1、高三理科数学试题第 1 页，共 5 页 长安一中 2020 级高三第二次质量检测 数学(理科)试题 一、选择题(共 12 小题，每小题 5 分)1已知复数3iz=（i 为虚数单位），则22zz 的共轭复数的模为（）A1 B 3 C 5 D 72如图是甲、乙两人高考前 10 次数学模拟成绩的折线图，则下列说法正确的是（）A甲的数学成绩最后 3 次逐渐降低B甲的数学成绩在 130 分以上的次数少于乙的数学成绩在 130 分以上的次数C甲有 7 次考试成绩比乙高D甲数学成绩的极差大于乙数学成绩的极差3已知集合204xAx x+=，0,1,2,3,4,5B=，则4,5=（）A()RAB B()RAB
2、C()RBA D()RBA4图形是信息传播互通的重要的视觉语言，画法几何是法国著名数学家蒙日的数学巨著，该书在投影的基础上，用“三视图来表示三维空间中立体图形.即做一个几何体的“三视图”，需要分别从几何体正面、左面、上面三个不同角度观察，从正投影的角度作图.下图中粗实线画出的是某三棱锥的三视图，且网格纸上小正方形的边长为 1，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A26B 27C30D33高三理科数学试题第 2 页，共 5 页 5函数()2sin 2logyxx=的图象大致是（）ABCD6已知在 ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若函数()()3222133f xxbxaca
3、c x=+无极值点，则cosB 的最小值是（）A 6B 14C 12D 137如图，棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论错误的个数是（）平面11D A P 平面1A AP1APD的取值范围是 0,2 三棱锥11BD PC的体积为定值11DCD PA1B2C3D48中国古代数学的瑰宝九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，1AA 垂直于底面，15AA=，底面扇环所对的圆心角为 2，弧 AD 长度是弧 BC长度的 3 倍，2CD=，则该曲池的
4、体积为（）A 92B5C112D10高三理科数学试题第 3 页，共 5 页 9设球O与圆锥1SO 的体积分别为1V，2V，若球O的表面积与圆锥1SO 的侧面积相等，且圆锥1SO的轴截面为正三角形，则12VV 的值是（）A33B 2 33C63D 2 6310设椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点为 F，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,|2|FA FBFBFAFB=，则椭圆C 的离心率的最大值是（）A 13B33C 23D5311已知2()2sin1(0)3f xx=+，给出下列结论：若 f(x1)=1，f(x2)=1，且|x1x2|min=，则=1；存在(0，2)
5、，使得 f(x)的图象向左平移 6 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称；若 f(x)在0，2上恰有 7 个零点，则 的取值范围为 41 47,24 24；若 f(x)在,6 4 上单调递增，则 的取值范围为20,3.其中，所有错误结论的编号是（）ABCD12设0.110.1e,ln0.99abc=，则（）AabcBcbaCcabD acb二、填空题(共 4 小题，每题 5 分)13已知平面向量，满足=(1，1)，|=2，|=2，则与的夹角为_14已知双曲线22 22=1(0,0)的两条渐近线均与圆:(5)2+2=9相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为_15核酸检测是疫情防控的一项
6、重要举措.某相邻两个居民小区均计划在下月的 1 日至 7 日这七天时间内，随机选择其中的连续三天做核酸检测，则恰好仅有一天这两个居民小区同时在做核酸检测的概率为_.16已知 的三边长分别为，角是钝角，则()2 的取值范围是_.高三理科数学试题第 4 页，共 5 页 三、解答题：（一）必考题：共 60 分(每题 12 分)17已知等差数列 na是单调递增数列，22a=，且31a ,45,5a a+成等比数列，nS 是数列 na的前 n 项和.(1)求数列 na的通项公式；(2)设13nnnba a+=，nT 是数列 nb的前n 项和，求nT.18.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD
7、是平行四边形，ABC120，AB1，BC4，PA 15，M，N 分别为 BC，PC 的中点，PDDC，PMMD.(1)证明：CD平面 PDM；(2)求直线 AN 与平面 PBC 所成角的正弦值.19.在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒、保质保量”成为口罩生产线上的重要标语(1)在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检已知批次 I 的
8、成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为1135P=，23113433PP=，求批次 I 成品口罩的次品率1p(2)已知某批次成品口罩的次品率为()01pp，设 100 个成品口罩中恰有 1 个不合格品的概率为()p，记()p的最大值点为0p，改进生产线后批次 J 的口罩的次品率0Jpp=某医院获得批次 I，J 的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示，求0p，并判断是否有 99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？附：()()()()()22n adbcKabcdacbd=+高三理科数学试题第 5 页
9、，共 5 页()2P Kk0.0500.0100.0050.001k3.8416.6357.87910.82820.已知椭圆 C 的一个焦点为(2,0)，椭圆过2(3,2），椭圆 C 的左顶点为 P(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知斜率存在且不为 0 的直线l 过点(1,0)D，设直线l 与椭圆 C 交于 A，B.若直线,PA PB 分别交直线 x=3 于点,M N，且 MRRN=，记直线 AB，RD 的斜率分别为,k k.探究：k k是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由21.已知函数()21,2.71828xf xeaxbxa bR e=为自然对数的底数.(1)设()g x 是
10、函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间0,1 上的最小值；(2)若min1()02ag x=时，证明：当0 x 时，()()2ln1xebxx+（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 44：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系 xOy 中，圆1C 的圆心坐标为()2,2 且过原点，椭圆 E 的参数方程为2cossinxy=（为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()03=.(1)求圆1C 的极坐标方程和曲线2C 的普通方程；(2)若曲线2C 与圆1C 相交于异于原点
11、的点 P，M 是椭圆 E 上的动点，求 OPM 面积的最大值.选修 45：不等式选讲 23.已知函数()221f xxx=+，集合()3Ax f x=.(1)求 A；(2)若,s tA，求证11ttss.2020 级高三第二次质量检测理数答案详解 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C B B A C A D C D B C 二、填空题 13.14.15.16.选填详解：1C【详解】因为 223322i1 2iizz ，所以其共轭复数是12i故选：C 2C【详解】对于 A，由折线图可知最后三次数学成绩逐渐升高，故 A 说法错误；对于 B，甲的数学成
12、绩在 130 分以上的次数为 6 次，乙的数学成绩在 130 分以上的次数为 5次，故 B 说法错误；对于 C,甲有 7 次考试成绩比乙高,故 C 的说法正确；对于 D，由折线图可知，甲乙两人的数学成绩的最高成绩相同，甲的最低成绩为 120 分，乙的最低成绩为 110 分，因此甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差，D 说法错误.3B【详解】因为20(2,4)4xAx x，所以R|2Ax x 或4x.所以R4,5AB 故选：B.4B【详解】依题意，如图，三棱锥 ABCD是给定的三视图对应的三棱锥，其中,AB AC AD 两两垂直，且3ABACAD，三棱锥 ABCD与以,AB AC AD 为棱的正
13、方体有共同的外接球，其直径是该正方体的体对角线，因此，三棱锥的外接球直径22223 3RABACAD，其体积2427VR，故选：B 5A【详解】设2()sin 2logf xyxx，则2()sin2log()fxxxf x，故2()sin 2logf xxx为奇函数，故 C,D 错误；而令2sin 2log0yxx时，在(0,)之间的函数零点有1,2 两个，故 B 错误，故选：A 6C【详解】解：因为 3222133f xxbxacac x，所以222()2fxxbxacac，若()f x 无极值点，即()0fx无变号零点，又二次函数2222yxbxacac开口向上，所以()0fx恒成立，等价
14、为判别式0，即22244()0bacac，得222acbac，所以2221cos22acbBac故选：C 7A【详解】11D A 平面1AA P，平面11D A P 平面1A AP，正确；若 P 是1A B 上靠近1A 的一个四等分点，22129148D P，此时222111152cos458APAAAPAAAP，22211D PAPAD，此时1D PA为钝角，错；由于1/BPCD，则/BP平面11B D C，因此11PB D C的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，正确；而11D CDC，11/D CA B，所以11DCA B，且111DCA D,1111A BA DA，所以1DC 平面
15、11A PD,1D P 平面11A PD，因此11DCD P，正确 故选：A 8D【详解】不妨设弧 AD 所在圆的半径为 R，弧 BC 所在圆的半径为 r，由弧 AD 长度为弧BC 长度的 3 倍可知3Rr，22CDRrr，所以1r ，3R.故该曲池的体积22()5104VRr.故选：D.9C【详解】设球 O 的半径为 R，圆锥 SO1 的底面半径为 r，则圆锥1SO 的母线长 l=2r，由题意得 4R2=rl=2r2，解得2rR，3312223244633133433RRVVrrrr.10D【详解】如图所示：设椭圆的左焦点F，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF 为平行四边形，又0FA FB，
16、即 FAFB，所以平行四边形AFBF 为矩形，所以2ABFFc，设AFn，AFm，在直角 ABF 中，2mna，2224mnc，得22mnb，所以222mncnmb，令 mtn ，得2212tctb，又由2FBFAFB，得1,2mtn ，所以221252,2cttb，所以 2251,4cb，即224 1,9 2ba，所以22251,23cbeaa，所以离心率的取值范围是25,23，故选：D.11B【详解】22()2sin1cos 2sin 2336f xxxx ，()f x 的最小正周期为 22.对于：因为 f(x1)=1，f(x2)=1，且|x1x2|min=，所以()f x 的最小正周期为
17、 T=2，122.故错误；对于：图象变换后所得函数为sin 236yx，若其图象关于 y 轴对称，则 362k，kZ，解得=1+3k，kZ，当 k=0 时，1(0,2).故正确；对于：设26tx，当0,2x时，2,4666tx.()f x 在0,2 上有 7 个零点，即sinyt在,466t 上有 7 个零点.则7486，解得 41472424.故错误；对于：由222,262kxkkZ剟，得,36kkxkZ剟，取 k=0，可得36x剟，若 f(x)在,6 4 上单调递增，则3664，解得203.故正确.故选：B.12C【详解】设()ln(1)(1)f xxx x，因为1()111xfxxx ，
18、当(1,0)x 时，()0fx，当,()0 x 时()0fx，所以函数()ln(1)f xxx在(0,)单调递减，在(1,0)上单调递增，所以1()(0)09ff，所以101ln099，故 110lnln0.999，即bc，所以1()(0)010ff，所以91ln+01010，故1109e10，所以11011e109，故 ab，设()eln(1)(01)xg xxxx，则21 e11()+1 e11xxxg xxxx,令2()e(1)+1xh xx，2()e(21)xh xxx，当021x 时，()0h x，函数2()e(1)+1xh xx单调递减，当211x 时，()0h x，函数2()e(
19、1)+1xh xx单调递增，又(0)0h，所以当021x 时，()0h x，所以当021x 时，()0g x，函数()eln(1)xg xxx单调递增，所以(0.1)(0)0gg，即0.10.1eln0.9，所以ac故选：C.二、填空题 13【详解】因为，所以，因为，所以所以，设夹角为，则由平面向量数量积的定义可得，因为，所以.故答案为：.14【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为，即.由圆 的方程为，得圆心为，半径为.因为右焦点和圆心重合，所以双曲线右焦点的坐标为.又因为双曲线的两条渐近线均与圆相切，所以，即，解得.所以,所以该双曲线的标准方程为.故答案为：.15【详解】在下月的 1 日至
20、 7 日这七天时间内，随机选择其中的连续三天做核酸检测，两个居民小区均有 5 种选择，分别为 1 日至 3 日，2 日至 4 日，3 日至 5 日，4 日至 6 日，5日至 7 日，故总的情况有种，其中这两个居民小区恰好有一天同时在做核酸检测的情况：（123,345），（234,456），（345，567）共有 3 种情况，再进行排列，所以共有种情况，所以恰好仅有一天这两个居民小区同时在做核酸检测的概率为 故答案为：16【详解】的三边长分别为，且角 是钝角，则，当 cb 时，令，当且仅当时取“=”，即，当 cb 时，令，()f t 在上单调递增，即，综上得，所以的取值范围是.故答案为：.三、解
21、答题 17【详解】解：（1）设 na的公差为 0d d，则 121112,21453adadadad2230dd，0d，3d，11a na的通项公式为1134naandn.（2）由（1）得1331134313431nnnba annnn，11111111111113.1122558373434313131nTnnnnnn .18.解析：(1)证明 因为底面 ABCD 是平行四边形，ABC120，BC4，AB1，且 M 为 BC 的中点，所以 CM2，CD1，DCM60，易得 CDDM.又 PDDC，且 PDDMD，PD，DM 平面 PDM，所以 CD平面 PDM.(2)解 因为 PMMD，由(
22、1)知 PMDC，又 MD，DC 平面 ABCD，MDDCD，所以 PM平面 ABCD.连接 AM，则 PMAM.因为ABC120，AB1，BM2，所以 AM 7.又 PA 15，所以 PM2 2.由(1)知 CDDM，过点 M 作 MECD 交 AD 于点 E，则 MEMD.故可以以 M 为坐标原点，MD，ME，MP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(3，2，0)，P(0，0，2 2)，C(3，1，0)，所以 N32，12，2，所以AN3 32，52，2.设平面 PBC 一个法向量为 n(x，y，z).设直线 AN 与平面 PBC 所成的角为，2 3,2,0
23、3,1,2 2BCPC,由00n BCn PC可求出 n(1，3，0).则 sin|cosAN，n|ANn|AN|n|510.故直线 AN 与平面 PDM 所成角的正弦值为510.19.【详解】解：（1）批次成品口罩的次品率为112334333231111135343335pppp （2）100 个成品口罩中恰有 1 个不合格品的概率 991100C1ppp因此 9998981001991100 11 100pppppp令 0p，得0.01p 当0,0.01p时，0p；当0.01,1p时，0p所以 p的最大值点为00.01p 由（1）可知，130.0935p，J00.01pp，故批次 J 口罩
24、的次品率低于批次，故批次 J 的口罩质量优于批次由条形图可建立 22列联表如下：核酸检测结果口罩批次合计IJ呈阳性12315呈阴性285785合计406010022n adbcKabcdacbd210012 5728 340 60 15 85100 600 60020011.76510.82840 60 15 8517因此，有 99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关20.(1)22142xy(2)由题意得直线 l 的方程为：(1)yk x，与椭圆方程联立可得22(1),1,42yk xxy整理得2222(21)4240kxk xk，设1122(,(1),(,(1)A x k
25、xB x k x，则2122421kxxk，21222421kx xk，（8 分）又 P(2,0)，所以直线 PA 的方程为11(1)(2)2k xyxx，令3x，解得115(1)(3,)2k xMx，同理可得，225(1)(3,)2k xNx，设(,)RRR xy.因为 MRRN，所以Rx=3，1212115()222Rxxkyxx，将代入上式并化简可得53Ryk，所以5533 16kkk ，故56k k，为定值21.解析：（1）2xg xfxeaxb 2xg xea当0,1x 时，12,2g xa ea当11202aa时，0gx g x单调递增 m i n01g xgb 当1120222e
26、aeaa时 g x 在0,ln 2a单调递减，在ln 2,1a单调递增 minln 222 ln 2g xgaaaab当202eeaa时，0gx g x单调递减 min12g xgeab综上所述：12a 时，min01g xgb 122ea时，minln 222 ln 2g xgaaaab2ea 时，min12g xgeab（2）由（1）知,当min1()12ag xb 时1b且0 x 时,212xxxe ,即222212xxexxx,要证不等式21 ln(1)xexx,只需证明21ln(1)xexx,只需证明2222ln(1)xxxx,只需证ln(1)22xxx,设2()ln(1)(0)2x
27、F xxxx,则22214()(0)1(2)(1)(2)xF xxxxxx,所以当0 x 时,0Fx恒成立,故 F x 在0,上单调递增,又 00F 0F x恒成立,原不等式成立22解析（1）依题意：圆1C 的半径2220202 2r，所以，圆1C 的标准方程为：22228xy，得22440 xyxy，由222xy，cosx，siny，得1C 的极坐标方程为4sin4cos，由03，得2C 的普通方程为300 xyx；（2）由（1）知1C 的极坐标方程为4sin4cos，2C 的普通方程为300 xyx，将03代入4sin4cos得2 32，2 32OP.设2cos,sinM，则 M 到2C 的距离222 3cossin13sin231d（其中3tan6 ）,132d，当sin1 时，等号成立，maxmax133 1111323 12222OPMSOP d23.解析（1）函数141,21()2211,021 4,0 xxf xxxxx x，当 3f x 时，112x，所以112Axx.（2）证明：因为,s tA，所以1,12s t，所以22222222211111110tttttssssss，所以2211ttss，故11ttss
