到点A(1，2)的距离，如图所示所以|z12i|min|AB|OA|OB|1，|z12i|max|AC|OA|OC|1.归纳升华1复数的几何意义主要体现在以下三个方面：(1)复数z与复平面内的点Z及向量的一一对应关系；(2)复数的加减运算与向量的加减运算的对应关系；(3)复数zz0模的几何意义2复数中数形结合的主要应用：(1)复数的加减运算与向量的加减运算的相互转化(2)利用|zz0|判断复数所对应的点的轨迹及轨迹方程，也可以求|z|的最值变式训练已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1sin2i，z2cos2icos 2，其中(0，)，设对应的复数为z.(1)求复数z；(2)若复数z对应的点P在直线yx上，求的值解：(1)由题意得zz2z1cos2sin2(cos 21)i12sin2i.(2)由(1)知，点P的坐标为(1，2sin2)由点P在直线yx上，得2sin2，所以sin2，又(0，)，所以sin 0，因此sin ，所以或.