1、福建省莆田市2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答第卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3回答第卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷一、 单项选择题（每小题5分，共40分）1.已知集合，则（ ）ABCD2.函数的部分图象大致为（ ）ABCD3.如图所示，四边形和均为正方形，它们
2、所在的平面相互垂直，动点在线段上，、分别为、的中点。设异面直线与所成的角为，则的最大值为( )。A、B、C、D、4.已知数列的各项均为负数，其前项和为，且满足，则( )。A、B、C、D、5.已知双曲线(，)，过其左焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的右顶点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是( )。A、B、C、D、6.九章算术是中国古代张苍耿寿昌所撰写的一部数学专著.是算经十书中最重要的一部，其中将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称之为“羡除”，下列说法错误的是A“羡除”有且仅有两个面为三角形B“羡除”一定不是台体C不存在有两个面为平行四边形的“羡除”D“羡除”至多有两
3、个面为梯形7.已知函数的图象如图所示，则此函数可能是（ ）ABCD8.为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少27%需要花的时间约为（ ）A13小时B15小时C17小时D19小时二、 多项选择题（每小题5分，共20分）9.是评估空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图为某地区2019年10月1日到10月12日的日均值（单位：）的统计图，
4、则下列叙述正确的是（ ）A该地区这12天中空气质量超标的日期为10月6日B该地区这12天日均值的中位数为C该地区这12天日均值的平均数为D该地区从10月6日到10月11日的日均值持续减少10.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则下列结论正确的是（ ）ABCD的面积为611.已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点，.当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的可能取值为（ ）A-3B-2C0D112.设函数，则（ ）A在单调递增B的值域为C的一个周期为D的图像关于点对称第卷三、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在锐角ABC中a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且满足，则
5、tanA的取值范围是_14.若满足约束条件则的整数解的个数为_15.中国古代数学著作算法统宗中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了_16. 已知抛物线上三点，直线是圆的两条切线，则直线的方程为_四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10分）求由约束条件确定的平面区域的面积和周长。18.（10分）（）解关于x的不等式ax2x0（a0）；（）已知
6、不等式（m22m3）x2（m3）x10对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围19.（10分）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若sinA+cosA1sin（1）求sinA的值；（2）若c2a22b，且sinB3cosC，求b的长20（12分）已知数列an和bn满足a11，b10，4an+13anbn+4，4bn+13bnan4（1）求an的通项公式；（2）我们知道，对的放缩需因题制宜，如；若记an的前n项和为Sn，试证：21.（14分）已知抛物线与过点的直线交于两点.（1）若，求直线的方程；（2）若，轴，垂足为，探究：以为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理
7、由.22.（14分） 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，是上的一点，（1）证明平面；（2）设二面角为，求与平面所成角的大小.2020-2021学年第一学期高二期末考试卷数 学参考答案及解析1.【答案】C【详解】，故选：C.2.【答案】B【详解】因为，所以是奇函数，故排除A，C；因为，且，所以，故选：B3.【答案】B【解析】如图建系，设，则，则，又，令，则，当时取等号，当时取最大值，故选B。 4.【答案】C【解析】由，可得，两式相减得：，即，由已知，数列为等差数列，公差为，再由，令得，即，或(舍去)，因此，故选C。5.【答案】B【解析】以为直径的圆的半径为，双曲线的右顶点到以为直径的圆的圆心的距
8、离为，则，化简得，令，则，则，即，即，又，则，故选B。6.D 【解析】如图所示，四边形为梯形. 对选项A，由题知：“羡除”有且仅有两个面为三角形，故A正确；对选项B，因为，所以“羡除”一定不是台体，故B正确；对选项C，假设四边形和四边形为平行四边形，则，则四边形为平行四边形，与已知四边形为梯形矛盾，故不存在，C正确.对选项D，若，则“羡除”有三个面为梯形，故D错误.故选D.7.【答案】C【详解】由图象知：函数是偶函数，排除AD，又，排除B故选：C8.【答案】B【详解】由已知时，故，解得；污染物减少27%，即，由，所以，则.故选：B.9.【答案】AC【详解】对于，天中，只有月日的日均值大于，故月
9、日空气质量超标，正确；对于，天的日均值按照从小到大顺序排列，位于第和第位的日均值为和，故中位数为，错误；对于，平均数，正确；对于，月日的日均值大于月日的日均值，错误.故选：AC. 10.【答案】ABD【详解】因为，所以，所以，故A正确；因为，利用正弦定理可得，因为，所以，所以，即因为，所以，所以，又，所以，故B正确；因为，所以，所以，因为，所以，故C错误；，故D正确；故选：ABD11.【答案】AD【详解】圆的圆心为，半径为.为的中点，所以，设，则，所以点的轨迹方程为.即在圆心为，半径为的圆上.，都在直线上，且，设线段的中点为，则，以为圆心，半径为的圆与圆外离时，始终有为锐角，所以，即，所以或，
10、即或.所以AD选项正确.故选：AD12.【答案】BC【详解】令，则，显然函数为增函数，当时，为减函数，根据复合函数单调性可知，在单调递减，因为，所以增函数在时，即的值域为；因为，所以的一个周期为，因为，令，设为上任意一点，则为关于对称的点，而，知点不在函数图象上，故的图象不关于点对称，即的图像不关于点对称.故选：BC13.【答案】【解析】由 ，所以，解得，所以，又，解得，综上所述，所以.故答案为：14.【答案】4【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 作出直线，直线与可行域的边界交于两点，由解得，又，且，当时，；当时；当时，；当时，整数解的个数为4.故答案：415.【答案】96
11、里【解析】根据题意，记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解可得，则；即此人第二天走的路程里数为96；故答案：96里16. 答案：【解析】先利用点求抛物线方程，利用相切关系求切线AB，AC，再分别联立直线和抛物线求出点，即求出直线方程.在抛物线上，故，即，抛物线方程为，设过点与圆相切的直线的方程为：，即，则圆心到切线的距离，解得，如图，直线，直线. 联立 ，得，故，由得，故，联立 ，得，故，由得，故，故，又由在抛物线上可知，直线的斜率为 ，故直线的方程为，即.故答案：17.【解析】作图，四个顶点为、，过点作轴的垂线，垂足为，则，得，。18.【解答】解：（）由a0，则方程ax2x0
12、的两根为x0或；当a0时，此时不等式的解集为x|x0或x；当a0时，此时不等式的解集为；（评分细则：解集写不等式的扣1分，写区间不扣分）（）当m22m30时，解得m1或m3；当m3时，不等式化为10，符合题意；当m1时，不等式化为4x10，不合题意；所以取m3；当m22m30时，m需满足，解得；综上可得，m的取值范围是【知识点】其他不等式的解法、不等式恒成立的问题 19.【解答】解：（1）ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若sinA+cosA1sin所以：，整理得：，即：，解得：，由于：0A，所以：，所以：则：sin（A）2，即：，所以：（2）由于：c2a22b0，所以：ca，A为
13、锐角，且sinB3cosC，则：sinBsin（A+C），可得：，cosC，sinC，所以：sinB3，所以：a，由于：c2a2+b22abcosC，解得：b22b2abcosC0，即：，整理得：，所以：b0或4，由于b0，故：b4【知识点】三角形中的几何计算 20.【解答】解：（1）数列an和bn满足a11，b10，4an+13anbn+4，4bn+13bnan4由+得：所以4（an+1+bn+1）2（an+bn），整理得，所以数列an+bn是以a1+b11为首项，为公比的等比数列所以同理得（an+1bn+1）（anbn）+2，即（an+1bn+1）（anbn）2（常数），所以数列anbn是以a1b11为首项，2位公差的等差数列所以anbn2n1+得，所以证明：（2）由于数列an的前n项和为Sn，所以，则，所以所以成立【知识点】数列递推式 23.【答案】（1）或；（2）过定点，【分析】（1）设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用根与系数的关系及弦长公式计算即可；（2）设以为直径的圆经过点，利用得，令解方程组即可. 22.【解析】（1）以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，设，则，平面.（2），设平面的法向量为，则，取，设平面的法向量为，则，取，平面平面，故，设与平面所成角为，则，与平面所成角的大小为.