1、2 月 26 日理科数学答案一、选择题1在区间2,3上随机选取一个数 X，则 X1 的概率为(B)A45B35C25D15解析 区间2,3的长度为 3(2)5，2,1的长度为 1(2)3，故满足条件的概率 P35.2设 p 在0,5上随机地取值，则关于 x 的方程 x2px10 有实数根的概率为(C)A15B25C35D45解析 方程有实根，则p240，解得 p2 或 p2(舍去)所以所求概率为525035.3在区间0,2上任取一个数 x，则使得 2sinx1 的概率为(C)A16B14C13D23解析 2sin x1，x0,2，x6，56，p56 6213，故选 C4如图所示，半径为 3 的
2、圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是(D)A3BC2D3解析 设阴影部分的面积为 S1，圆的面积 S329，由几何概型的概率计算公式得S1S 13，得 S13.5(2018北京昌平模拟)设不等式组x2y20，x4，y2表示的平面区域为 D.在区域 D内随机取一个点，则此点到直线 y20 的距离大于 2 的概率是(D)A 413B 513C 825D 925解析 作出平面区域可知平面区域 D 是以 A(4,3)，B(4，2)，C(6，2)为顶点的三角形区域，当点在AED 区域内时，点到直线 y20 的距离大于 2.PSAEDSAB
3、C126312105925，故选 D6(2016全国卷)从区间0,1随机抽取 2n 个数 x1，x2，xn，y1，y2，yn，构成 n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为(C)A4nmB2nmC4mnD2mn解析 如图，数对(xi，yi)(i1,2，n)表示的点落在边长为 1 的正方形 OABC 内(包括边界)，两数的平方和小于 1 的数对表示的点落在半径为 1 的四分之一圆(阴影部分)内，则由几何概型的概率公式可得mn14124mn.故选 C二、填空题7正方体 ABCDA1B1C1D1 的
4、棱长为 1，在正方体内随机取点 M，则使四棱锥 MABCD的体积小于16的概率为_12_.解析 当 VMABCD16时，即1311h16，解得 h12，即点 M 到底面 ABCD 的距离小于12，所以所求概率 P111211112.8记集合 A(x，y)|x2y24和集合 B(x，y)|xy20，x0，y0表示的平面区域分别为1 和2，若在区域1 内任取一点 M(x，y)，则点 M 落在区域2 的概率为_ 12_.解析 作圆 O：x2y24，区域1 就是圆 O 内部(含边界)，其面积为 4，区域2 就是图中AOB 内部(含边界)，其面积为 2，因此所求概率为 24 12.9在区间(0,1)内随
5、机地取出两个数，则两数之和小于65的概率是_1725_.解析 设随机取出的两个数分别为 x，y，则 0 x1,0y1，依题意有 xy65，由几何概型知，所求概率为 P1212 115 115121725.三、解答题10甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是 4 小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为 4 小时，乙船的停泊时间为 2 小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率解析(1)设甲、乙两船到达时间分别为 x，y，则 0 x24,0y4 或 yx4.作出区域0
6、x24，0y4 或 yx2 或 yx4.设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件 B，画出区域0 x24，0y4 或 xy2.则 P(B)1220201222222424442576221288.11已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其标号为 0 的小球 1 个，标号为 1的小球 1 个，标号为 2 的小球 n 个若从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号为 2 的小球的概率是12.(1)求 n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球，记第一次取出的小球标号为 a，第二次取出的小球标号为 b.记“2ab3”为事件 A，求事件 A 的概率；在区间0,2内任取 2 个实数 x，y
7、，求事件“x2y2(ab)2 恒成立”的概率解析(1)由题意共有小球 n2 个，标号为 2 的小球 n 个从袋子中随机抽取 1 个小球，取到标号为 2 的小球的概率是 nn212，解得 n2.(2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个球，记第一次取出的小球标号为 a，第二次取出的小球标号为 b，则取出 2 个小球的可能情况共有 12 种结果，令满足“2ab3”为事件 A，则事件 A 共有 8 种结果，故 P(A)81223；由可知(ab)24，故 x2y24，(x，y)可以看成平面中点的坐标，则全部结果构成的区域(x，y)|0 x2,0y2，x，yR，由几何概型可得概率为P41422414.12甲
8、、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为 15，边界忽略不计)即为中奖乙商场：从装有 3 个白球 3 个红球的盒子中一次性摸出 2 个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是 2 个红球，即为中奖问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？解析 如果顾客去甲商场，试验的全部结果构成的区域为圆盘，面积为R2(R 为圆盘的半径)，阴影区域的面积为415R2360R26.所以，在甲商场中奖的概率为 P1R26R216.如果顾客去乙商场，记盒子中 3 个白球为 a1，a2，a3,3 个红球为 b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共 15 种摸到的 2 个球都是红球有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)共 3 个，所以在乙商场中奖的概率为 P2 31515，又 P1P2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大
