1、课堂探究探究一 平面向量共线问题利用平面向量坐标表示向量共线，可以将几何证明问题转化为代数运算【例1】 已知A，B，C三点坐标分别为(1,0)，(3，1)，(1,2)，求证证明：设E，F两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题意知：(2,2)，(2,3)，(4，1)，所以，所以(x1，y1)(1,0)，(x2，y2)(3，1)，所以(x1，y1)，(x2，y2)，所以(x2，y2)(x1，y1)因为4(1)0，所以探究二 三点共线问题及其应用利用向量证明三点共线的思路：先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数，使得两个向量共线由于两个向量还过同一点，所以两个向量所在的直线必重合
2、，即三点共线若A，B，C三点共线，则由这三个点组成的任意两个向量共线【例2】 如果向量i2j，imj，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值，使A，B，C三点共线分析：解答本题可直接利用向量共线的条件来求解，也可根据单位向量i，j，利用向量的直角坐标进行运算解：方法一：因为A，B，C三点共线，即，共线，所以存在实数，使得，即i2j(imj)于是所以m2故当m2时，A，B，C三点共线方法二：依题意，知i(1,0)，j(0,1)，则(1,0)2(0,1)(1，2)，(1,0)m(0,1)(1，m)而，共线，所以1m1(2)0所以m2故当m2时，A，B，C三点共线【例3】 已
3、知三点A(0,8)，B(4,0)，C(5，3)，点D在线段AB上，且满足点E在BC上，若BDE的面积是ABC面积的一半，求点E的坐标解：如图，因为=，所以=过点D作BC于点，过点A作BC于点，则，且=于是SBDESABC=所以=从而得=2，即=2因为B(-4,0)，C(5，-3)，设E(x，y)，则(x+4，y)=2(5-x，-3-y)，解得所以E点坐标为(2，-2)【例4】 如图所示，已知直角梯形ABCD，ADAB，AB2AD2CD，过点C作CEAB于点E，M为CE的中点，用向量的方法证明：(1)DEBC；(2)D，M，B三点共线分析：利用向量法证明几何问题，首先是建立适当的直角坐标系，将图
4、中点的坐标转化为向量坐标证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，令|1，则|1，|2因为CEAB，而ADDC，所以四边形AECD为正方形所以可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(1,1)，A(1,0)(1)因为(1,1)(0,0)(1,1)，(0,1)(1,0)(1,1)，所以，所以，即DEBC(2)因为M为EC的中点，所以M，所以(1,1)，(1,0)所以，所以又MD与MB共点于M，所以D，M，B三点共线点评 在建立直角坐标系时，要尽可能使更多的点落在坐标轴上，尽可能使更多的线与x轴、y轴平行探究五 易错辨析易错点：因未分析共线时有同向和反向而致误【例5】 设点A(1,2)，B(n1,3)，C(2，n1)，D(2,2n1)，若向量与共线且同向，则n的值为()A2 B2 C2 D1错解：因为(n,1)，(4，n)，所以由得n240，即n2故选C错因分析：非零向量共线时有同向和反向两种情况，没有进行检验正解：由已知条件得(n,1)，(4，n)，显然n0由与共线得n240，解得n2当n2时，(2,1)，(4,2)，则有2，满足与同向；当n2时，(2,1)，(4，2)，则有2，此时与反向，不符合题意因此，符合条件的只有n2答案：A
