1、数学（理）试卷（1） 选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在下列各题的四个选项中，只有一项是最符合题意的）1. 定义，已知。则 （ ） A. B. C. D. 2已知，为虚数单位，且，则的值为 （ ）A B C D3. 设是等差数列的前项和，若，则等于 （ ）A. B. C. D. 4已知是实数，则“且”是“”的 （ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5设函数，其中，则的展开式中的系数为 （ ）A B C D6. 过原点的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 7一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面
2、积为 ( )A B. C. D. 输出开始?是输入p结束否8. 执行如图的程序框图，若输出的，则输入整数的最小值是 ( ) A. 15 B. 14 C. 7 D. 89已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 10将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为（ ）A80 B120 C140 D18011. 中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，直线与双曲线交于两点，线段中点在第一象限，并且在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为，则直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 12已知向量,满足,.若对每一确定的,的最大值和最小
3、值分别为，则对任意，的最小值是 ( ) A. B C D 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13函数的图象与函数的图象的公共点个数是 个。14已知满足约束条件，且恒成立，则的取值范围为 。15. 已知数列的首项，且对任意的都有，则 。16. 下列说法正确的是 。 （1）从匀速传递的产品生产流水线上，质检人员每20分钟从中抽取一件产品进行检测， 这样的抽样方法为分层抽样；（2）两个随机变量相关性越强，相关系数的绝对值越接近1，若或时，则与的关系完全对应（即有函数关系），在散点图上各个散点均在一条直线上； （3）在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；（4
4、）对于回归直线方程，当每增加一个单位时，平均增加12个单位； （5）已知随机变量服从正态分布，若，则。三、解答题（本题共6小题， 17-21题每题12分，选做题10分，共70分）17.（本小题共12分）在中，角所对的边分别为，若。 （1）求证； （2）若的平分线交于，且，求的值。18.（本小题共12分）哈尔滨市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为。优秀非优秀合计甲班10乙班30 合计110 （1）请完成上面的列联表； （2）根
5、据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”； （3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进 行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号。试求抽 到9号或10号的概率。参考公式与临界值表：。0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82819.（本小题共12分）如图，在四棱锥中，顶点在底面内的射影恰好落在的中点上， 又，且 （1）求证：； （2）若，求直线与所成角的余弦值； （3）若平面与平面所成的角为，求的值。20.（本小题共12分）已知抛物线的顶点
6、在坐标原点，焦点为，点是点关于轴的对称点， 过点的直线交抛物线于两点。（1）试问在轴上是否存在不同于点的一点，使得与轴所在的直线所成的锐角相等，若存在，求出定点的坐标，若不存在说明理由。（2）若的面积为，求向量的夹角；21. （本小题共12分）设函数。 （1）求函数的最小值； （2）设，讨论函数的单调性； （3）斜率为的直线与曲线交于,两点， 求证：。请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号。22. 如图所示，已知是圆的直径，是弦，垂足为， 平分。 （1）求证：直线与圆的相切； （2）求证：。23.在平面直角坐标系中，曲线为为参数）。在以为原点，
7、轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，射线为，与的交点为，与除极点外的一个交点为。当时，。（1）求，的直角坐标方程；（2）设与轴正半轴交点为，当时，设直线与曲线的另一个交点为，求。24 已知函数。（1）若的解集为，求实数的值。（2）当且时，解关于的不等式数学（理）答案一选择题：BCDAD CACDA DB二填空题：2个 2 （2）（3）（5）17解：（1）acosB+bcosA=b，由正弦定理可得 sinAcosB+cosAsinB=sinB，sin（A+B）=sinB， -3分即sinC=sinB，b=c，C=B -6分（2）BCD中，用正弦定理可得=，由第一问知道C=B，而BD是
8、角平分线，=2cos -8分由于三角形内角和为180，设 A=x，B=2=C，那么4+x=180，故+=45-9分sin=，cos=，cos=cos（45）=cos45cos+sin45sin=2cos=2cos=-12分18.（1） -4分优秀非优秀合计甲班105060乙班203050合计3080110（2）根据列联表中的数据，得到K2= 7.48710.828因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系” -8分（3）设“抽到9或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）所有的基本事件有：（1，1）、（1，2）、（1，3）、（6，6）共36个事件A包含
9、的基本事件有：（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）、（5，5）、（4，6）（6，4）共7个所以P(A)= ，即抽到9号或10号的概率为 -12分19 解：因为AB中点O为点P在平面ABCD内的射影，所以PO底面ABCD以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系oxyz（如图）（1）设BC=a，OP=h则依题意得：B（a，0，0），A（a，0，0），P（0，0，h），C（a，a，0），D（a，2a，0）=（2a，a，0），=（a，2a，h），于是=2a2+2a2=0，PDAC；-4分（2）由PO=BC，得h=a，于是P（0，0，a），5分=（2a，0，0
10、），=（a，2a，a），=2a2，cos，=，直线PD与AB所成的角的余弦值为；-8分（3）设平面PAB的法向量为m，可得m=（0，1，0），设平面PCD的法向量为n=（x，y，z），由=（a，a，h），=（a，2a，h），解得n=（1，2，），mn=2，cosm，n=，二面角为60，=4，解得=，即=-12分20.（1）由题意知：抛物线方程为：且 -1分设设直线代入得 - 2分假设存在满足题意，则 - -5分 存在T（1,0）-6分（2）（法一） -7分设直线OA,OB的倾斜角分别为，-9分设-11分 -12分法二： -7分-9分-11分 -12分21.（1）解：f（x）=lnx+1（x0）
11、，令f（x）=0，得当时，f（x）0；当时，f（x）0，当时，- 4分（2）F（x）=ax2+lnx+1（x0），当a0时，恒有F（x）0，F（x）在（0，+）上是增函数；当a0时，令F（x）0，得2ax2+10，解得；令F（x）0，得2ax2+10，解得综上，当a0时，F（x）在（0，+）上是增函数；当a0时，F（x）在上单调递增，在上单调递减-8分（3）证：要证，即证，等价于证，令，则只要证，由t1知lnt0，故等价于证lntt1tlnt（t1）（*）设g（t）=t1lnt（t1），则，故g（t）在1，+）上是增函数，当t1时，g（t）=t1lntg（1）=0，即t1lnt（t1）设h（t
12、）=tlnt（t1）（t1），则h（t）=lnt0（t1），故h（t）在1，+）上是增函数，当t1时，h（t）=tlnt（t1）h（1）=0，即t1tlnt（t1）由知（*）成立，得证-12分22. 证明：（）连接，因为,所以.2分又因为，所以，又因为平分，所以，4分所以，即，所以是的切线.5分（）连接，因为是圆的直径，所以，因为，8分所以，所以，即.10分23.（1）由得，所以的直角坐标方程是-2分由已知得的直角坐标方程是，当时射线与曲线交点的直角坐标为，-3分的直角坐标方程是.-5分（2）联立与得或，不是极点.-6分又可得， 的参数方程为 -8分将带入得,设点的参数是，则-10分24解：（）由|xa|m得amxa+m，所以解之得为所求-4分（）当a=2时，f（x）=|x2|，所以f（x）+tf（x+2t）|x2+2t|x2|t，当t=0时，不等式恒成立，即xR；当t0时，不等式解得x22t或或x，即；综上，当t=0时，原不等式的解集为R，当t0时，原不等式的解集为-10分