1、 年 陕 西 省 高 三 教 学 质 量 检 测 卷（二）数 学（理 科）答 案 详 解【解 析】本 题 考 查 复 数 的 运 算 由 题 意 得 （）（）（）（），的 虚 部 为，故选【一 题 多 解】（）（）（），的 虚 部 为 ，故 选【解 析】本 题 考 查 集 合 并 集 的 运 算 由 题 意 可 知 集 合 ，故 选【解 析】本 题 考 查 简 单 的 线 性 规 划 如 图 所 示，图 中的 阴 影 部 分 为 不 等 式 组 所 表 示 的 平 面 区 域（含 边 界），其 中（，），（，），()先 作 出 的 图 象，然 后 通 过 平 移，发 现 当 目 标 函 数 的
2、 图 象 经 过点（，）时，取 到 最 小 值 ，故 选【解 析】本 题 考 查 平 面 向 量 的 数 量 积 及 向 量 的 投 影 由 题 意 可 得 ，（），在 上 的 投 影 为，故 选【解 析】本 题 考 查 分 段 函 数 及 分 段 函 数 的 图 象 作函 数（）的 图 象 如 图 所 示，由 题 意 可 得 当 时，（）；当 时，（）若（），则 或 ，解 得 或 ，则（）或（），结 合 函 数 图 象 可 知 的 取 值 有 个，故 选【解 析】本 题 考 查 几 何 概 型 与 正 态 分 布 的 相 关 概 率的 运 算 由 题 意 可 得 正 态 分 布 密 度 曲
3、线 的 对 称 轴 是，则 ，标 准 差 是 ，而（，（，（），图 中 阴 影 部 分 的 面 积 为 记“黄豆落入阴影部分”为事件，则（）阴 影 部 分 的 面 积正 方 形 面 积 ，故 选【解 析】本 题 考 查 等 差 数 列 的 通 项 公 式 由 题 意 可设 数 列 的 公 差 为（），则 通 项 公 式 （），（）（）（），解 得 （舍 去），故 选【解 析】本 题 考 查 三 角 恒 等 变 换 由 题 意 可 得 ，（），（）（）（），故 选【解 析】本 题 考 查 三 角 函 数 图 象 的 平 移 变 换 与 性 质 由题 意 可 得 平 移 后 的 函 数 解 析 式
4、 为 ()，若 该 函 数 图 象 关 于 坐 标 原 点 对 称，则 （），解 得 （），（），（），的 最 大 值 为，故 选【解 析】本 题 考 查 棱 柱 外 接 球 表 面 积 的 运 算 由 题 意可 知 外 接 圆 的 半 径 槡 设 该 三 棱 柱 外 接 球的 半 径 为，则 槡()()由 可 得 ，（）()()，当 且 仅 当 ，时 取 得 最 小 值，该 三 棱 柱 外 接 球 的 表 面 积 的 最小 值 为 ，故 选 数 学（理 科）答【一 题 多 解】由 题 意 可 知 外 接 圆 的 半 径 槡 设 该 三 棱 柱 外 接 球 的 半 径 为，则 槡()()令槡
5、，则 由 可 得槡 ，槡 槡（(）槡槡，槡)，槡槡 ，此 时 ，槡，槡槡，该 三棱 柱 外 接 球 的 表 面 积 的 最 小 值 为 ，故 选 由 题 意 可 知 外 接 圆 的 半 径 槡 设 该 三 棱柱 外 接 球 的 半 径 为，则 槡()()，由 柯 西 不 等 式 可 知（）()（），即 ，当 且 仅 当，即 时 等 号 成 立，当 ，时，取 得最 小 值槡 ，该 三 棱 柱 外 接 球 的 表 面 积 的 最 小 值 为，故 选【解 析】本 题 考 查 直 线 与 抛 物 线 的 位 置 关 系 由 题意 可 得 抛 物 线 的 焦 点（，），设 直 线 的 方 程 为 ，联
6、立 直 线 与 抛 物 线 的 方 程 得（），即 设，两 点 的 坐 标 为（，），（，），则 由 韦 达 定 理 可 得 ，槡 槡（）槡 槡 槡 （），（），直 线 的 方 程为 ，则 点 到 直 线 的 距 离 为 槡 槡，的 面 积 为槡槡 ，故 选【一 题 多 解】由 题 意 可 得 抛 物 线 的 焦 点（，），设直 线 的 方 程 为 ，联 立 直 线 与 抛 物 线 的 方 程 得 （），即 设，两 点 的 坐 标 为（，），（，），则 由 韦 达 定 理 可 得 ，槡 槡（）槡 槡槡 ，即 ，（）槡 槡 槡槡 ，故 选【解 析】本 题 考 查 函 数 的 图 象 与 性 质、
7、导 函 数 及 利用 导 函 数 解 不 等 式 由 题 意 可 得 （）（）（），令 （），得 ，而（），（），（），（）（），（）（），（），（），令（），得 ，而()，()，（），（）（），（）()，（），由 题意 可 知 存 在 ，对 任 意 ，都 有（）（）等 价 于，即 ，故 选【解 析】本 题 考 查 用 样 本 估 计 总 体、样 本 平 均 数及 中 位 数 的 计 算 由 题 意 可 得 从 左 到 右 每 个 小 矩 形 的面 积 为，所 以 该 样 本 的 平 均 数 为 ，由 可 知 中 位 数 为，所 以 两 者 之 差 的 绝对 值 为 或【解 析】本题考查二项式
8、定理 （）（）展 开 式 的 通 项 为 （，），则 由（）（）（）（）可 知，展 开 式 中 的 系 数 为 ，即 ，解 得 或 槡【解 析】本 题 考 查 余 弦 定 理 令 ，则槡，则 （，），又 点 为 的 中 点，在 中，由 余 弦 定 理 得 ，故 的 周 长 为槡 槡【解 析】本 题 考 查 双 曲 线 的 离 心 率、直 线 与 双 曲 线的 位 置 关 系 设 直 线 的 方 程 为 槡（），与 双曲 线 的 方 程 联 立 可 得 （），化 简 得（）令 数 学（理 科）答（，），（，），则 ，以 为 直 径的 圆 过 坐 标 原 点，即 又 ，代 入 化 简 可 得 ，即
9、（）（）又 双 曲 线 的 离 心 率 ，槡【名 师 指 导】本 题 考 查 空 间 面 面 平 行 的 证 明 以 及 二 面角 的 余 弦 值 的 计 算，考 查 运 算 求 解 能 力、推 理 论 证 能力、空 间 想 象 能 力，考 查 数 学 运 算、逻 辑 推 理 核 心素 养（）由 正 方 形 的 性 质 知，又 由 相 似 三 角 形 可得，再 结 合 面 面 平 行 的 判 定 定 理 即 可 证 明；（）由 已 知 条 件 可 推 导 出，两 两 垂 直，建立 空 间 直 角 坐 标 系，求 出 平 面 的 法 向 量，利 用 公 式 即可 求 锐 二 面 角 的 余 弦
10、值 解：（）证 明：，且 ，四 边 形 为 平 行 四 边 形，（分），（分），平 面，平 面，平 面平 面（分）（）如 图，连 接，相 交 于 点，连 接 四 棱 锥 为 正 四 棱 锥，槡，又 槡，且，同 理 可 得，两 两 垂 直，故 建 立如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，则（，槡，），（槡，），（，槡，），（槡，），槡 ，槡，()，槡，槡 ，()，槡 ，()，（，），（槡，槡，），槡 ，槡，()，槡 ，槡，()，令 平 面 的 法 向 量 为 （，），则 ，即槡槡 ，槡 槡 ，解 得 ，槡，取 ，则 ，槡，故 （，槡），同 理 可 得 平 面 的 一 个 法 向 量 （
11、，槡），槡 槡 槡，锐 二 面 角 的 余 弦 值 为 槡（分）【名 师 指 导】本 题 考 查 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 通 项 公式 及 求 和 公 式、错 位 相 减 法 求 数 列 的 前 项 和，考 查运 算 求 解 能 力，考 查 数 学 运 算 核 心 素 养（）利 用 等 差 数 列 的 定 义 即 可 求 出 数 列 的 通 项公 式；（）结 合（）中 结 论 可 以 求 出 数 列 的 通 项公 式，然 后 利 用 错 位 相 减 法 求 出，再 利 用 作 差 法 即可 得 出 结 论 解：（）由 题 意 可 得 当 时，；当 时，（），（），（分）数 列
12、的 奇 数 项 是 公 差 为 的 等 差 数 列，偶 数 项也 是 公 差 为 的 等 差 数 列 又 ，数 列 是 公 差 为 的 等 差 数 列，（分）（）证 明：由（）知 ，（分）（），两 式 相 减 得 （）（），（）（分）当 时，（分）（分）【名 师 指 导】本 题 考 查 独 立 性 检 验、分 层 抽 样、古 典 概型 及 二 项 分 布 的 期 望 和 方 差，考 查 运 算 求 解 能 力、数据 处 理 能 力，考 查 数 学 运 算、数 据 分 析 核 心 素 养（）利 用 已 知 数 据 代 入 公 式 直 接 计 算 即 可；（）按 照分 层 抽 样 的 方 法 抽
13、取 男 人 和 女 人，然 后 利 用 古 典概 型 概 率 公 式 计 算 即 可 求 解；（）分 析 数 据 易 知 随 机变 量 服 从 二 项 分 布，应 用 公 式 即 可 求 解 解：（）由 列 联 表 可 得 （），没 有 的 把 握 认 为“创 城 知 识 的 知 晓 程 度 是 否为 优 秀 与 性 别 有 关”（分）数 学（理 科）答（）调 查 结 果 为 一 般 的 市 民 中 有 男 人，女 人，人 数 之 比 为 ，所 以 按 分 层 抽 样 抽 取 的 人 中，男 人，女 人 设“这 三 位 市 民 中 男 女 都 有”为 事 件，则（）(或（）)（分）（）由 列
14、联 表 可 得 在 样 本 中 任 选 一 人，其 优 秀的 概 率 为，（）（），（，），（），（）（），随 机 变 量 的 期 望 为，方 差 为（分）【名 师 指 导】本 题 考 查 导 数 及 其 应 用，考 查 运 算 求 解 能力、化 归 与 转 化 思 想，考 查 数 学 运 算 核 心 素 养（）先 求 导，然 后 利 用 导 数 去 求 解 函 数 的 极 值；（）由（）先 求 出 两 个 极 值 点 的 具 体 值，然 后 再 代 入求 得（）（）的 表 达 式，化 简 后 通 过 构 造 函 数 求 得 其 单调 性，即 可 证 明 结 论 解：（）由 题 意 可 得 （
15、）（）（）（）（）（）当 时，函 数（）的 单 调 性 和 极 值如 表：（，）（，）（，）（）（）递 增极 大 值递 减极 小 值递 增（）极 大 值 （），（）极 小 值 （）；当 时，（），函 数（）在（，）上 单 调 递 增，（）无 极 值；当 时，函 数（）的 单 调 性 和 极 值如 表：（，）（，）（，）（）（）递 增极 大 值递 减极 小 值递 增（）极 大 值 （），（）极 小 值 （）综 上 所 述，当 时，函 数（）的 极 大 值 为 ，极小 值 为 ；当 时，无 极 值；当 时，函 数（）的 极 大 值 为 ，极 小 值为 （分）（）证 明：由 题 意 得 ，即 由（）
16、可 知 ，（）（），（）（），（）（）令（），则（）（），（）在（，）上 单 调 递 减，（）（）（），即 （）（）（）（），（）（）（分）【名 师 指 导】本 题 考 查 椭 圆 的 标 准 方 程、直 线 与 椭 圆 的位 置 关 系，考 查 推 理 论 证 能 力、运 算 求 解 能 力，考 查 逻辑 推 理、数 学 运 算 核 心 素 养（）利 用 椭 圆 的 离 心 率 可 以 求 得 ，利 用 距离 的 最 大 值 求 出 的 值，即 可 求 得 椭 圆 的 标 准 方程；（）联 立 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程，为 避 免 直 线 方 程斜 率 是 否 存 在 的 讨 论，
17、可 设 直 线 方 程 为 ，先求，两 点 间 距 离，再 求 点 到 直 线 的 距 离，即 可求 面 积，因 为 面 积 由 底 和 高 两 部 分 构 成，所 以 分 别求 出 两 部 分 的 最 大 值，即 可 求 出 面 积 的 最 大 值 解：（）解 法 一：由 题 意 可 得 离 心 率 槡，又 ，槡，令 点（，）为 椭 圆 上 任 意 一 点，则 ()槡 槡 ()槡 槡，槡槡 ，椭 圆 的 标 准 方 程 为 （分）解 法 二：由 题 意 可 得 离 心 率 槡，又 ，槡，令 椭 圆 上 任 意 一 点（，），（）()()数 学（理 科）答 当 时，满 足 ；当 时，解 得 槡
18、 （负 值 舍 去），槡 ，则 ，不 满 足 条 件，舍 去 综 上，椭 圆 的 标 准 方 程 为 （分）（）设 点 坐 标 为（，）（），直 线 的 方 程 为 ，联 立 直 线 方 程 与 椭 圆 方程 化 简 得（），令，两 点 的 坐 标 分 别 为（，），（，），由 韦 达 定 理 可 得 ，（分）则 槡()槡，化 简 得 槡 （）槡，点 到 直 线 的 距 离 槡，的 面 积 （）槡，（分）令 ，则 （）槡 槡，当 时，当 且 仅 当 ，时 等 号 成 立，此 时 ，槡槡 ，当 且 仅 当 时，取到 最 大 值 为，此 时 面 积 取 到 最 大 值，（分）即 槡 ，此 时 直
19、线 的 方 程 为 ，点 的 坐标 为（，）综 上，面 积 的 最 大 值 为槡 （分）【名 师 指 导】本 题 考 查 直 角 坐 标 方 程 与 极 坐 标 方 程 的互 化、参 数 方 程 与 普 通 方 程 的 互 化 及 参 数 的 几 何 意义，考 查 运 算 求 解 能 力，考 查 数 学 运 算 核 心 素 养（）将 直 线 的 参 数 方 程 消 参，即 可 得 直 线 的 普 通方 程，要 注 意；将 曲 线 的 极 坐 标 方 程 两 边 同 乘，再 将 ，代 入，即 可 得 曲 线 的直 角 坐 标 方 程；（）先 将 直 线 的 直 角 坐 标 方 程 化 为极 坐
20、标 方 程，再 将 （）代 入 直 线 和 曲 线 的 极 坐 标 方 程 中，可 得 点，对 应 的 极 径，利 用 计 算，即 可 求 解 解：（）由 得，（分）将 ，（为 参 数）消 去 参 数，得 直 线 的 普 通 方 程 为 （）（分）由 得 ，（分）将 ，代 入 上 式，（分）得 ，所 以 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 为 （分）（）由（）可 知 直 线 的 普 通 方 程 为 （），（分）化 为 极 坐 标 方 程 得 ()，（分）当 （）时，设，两 点 的 极 坐 标 分 别 为，()，()，则 槡 ，（分）槡，（分）所 以 槡槡槡 （分）【名 师 指 导】本 题 考 查 绝 对 值 三 角 不 等 式 及 基 本 不 等式，考 查 运 算 求 解 能 力、化 归 与 转 化 思 想，考 查 数 学 运算 核 心 素 养（）由 绝 对 值 三 角 不 等 式 即 可 解得 的 值；（）利 用 基 本 不 等 式 即 可 证 明 解：（）由 可 得（），则 ，（分）（）证 明：由（）可 知 ，（）（）（）()（）（当 且 仅 当 时 等 号 成 立），（），故 （分）数 学（理 科）答