1、2021 年锦州市普通高中高三质量检测数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。CABADCBA二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。9.BD 10.ACD 11.AC 12.BC 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.103 14满足22(094xy 为实数且）的标准方程均可，例如：22194xy，22149yx 等等15 540，2079（第一空
2、 2 分，第二空 3 分）16.4 155四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本题满分 10 分）解：选条件：sin2sinBA（1）在ABC中，sin2sinBA，所以由正弦定理 sinsinbaBA得2ba.2 分 由余弦定理知222cos2bcaAbc，又3c，7cos8A，所以22497128aaa .3 分 即22760aa，解得2a 或32a 当32a 时，23bac，与题意矛盾 当2a 时，24bac，符合题意，所以4b .5 分（2）因为7cos8A，(0,)A，所以15sin8A.7 分 所以11153 15sin4 3
3、2284ABCSbcA .10 分 选条件：sinsin2sinABC（1）在ABC中，sinsin2sinABC，所以由正弦定理 sinsinsinabcABC得2abc .2 分 由余弦定理知222cos2bcaAbc，又3c，7cos8A，所以229(6)768bbb .3 分 解得4b .5 分（2）因为7cos8A，(0,)A，所以15sin8A .7 分所以11153 15sin4 32284ABCSbcA .10 分 18.（本题满分 12 分）解：（1）设等差数列 na的公差为d，因为5107126aaa 所以111412(696)addaad .1 分 解得14,2ad，所以
4、22nan .2 分 设等比数列 nb的公比为 q，因为51411baba所以131432b qb .3 分 解得14,2bq，所以12nnb .4 分 （2）由（1）知22nan，12nnb所以2(1)2nnnabn.5 分 所以345122 23 24 22(1)2nnnSnn .6 分 所以6452322 23 24 22(1)2nnnSnn .7 分 两式相减得：33452322222(1)2nnnSn .8 分 332(1 2)81(1)22nnn .9 分 333(1)222nnnnn .10 分 所以 32nnSn.12 分 19.（本题满分 12 分）（1）证明：设11ACAC
5、O，因为侧面11ACC A 为平行四边形，所以O 为线段1AC 的中点，.1 分 连接OD，因为 D 为 AB 的中点，所以1ODBC，.2 分 因为OD 平面1ACD，1BC 平面1ACD，.3 分 所以1BC平面1ACD.4 分 （2）解法（一）：以 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz，则111,0,0,0,3,0,0,3,3,1,0,3BCCA，.6 分 所以1111,3,0,1,3,3,1,3,0ACBCBC ，设面11A BC 的法向量为,mx y z，则1110AC mBC m，即3330 xyxyz ，令3x，得3,3,2m，.8 分 设面1BCC 的法向量为
6、,na b c，则10BC nBC n，即3330ababc 令1b ，得3,1,0n.10 分 所以2 33cos,2 44m nm nm n .11 分 zyxC1A1B1ODBACB1A1C1EDBACF由图可知，二面角11ACBC为钝角，故二面角11ACBC的余弦值为34.12 分解法（二）：取线段11B C 中点 E，连接1A E，因为此三棱柱为正三棱柱，底面为正三角形且底面与侧面垂直，所以111A EB C，又1111111A B CBCC BB C平面平面，则111A EBCC B 平面，.6 分 过点 E 作1EFBC于 F，所以1A EEF，.7 分 连接1A F，则 EF
7、是1A F 在11BCC B平面内的射影，由三垂线定理知，11A FBC ,.8 分 由二面角平面角定义知，1A FE为二面角111ABCB的平面角，.9 分 因为底面边长为 2 所以13A E，由11111sinBBEFB C BECBC，所以313EF，.10 分在三角形1A EF 中由勾股定理知14 313A F，所以113cos4EFA FEA F，.11 分所以二面角11ACBC的余弦值为34.12 分20.（本题满分 12 分）解：(1)因为椭圆 C 经过点1(2)A，所以2241=1ab，即22224a bab .1 分 又直线3yx-与椭圆 C 相切，联立方程组222213xy
8、abyx ，整理得22222226(0)9abxa xaa b，由0，得42222222()(369.)409aabaa bab，即 .2 分 联立，解得2263ab，.3 分所以椭圆 C 的方程为22=163xy.4 分(2)依 题 意，直 线 l 经 过 点0(3)B，且 不 与 x 轴 重 合，设 l 的 方 程 为3xty ，1122()(3)3M tyyN tyy，.5 分联立方程组223163xtyxy整理得22260)3(tyty ，.6 分故12212260232tyyty yt ，即1221226232tyyty yt 其中1t 或1t ，.8 分 又直线:AM1111=(2
9、)1yyxty，令3x，得1156=1typty（），.9 分 同理，2256=1tyqty（），.10 分 所以，121212212121222222222256562(5)(75)()12=11()13624242(5)(75)12222=12.36221222tytyt ty ytyyp+qtytyt y yt yyttt tttttttttttt（）（）.12 分21（本题满分 12 分）解：（1）用 X 表示4 个疑似病例中化验呈阳性的人数，则14,3XB.1 分 由题意可知，2224118(2)C13327P X .3 分（2）方案一：逐个检验，检验次数为4；方案二：混合在一起检测
10、，记检测次数为 X，则随机变量 X 的可能取值为 1，5，4116(1)1381P X，1665(5)18181P X ，.4 分所以，随机变量 X 的分布列如下表所示：X15P16816581所以，方案二检测次数 X 的期望为1665341()15818181E X .5 分方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为1次，其概率为214139；若呈阳性则检测次数为 3 次，其概率为45199.设方案三的检测次数为随机变量Y，则Y 的可能取值为2 4 6，2416(2)981P Y，124 540(4)C9 981P Y，2525(6)981P X.6 分所以，随机变量Y 的分布列如下表
11、所示：Y246P168140812581所以，方案三检测次数Y 的期望为164025342()24681818181E Y .7 分因为4()()E XE Y 所以选择方案一最优.8 分（3）方案二：记检测次数为 X，则随机变量 X 的可能取值为1，5，4(1)(1)P Xp，4(5)1(1)P Xp，.9 分随机变量 X 的分布列如下表所示：X15P4(1)p41(1)p所以，随机变量 X 的数学期望为444()(1)51(1)5 4(1)E Xppp ，.10 分由于“方案二”比“方案一”更“优”，则4()54(1)4E Xp，.11 分可得41(1)4p，即21(1)2p，解得2012p
12、，故当2012p 时，方案二比方案一更“优”.12 分22.(本题满分12分)解：（1）当2a 时，()e2sin1()xf xxxxR则()e2cosxfxx,.1 分设=()e2cosxh(x)fxx则()esinxh xx .2 分当0 x （，时，e1x ，所以()e2cos1cos0 xfxxx ，所以()f x 在0（，上单调递减；.3 分当0 x（，+)时，e1x ，所以()esin1 sin0 xh xxx，所以()fx 在 0（，+)上单调递增，所以()(0)0fxf，所以()f x 在 0（，+)单调递增.4 分综上可得，()f x 在0（，上单调递减，在 0（，+)单调递
13、增.（2）()esin1()xf xaxxxR0 x 时，(0)0f，所以 0 是()f x 的一个零点，.5 分()ecosxfxax，设=()ecosxg(x)fxax，可得()esinxg xx.6 分因为12a，当0 x（，+)时，()esin1 sin0 xg xxx，()fx 在 0（，+)单调递增，则()(0)20fxfa，()f x 在 0（，+)单调递增，()(0)0f xf，所以()f x 在 0（，+)无零点.7 分 x （，-时，ax，则()esin10 xf xx，所以()f x 在（，-无零点.8 分当0)x（-，时，sin0 x，()esin0 xg xx，()fx 在0)（-，单调递增，又(0)20fa，()e10fa，所以存在唯一实数00)x（-，使得0()0fx.9 分当0)xx（-，时，()0fx，()f x 在0)x（-，单调递减，当0)xx（，0 时，()0fx，()f x 在0 0)x（，单调递增，.10 分又()e10fa，0()(0)0f xf，所以()f x 在0)x（-，有唯一零点，所以()f x 在0)（-，有一个零点.11 分综上，当12a时，函数()f x 有 2 个零点.12 分
