1、1.1命题及其关系1.1.1命题学习目标1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式.知识点1命题的定义(1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.(2)判断为真的语句叫做真命题.(3)判断为假的语句叫做假命题.【预习评价】思考(1)“x5”是命题吗？(2)陈述句一定是命题吗？提示(1)“x5”不是命题，因为它不能判断真假.(2)陈述句不一定是命题，因为不知真假，只有可以判断真假的陈述句才叫做命题.知识点2命题的结构从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成.在数学中，命题常写成“若p，则q”的形式.通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题
2、的条件，q叫做命题的结论.【预习评价】把命题“三角形的内角和等于180”写成“若p，则q”的形式为_.答案若一个平面图形是三角形，则它的内角和等于180.题型一命题的判断【例1】(1)下列语句为命题的是()A.x10 B.238C.你会说英语吗？ D.这是一棵大树(2)下列语句为命题的有_(填序号).一个数不是正数就是负数；梯形是不是平面图形呢？22 015是一个很大的数；4是集合2，3，4的元素；作ABCABC.解析(1)A中x不确定，x10的真假无法判断；B中238是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假.(2)是陈述句，且能判断真假；不是陈述句；
3、不能断定真假；是陈述句且能判断真假；不是陈述句.答案(1)B(2)规律方法并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：是否为陈述句；能否判断真假.【训练1】判断下列语句是不是命题.(1)求证是无理数；(2)x22x10；(3)你是高二学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果；(5)一个正整数不是质数就是合数；(6)若xR，则x24x70；(7)x30.解(1)
4、(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题.题型二命题真假的判断【例2】判断下列命题的真假：(1)已知a，b，c，dR，若ac，bd，则abcd；(2)若xN，则x3x2成立；(3)若m1，则方程x22xm0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆.解(1)假命题.反例：14，52，而1542.(2)假命题.反例：当x0时，x3x2不成立.(3)真命题.m144mbc2，则ab.其中真命题的序号是_.解析是真命题，同一平面内四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，平行四边形不是梯形.答案题型三命题的构成形式【例3】(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述
5、命题改为“若p，则q”的形式，则p是_，q是_.答案一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假.已知x，y为正整数，当yx1时，y3，x2；当abc0时，a0且b0且c0.解已知x，y为正整数，若yx1，则y3，x2，假命题.若abc0，则a0且b0且c0，假命题.规律方法把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式也不唯一.【训练3】指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假.(1)若
6、四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分；(2)若a0，b0，则ab0；(3)面积相等的三角形是全等三角形.解(1)条件p：四边形是平行四边形，结论q：四边形的对角线互相平分.真命题.(2)条件p：a0，b0，结论q：ab0.真命题.(3)条件p：两个三角形面积相等，结论q：它们是全等三角形.假命题.课堂达标1.下列语句不是命题的个数为()21；x1；若x1，则x2；函数f(x)x2是R上的偶函数.A.0 B.1C.2 D.3解析可以判断真假，是命题；不能判断真假，所以不是命题.答案B2.下列命题为真命题的是()A.互余的两个角不相等B.相等的两个角是同位角C.若a2b2，则|a|b|D.三角
7、形的一个外角等于和它不相邻的一个内角解析由平面几何知识可知A，B，D三项都是错误的.答案C3.下列命题是真命题的是()A.若a24，则a2 B.若ab，则C.若，则ab D.若ab，则a2b2解析判断是假命题，只需举反例，用排除法，得到正确选项.由a24得a2，排除A；取ab1，排除B；212，排除D.故选C.答案C4.给出下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一条直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中，为真命题的是()A.
8、 B.C. D.解析当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故错；由平面与平面垂直的判定定理可知正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交也可以异面，故错；若两个平面垂直，在一个平面内与它们的交线垂直的直线与另一个平面垂直，故正确.答案D5.将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假.(1)正n边形(n3)的n个内角全相等；(2)负数的立方是负数；(3)已知x，y为正整数，当yx5时，y3，x2.解(1)若一个多边形是正n边形，则这个正n边形的n个内角全相等.是真命题.(2)若一个数是负数，则这个数的立方是负数.是真命题.(3)已知x，y为正整数，若yx5
9、，则y3，x2.是假命题.课堂小结1.根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题.命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可.2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中.基础过关1.下列语句是命题的是()A.2 015是一个大数B.若两直线平行，则这两条直线没有公共点C.对数函数是增函数吗？D.a15解析A，D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题.答案B2.下列命题是真命题的是()A.是空集B.xN|x1|0恒成
10、立是真命题，求实数m的取值范围.解“3mx2mx10恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论.当m0时，10恒成立，所以m0满足题意；当m0，且m212m0，即0m0恒成立，所以0m12满足题意.综上所述，知0ma，B：x1，请选择适当的实数a，使得由A，B构造的命题“若p，则q”为真命题.解若A，则B，即“若x，则x1”，由命题为真命题可知1，解得a4；若B，则A，即“若x1，则x”，由命题为真命题可知1，解得a4.综上所述，a4时，“若A，则B”为真命题；a4时，“若B，则A”为真命题.13.(选做题)(1)已知“方程ax2bx10有解”是真命题，求a，b满足的条件；(2)已知命题“若x1x20，则”是假命题，求a满足的条件.解(1)因为ax2bx10有解，所以当a0时，bx10有解，只有b0时，方程有解x.当a0时，方程为一元二次方程，有解的条件为b24a0.综上，当a0，b0或a0，b24a0时，方程ax2bx10有解.(2)因为命题当x1 x20时，为假命题，所以应有当x1x20时，即0.因为x1x20，所以x2x10，x1x20，所以a0.