1、4.2.2圆与圆的位置关系4.2.3直线与圆的方程的应用1掌握圆与圆的位置关系及判定方法(重点、易错点)2能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题(难点)基础初探教材整理1圆与圆位置关系的判定阅读教材P129至P130“练习”以上部分，完成下列问题1几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系dr1r2dr1r2|r1r2|dr1r2d|r1r2|0d|r1r2|2.代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断一元二次方程两圆x2y29和x2y28x6y90的位置关系是()A外离B相交C内
2、切D外切【解析】两圆x2y29和x2y28x6y90的圆心分别为(0,0)和(4，3)，半径分别为3和4.所以两圆的圆心距d5.又43534，故两圆相交【答案】B教材整理2直线与圆的方程的应用阅读教材P130“练习”以下至P132“练习”以上部分，完成下列问题用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A1.4米B3.5米C3.6米D2米【解析】建立如图所示的平面直角坐标系如图，设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h3.6)半圆所在圆的方程为：x2(y3.6)23.62，把A(0.8，h3.6)
3、代入得0.82h23.62，h43.5(米)【答案】B小组合作型圆与圆位置关系的判定当实数k为何值时，两圆C1：x2y24x6y120，C2：x2y22x14yk0相交、相切、相离？【精彩点拨】【自主解答】将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x2)2(y3)21，C2：(x1)2(y7)250k.圆C1的圆心为C1(2,3)，半径r11；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2(k50)从而|C1C2|5.当15，k34时，两圆外切当|1|5，6，k14时，两圆内切当|r2r1|C1C2|r2r1，即14k34时，两圆相交当15或|1|5，即0k14或34k50时，两圆相离1判断两圆的位置关系
4、或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1r2，|r1r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合2应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系再练一题1已知圆C1：x2y22ax2ya2150，圆C2：x2y24ax2y4a20(a0)试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含【解】圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(xa)2(y1)216，C2：(x2a)2(y1)
5、21，圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r14，r21.|C1C2|a.(1)当|C1C2|r1r25，即a5时，两圆外切；当|C1C2|r1r23，即a3时，两圆内切(2)当3|C1C2|5，即3a5时，两圆相交(3)当|C1C2|5，即a5时，两圆外离(4)当|C1C2|3，即a3时，两圆内含两圆相交有关问题求圆C1：x2y21与圆C2：x2y22x2y10的公共弦所在直线被圆C3：(x1)2(y1)2所截得的弦长【精彩点拨】【自主解答】设两圆的交点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标是方程组的解，两式相减得xy10.因为A，B两点的坐标满足 xy10，所以
6、AB所在直线方程为xy10，即C1，C2的公共弦所在直线方程为xy10，圆C3的圆心为(1,1)，其到直线AB的距离d，由条件知r2d2，所以直线AB被圆C3截得弦长为2.1圆系方程一般地过圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆的方程可设为：x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(1)，然后再由其他条件求出，即可得圆的方程2两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1D2)x(E1E2)yF1F20.3公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方
7、程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解再练一题2求两圆x2y22x10y240和x2y22x2y80的公共弦所在直线的方程及公共弦长【解】联立两圆的方程得方程组两式相减得x2y40，此为两圆公共弦所在直线的方程法一：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组解得或所以|AB|2，即公共弦长为2.法二：由x2y22x10y240，得(x1)2(y5)250，其圆心坐标为(1，5)，半径长r5，圆心到直线x2y40的距离为d3.设公共弦长为2l，由勾股定理得r2d2l2，即50(3)
8、2l2，解得l，故公共弦长2l2.探究共研型直线与圆的方程的应用探究1设村庄外围所在曲线的方程可用(x2)2(y3)24表示，村外一小路方程可用xy20表示，你能求出从村庄外围到小路的最短距离吗？【提示】从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，3)到直线xy20的距离减去圆的半径2，即22.探究2已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，请建立适当的坐标系，用坐标法求B城市处于危险区内的时间【提示】如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系射线AC为xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动则点B到AC的
9、距离为20千米，则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为220(千米)所以B城市处于危险区内的时间为t1(小时)为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图421)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离图421【精彩点拨】建立适当坐标系，求出圆O的方程和直线BC的方程，再利用直线与圆的位置关系求解【自主解答】以O为坐标原点，过OB，OC的直线分别为x轴和y轴，
10、建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2y21，因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为1，即xy8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆的切点处时，DE为最短距离此时DE长的最小值为1(41) km.解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤再练一题3一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？【解】以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，则受台
11、风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2y29，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为1，即4x7y280.圆心(0,0)到航线4x7y280的距离d，而半径r3，dr，直线与圆外离，所以轮船不会受到台风的影响1圆O1：x2y22x0和圆O2：x2y24y0的位置关系为()A外离B相交C外切D内切【解析】圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径长r11；圆O2的圆心坐标为(0,2)，半径长r22；1r2r1|O1O2|r1r23，即两圆相交【答案】B2圆x2y22x50和圆x2y22x4y40的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程
12、为()Axy10B2xy10Cx2y10Dxy10【解析】所求直线即两圆圆心(1,0)、(1,2)连线所在直线，故由，得xy10.【答案】A3圆C1：(xm)2(y2)29与圆C2：(x1)2(ym)24外切，则m的值为_. 【解析】C1(m，2)，r13，C2(1，m)，r22，由题意得|C1C2|5，即(m1)2(m2)225，解得m2或m5.【答案】2或54已知两圆x2y210和(x1)2(y3)220相交于A、B两点，则直线AB的方程是_【解析】过两圆交点的直线就是两圆公共弦所在直线，因此该直线方程为：x2y210(x1)2(y3)2200，即x3y0.【答案】x3y05求经过两圆x2y26x40和x2y26y280的交点且圆心在直线xy40上的圆的方程【解】法一：解方程组得两圆的交点A(1,3)，B(6，2)设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线xy40上，故ba4.则有，解得a，故圆心为，半径为.故圆的方程为22，即x2y2x7y320.法二：圆x2y26y280的圆心(0，3)不在直线xy40上，故可设所求圆的方程为x2y26x4(x2y26y28)0(1)，其圆心为，代入xy40，求得7.故所求圆的方程为x2y2x7y320.