1、第2讲空间中的平行与垂直(建议用时：60分钟)一、选择题1(2013安徽卷)在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析选项A是面面平行的性质定理答案A2(2014济南模拟)已知两条直线a，b与两个平面，b，则下列命题中正确的是()若a，则ab；若ab，则a；若b，则；若，则b.ABCD解析过直线a作平面使c，则ac，再根据b可得bc，从而ba，命题是真命题；下面考虑命题，由b，b，可
2、得，命题为真命题故正确选项为A.答案A3已知，是三个不重合的平面，a，b是两条不重合的直线，有下列三个条件：a，b；a，b；b，a.如果命题“a，b，且_，那么ab”为真命题，则可以在横线处填入的条件是()A或B或C或D只有解析由定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行”可得，横线处可填入条件或，结合各选项知，选C.答案C4已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m的是()A，且mBmn，且nC，且mDmn，且n解析根据定理、性质、结论逐个判断因为，m可能平行、相交、m在面内，故A错误；由线面垂直的性质定理可知B正确
3、；若，m，则m，的位置关系也不确定，故C错误；若mn，n，则m，的位置关系也不确定，故D错误答案B5已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面，给出下列四个命题：若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn；若m，n，且，则mn.其中正确的个数有()A1B2C3D4解析中m，n可能异面或相交，故不正确；因为m，n且成立时，m，n两直线的关系可能是相交、平行、异面，故不正确；因为m，可得出m，再由n可得出mn，故正确；分别垂直于两个垂直平面的两条直线一定垂直，正确故选B.答案B6(2014西安质检)如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将AB
4、D沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析在平面图形中CDBD，折起后仍有CDBD，由于平面ABD平面BCD，故CD平面ABD，CDAB.又ABAD，故AB平面ADC.所以平面ABC平面ADC.D选项正确答案D7(2014四川卷)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O为线段BD的中点设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为，则sin 的取值范围是()A.BC.D解析根据题意可知平面A1BD平面A1ACC1且两平面的交线是A1
5、O，所以过点P作交线A1O的垂线PE，则PE平面A1BD，所以A1OP或其补角就是直线OP与平面A1BD所成的角.设正方体的边长为2，则根据图形可知直线OP与平面A1BD可以垂直当点P与点C1重合时可得A1OOP，A1C12，所以sin 22，所以sin ；当点P与点C重合时，可得sin .根据选项可知B正确答案B二、填空题8(2014衡阳质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_解析如图连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OEBD1，而OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1平面ACE.答案平行9设和为两个不重合的平面，给出下列四个命
6、题：若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于；若外一条直线l与内的一条直线平行，则l和平行；设和相交于直线l，若内有一条直线垂直于l，则和垂直；直线l与垂直的充分必要条件是l与内的两条直线垂直其中为真命题的是_(写出所有真命题的序号)解析由知内两条相交直线分别平行于平面，则两条相交直线确定的平面平行于平面，故为真命题；由线面平行的判定定理知，为真命题；对于，如图，l，a，al，但不一定有，故为假命题；对于，直线l与平面垂直的充分必要条件是l与内的两条相交直线垂直，故为假命题综上所述，真命题的序号为.答案10(2014金丽衢十二校联考)下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N
7、，P分别为其所在棱的中点，能得出直线AB平面MNP的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形序号)解析对于，注意到该正方体的面中过直线AB的侧面与平面MNP平行，因此直线AB平行于平面MNP；对于，注意到直线AB和过点A的一个与平面MNP平行的平面相交，因此直线AB与平面MNP相交；对于，注意到此时直线AB与平面MNP内的一条直线MP平行，且直线AB位于平面MNP外，因此直线AB与平面MNP平行；对于，易知此时AB与平面MNP相交综上所述，能得出直线AB平行于平面MNP的图形的序号是.答案11(2014陕西师大附中模拟)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1
8、D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件_时，有MN平面B1BDD1.解析如图，连接FH，HN，FN，由题意知HN面B1BDD1，FH面B1BDD1.且HNFHH，面NHF面B1BDD1.当M在线段HF上运动时，有MN面B1BDD1.答案M线段HF12如图，在长方形ABCD中，AB2，BC1，E为DC的中点，F为线段EC上一动点现将AFD沿AF折起，使平面ABD平面ABC.在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足设AKt，则t的取值范围是_解析如图，过D作DGAF，垂足为G，连接GK，平面ABD平面ABC，DKAB，DK平面ABC，DKAF.又D
9、GAF，AF平面DKG，AFGK.容易得到，当F运动到E点时，K为AB的中点，tAK1；当F运动到C点时，在RtADF中，易得AF，且AG，GF，又易知RtAGKRtABF，则，又AB2，AKt，则t.t的取值范围是.答案三、解答题13(2014南京模拟)如图，正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，EFBD，ABEF.(1)求证：BF平面ACE；(2)求证：BFBD.证明(1)设AC与BD交于O点，连接EO.在正方形ABCD中，BOAB，又因为ABEF，BOEF，又因为EFBD，四边形EFBO是平行四边形，BFEO，又BF平面ACE，EO平面ACE，BF平面ACE.(2)在正方形AB
10、CD中，ACBD，又因为正方形ABCD和三角形ACE所在的平面互相垂直，BD平面ABCD，平面ABCD平面ACEAC，BD平面ACE，EO平面ACE，BDEO，EOBF，BFBD.14如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，AB2，BAD60.(1)求证：OM平面PAB；(2)求证：平面PBD平面PAC；(3)当四棱锥PABCD的体积等于时，求PB的长(1)证明在PBD中，O，M分别是BD，PD的中点，OM是PBD的中位线，OMPB.OM平面PAB，PB平面PAB，OM平面PAB.(2)证明底面ABCD是菱形，BDAC.P
11、A平面ABCD，BD平面ABCD，PABD.又AC平面PAC，PA平面PAC，ACPAA，BD平面PAC.BD平面PBD，平面PBD平面PAC.(3)解底面ABCD是菱形，AB2，BAD60，S菱形ABCD2ABADsin 60222.四棱锥PABCD的高为PA，2PA，解得PA.又PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.在RtPAB中，PB .15如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，D1D平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB2AD，ADA1B1，BAD60.(1)证明：AA1BD；(2)证明：CC1平面A1BD.证明(1)法一因为D1D平面ABCD，且BD平面ABCD，所
12、以D1DBD.在ABD中，由余弦定理，得BD2AD2AB22ADABcosBAD.又因为AB2AD，BAD60，所以BD23AD2.所以AD2BD2AB2，因此ADBD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1，所以AA1BD.法二因为DD1平面ABCD，且BD平面ABCD，所以BDD1D.如图1，取AB的中点G，连接DG.图1在ABD中，由AB2AD，得AGAD.又BAD60，所以ADG为等边三角形，所以GDGB，故DBGGDB.又AGD60，所以GDB30，所以ADBADGGDB603090，所以BDAD.又ADD1DD，所以BD平面ADD1A1.又AA1平面ADD1A1，所以AA1BD.(2)如图2，连接AC，A1C1.设ACBD于点E，图2连接EA1.因为四边形ABCD为平行四边形，所以ECAC.由棱台的定义及AB2AD2A1B1知，A1C1EC且A1C1EC，所以四边形A1ECC1为平行四边形，因此CC1EA1.又因为EA1平面A1BD，CC1平面A1BD，所以CC1平面A1BD.
