1、21.2指数函数及其性质第1课时指数函数的图象及性质内容标准学科素养1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法2能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质.提升数学运算发展逻辑推理应用直观想象授课提示：对应学生用书第38页基础认识知识点一指数函数的定义观察下列从数集A到数集B的对应：AR，BR，f：xy2x；AR，B(0，)，f：xyx.(1)这两个对应能构成函数吗？提示：能(2)这两个函数有什么特点？提示：底数是常数，指数是自变量 知识梳理一般地，函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.思考：指数函数的定义中为什么
2、规定a0且a1?提示：指数函数中规定a0，且a1的原因(1)如果a0，当x0时，ax恒等于0；当x0时，ax无意义(2)如果a0且a1.知识点二指数函数的图象与性质(1)试作出函数y2x(xR)和yx(xR)的图象提示：如图所示：(2)两函数图象有无交点？提示：有交点，其坐标为(0,1)(3)两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？提示：定义域都是R；值域都是(0，)；函数y2x是增函数，函数yx是减函数知识梳理a10a1图象性质定义域R值域(0，)过定点过点(0,1)，即x0时，y1单调性是R上的增函数是R上的减函数自我检测1下列函数中是指数函数的是()Ay5x1Byx4Cy3x Dy
3、23x解析：形如yax(a0且a1)的函数是指数函数只有C选项符合，故选C.答案：C2函数yax1(a0且a1)的图象一定过点_解析：当x10，即x1时，y1，图象一定过点(1,1)答案：(1,1)3已知函数y(a1)x是指数函数，且当x1，则实数a的取值范围是_解析：x1，0a11即1a0且a1)解析式的结构特征：(1)底数：大于零且不等于1的常数；(2)指数：系数为1的一次单项式x；(3)系数：ax的系数为1.跟踪探究1.若函数y(a23a3)ax是指数函数，则实数a_.解析：由题意可知解得故a2.答案：2探究二指数函数的图象例2(1)函数y3x的图象是()(2)函数yax13(a0)的图
4、象恒过定点坐标是()A(1，3)B(1，2)C(2，3) D(2，2)解析(1)y3x即yx，在(，)上是减函数，且过定点(0,1)，故选B.(2)令x10，得x1，此时ya03132，函数yax13恒过定点(1，2)故选B.答案(1)B(2)B方法技巧1.可用指数函数的图象过定点(0,1)，结合指数函数的性质如单调性、值域等处理指数函数的图象问题2要求指数型函数图象所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点3指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小(2)在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小(
5、3)无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大这一性质可通过x取1时函数值的大小关系去理解，如下图所示的指数函数的底数的大小关系为0dc1ba.跟踪探究2.已知0a1，b1，则函数yaxb的图象必定不经过()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析：函数yax(0a1)在R上单调递减，图象过定点(0,1)，所以函数yaxb的图象在R上单调递减，且过点(0,1b)因为b1，所以点(0,1b)在y轴负半轴上，故图象不经过第一象限答案：A探究三指数函数的定义域、值域问题例3求下列函数的定义域和值域：(1)y；(2)y；(3)y4x2x12.解析(1)要使函数式有意义，则13x0，即3x1
6、30，因为函数y3x在R上是增函数，所以x0，故函数y的定义域为(，0因为x0，所以03x1，所以013x0，所以4x2x12(2x)222x2(2x1)21112，即函数y4x2x12的值域为(2，)延伸探究1.若本例(1)的函数换为“y”，求其定义域解析：由x10得x0，x0，即函数的定义域为(，02若本例(3)的函数增加条件“0x2”，再求函数的值域解析：0x2，12x4，y4x2x12(2x)222x2(2x1)21.令2xt，则t1,4，且f(t)(t1)21，易知f(t)在1,4上单调递增，f(1)f(t)f(4)，即5f(t)26，即函数y4x2x12的值域为5,26方法技巧求与
7、指数函数有关的函数的值域时，要注意与求其他函数(如一次函数、二次函数)值域的方法相结合，要注意指数函数的值域为(0，)，切记准确运用指数函数的单调性授课提示：对应学生用书第40页课后小结1判断一个函数是否是指数函数，关键是看解析式是否符合yax(a0，且a1)这一结构形式2指数函数yax(a0，且a1)的单调性取决于底数a，分底数a1,0a1两种情况3由于指数函数yax(a0，且a1)的定义域为R，即xR，所以函数yaf(x)(a0且a1)与函数f(x)的定义域相同4求函数yaf(x)(a0，且a1)的值域的方法如下：(1)换元，令tf(x)，并求出函数tf(x)的定义域；(2)求tf(x)的值域tM；(3)利用yat的单调性求yat在tM上的值域素养培优换元时忽略中间变量的范围导致错误求函数yxx1的值域易错分析：令tx，则原函数可化为yt2t12，当t时，ymin，即函数的值域是.自我纠正：令tx，t(0，)，则原函数可化为yt2t12.因为函数y2在(0，)上是增函数，所以y21，即原函数的值域是(1，)