1、高三文科数学试卷第 1 页，共 5 页 长安一中 2020 级高三第二次质量检测 数学（文科）试题 一、选择题（每题 5 分，共 60 分）1已知复数3iz=（i 为虚数单位），则22zz 的共轭复数的模是（）A1 B 3 C 5 D 7 2如图是甲、乙两人高考前 10 次数学模拟成绩的折线图，则下列说法正确的是（）A甲的数学成绩最后 3 次逐渐降低 B甲的数学成绩在 130 分以上的次数少于 乙的数学成绩在 130 分以上的次数 C甲有 7 次考试成绩比乙高 D甲数学成绩的极差大于乙数学成绩的极差 3已知集合204xAx x+=，0,1,2,3,4,5B=，则4,5=（）A()RAB B()
2、RAB C()RBA D()RBA 4图形是信息传播互通的重要的视觉语言，画法几何是法国著名数学家蒙日的数学巨著，该书在投影的基础上，用“三视图来表示三维空间中立体图形.即做一个几何体的“三视图”，需要分别从几何体正面、左面、上面三个不同角度观察，从正投影的角度作图.下图中粗实线画出的是某三棱锥的三视图，且网格纸上小正方形的边长为 1，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A26 B 27 C30 D33 高三文科数学试卷第 2 页，共 5 页 5函数()2sin 2logyxx=的图象大致是（）A B C D 6已知在 ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若函数()()322
3、2133f xxbxacac x=+无极值点，则cosB 的最小值是（）A 6 B 14 C 12 D 13 7如图，棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，P 为线段1A B上的动点（不含端点），则下列结论错误的个数是（）平面11D A P 平面1A AP 1APD的取值范围是 0,2 三棱锥11BD PC的体积为定值 11DCD P A1 B2 C3 D4 8中国古代数学的瑰宝九章算术中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）现有一个如图所示的曲池，1AA 垂直于底面，15AA=，底面扇环所对的圆心角为 2，弧 AD长度是
4、弧 BC 长度的 3 倍，2CD=，则该曲池的体积为（）A 92 B5 C112 D10 高三文科数学试卷第 3 页，共 5 页 9设球O与圆锥1SO 的体积分别为1V，2V，若球O的表面积与圆锥1SO 的侧面积相等，且圆锥1SO的轴截面为正三角形，则12VV 的值是（）A33 B 2 33 C63 D 2 63 10设椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点为 F，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,|2|FA FBFBFAFB=，则椭圆C 的离心率的最大值是（）A 13 B33 C 23 D53 11已知2()2sin1(0)3f xx=+，给出下列结论：若 f(x1
5、)=1，f(x2)=1，且|x1x2|min=，则=1；存在(0，2)，使得 f(x)的图象向左平移 6 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称；若 f(x)在0，2上恰有 7 个零点，则 的取值范围为 41 47,24 24；若 f(x)在,6 4 上单调递增，则 的取值范围为20,3.其中，所有错误结论的编号是（）A B C D 12设0.110.1e,ln0.99abc=，则（）Aabc Bcba Ccab D acb 二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13已知平面向量，满足=(1，1)，|=2，|=2，则与的夹角为_ 14.从1,4,9,16,25中任取两个数，它们均小于这五个数
6、的平均数的概率是_ 15已知双曲线22 22=1(0,0)的两条渐近线均与圆:(5)2+2=9相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为_ 16已知 的三边长分别为，角是钝角，则()2 的取值范围是_.三、解答题：高三文科数学试卷第 4 页，共 5 页（一）必考题：每题 12 分，共 60 分 17已知等差数列 na是单调递增数列，22a=，且31a ，45,5a a+成等比数列，nS 是数列 na的前n 项和.(1)求数列 na的通项公式；(2)设13nnnba a+=，nT 是数列 nb的前n 项和，求nT.18.如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 为边长为 4 的菱形，60
7、DAB=，13PAPD=，E 为 AB 的中点，O 为 AD 的中点，PEAC.（1）证明：ACPO.（2）求点 O 到平面 PBD 的距离.19为了解某高校学生中午午休时间玩手机情况，随机抽取了 100 名大学生进行调查下面是根据调查结果绘制的学生日均午休时玩手机时间的频率分布直方图：将日均午休时玩手机不低于40 分钟的学生称为“手机控”非手机控 手机控 合计 男 x m n 女 y 10 55 合计 _ _ _ (1)求列表中数据,x y m n 的值；(2)能否有95%的把握认为“手机控”与性别有关？独立性检验临界值表：参考公式及数据：22()()()()()n adbcKab cd a
8、c bd=+，其中nabcd=+()20P Kk 0.05 0.01 0.005 0.001 0k 3.841 6.635 7.879 10.828 高三文科数学试卷第 5 页，共 5 页 20.已知椭圆 C 的一个焦点为(2,0)，椭圆过2(3,2），椭圆 C 的左顶点为 P (1)求椭圆 C 的方程；(2)已知斜率存在且不为 0 的直线l 过点(1,0)D，设直线l 与椭圆 C 交于 A，B.若直线,PA PB 分别交直线 x=3 于点,M N，且 MRRN=，记直线 AB，RD 的斜率分别为,k k.探究：k k是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由 21.已知函数()21,2
9、.71828xf xeaxbxa bR e=为自然对数的底数(1)设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间0,1 上的最小值。(2)若min1()02ag x=时，证明：当0 x 时，()()2ln1xebxx+选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 44：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系 xOy 中，圆1C 的圆心坐标为()2,2 且过原点，椭圆 E 的参数方程为2cossinxy=（为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为()03=.(1)求圆1C
10、的极坐标方程和曲线2C 的普通方程；(2)若曲线2C 与圆1C 相交于异于原点的点 P，M 是椭圆 E 上的动点，求 OPM 面积的最大值.选修 45：不等式选讲 23.已知函数()221f xxx=+，集合()3Ax f x=(1)求 A；(2)若,s tA，求证11ttss。参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C B B A C A D C D B C 13.4 14.310 15.221169xy 16.21(1,2 三、解答题 17【详解】解：（1）设 na的公差为 0d d，则 121112,21453adadadad2230d
11、d，0d，3d，11a na的通项公式为1134naandn.（2）由（1）得1331134313431nnnba annnn，11111111111113.1122558373434313131nTnnnnnn 18.【详解】（1）证明：如图，连接 OE.因为底面 ABCD 是菱形，所以 ACBD.又 OE 为ABD的中位线，所以OEBD，从而 ACOE.因为 PEAC，PEOEE，所以 AC 平面 POE，所以 ACPO.（2）解：因为 PO 是等腰三角形 PAD 的中线，所以 POAD，由（1）知 ACPO，所以 PO 平面 ABCD，1343PO.由题可知点 O 到平面 PBD 的距离
12、等于点 A 到平面 PBD 距离的一半.设点 A 到平面 PBD 的距离为 h，在ABD中，4BD，13PD，222 3321PB，可求1cos13PDB，2 3sin13PDB，所以12 34134 3213PBDS.易求134 44 322 ABDS.由A PBDP ABDVV，得 114 34 3 333h，解得3h.故点 O 到平面 PBD 的距离为 32.19.(1)解：由频率分布直方图可知，在抽取的 100 人中，“手机控”有：100（0.2+0.05）25 人，非手机控 75 人，x30，y45，m15，n45；(2)：由（1）可得 22 列联表如下：非手机控 手机控 合计 男
13、30 15 45 女 45 10 55 合计 75 25 100 所以 K22100(30 10 15 45)45 55 75 253.0303.841，所以没有 95%把握认为“手机控”与性别有关.20.(1)22142xy(2)由题意得直线 l 的方程为：(1)yk x，与椭圆方程联立可得22(1),1,42yk xxy 整理得2222(21)4240kxk xk，设1122(,(1),(,(1)A x k xB x k x，则2122421kxxk，21222421kx xk，（8 分）又 P(2,0)，所以直线 PA 的方程为11(1)(2)2k xyxx，令3x，解得115(1)(3
14、,)2k xMx，同理可得，225(1)(3,)2k xNx，设(,)RRR xy.因为 MRRN，所以Rx=3，1212115()222Rxxkyxx，将代入上式并化简可得53Ryk，所以5533 16kkk ，故56k k，为定值 21.解析：（1）2xg xfxeaxb 2xg xea 当0,1x 时，12,2g xa ea 当11202aa时，0gx g x单调递增 min0g xgb 当1120222eaeaa时 g x 在0,ln 2a单调递减，在ln 2,1a单调递增 minln 222 ln 2g xgaaaab 当202eeaa时，0gx g x单调递减 min12g xge
15、ab 综上所述：12a 时，min01g xgb 122ea时，minln 222 ln 2g xgaaaab 2ea 时，min12g xgeab（2）由（1）知,当min1()12ag xb 时 1b且0 x 时,212xxxe ,即222212xxexxx,要证不等式21 ln(1)xexx,只需证明21ln(1)xexx,只需证明2222ln(1)xxxx,只需证ln(1)22xxx,设2()ln(1)(0)2xF xxxx,则22214()(0)1(2)(1)(2)xF xxxxxx,所以当0 x 时,0Fx恒成立,故 F x 在0,上单调递增,又 00F 0F x恒成立,原不等式成
16、立 22解析（1）依题意：圆1C 的半径2220202 2r，所以，圆1C 的标准方程为：22228xy，得22440 xyxy，由222xy，cosx，siny，得1C 的极坐标方程为4sin4cos，由03，得2C 的普通方程为300 xyx；（2）由（1）知1C 的极坐标方程为4sin4cos，2C 的普通方程为300 xyx，将03代入4sin4cos得2 32，2 32OP.设2cos,sinM，则 M 到2C 的距离222 3cossin13sin231d（其中3tan6 ）,132d，当sin1 时，等号成立，maxmax133 1111323 12222OPMSOP d 23.解析（1）函数141,21()2211,021 4,0 xxf xxxxx x，当 3f x 时，112x，所以112Axx.（2）证明：因为,s tA，所以1,12s t，所以22222222211111110tttttssssss，所以2211ttss，故11ttss