1、课堂探究1古典概型与几何概型的异同剖析：古典概型与几何概型都是概率类型的一种，它们的区别在于：古典概型的基本事件数为有限个，而几何概型的基本事件数为无限个；共同点在于：两个概型都必须具备等可能性，即每个结果发生的可能性都相等判断一次试验是否是古典概型，有两个标准来衡量：一是试验结果的有限性，二是试验结果的等可能性，如果这两个标准都符合，则这次试验是古典概型，否则不是古典概型；判断一次试验是否是几何概型有三个标准：一是试验结果的无限性，二是试验结果的等可能性，三是可以转化为求某个几何图形测度的问题如果一次试验符合这三个标准，则这次试验是几何概型这两种概率模型的本质区别是试验结果的种数是否有限2基
2、本事件的选取对概率的影响剖析：先比较以下两道题：(1)在等腰RtABC中，在斜边AB上任取一点M，求AMAC的概率(2)在等腰RtABC中，过直角顶点C在ACB内部任作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AMAC的概率这两道题虽然都是在等腰RtABC中求AMAC的概率，但题干明显不同，题目(1)是“在斜边AB上任取一点M”，而题目(2)是“在ACB内部任作一条射线CM”，其解答分别如下：(1)在AB上截取ACAC，于是P(AMAC)P(AMAC).(2)在ACB内的射线CM是均匀分布的，所以射线CM作在任何位置都是等可能的在AB上取ACAC，则ACC是等腰三角形，且ACC67.5，故满足条件的
3、概率为0.75.由此可见，背景相似的问题，当基本事件的选取不同，其概率是不一样的题型一 与“长度”有关的几何概型【例1】 某公共汽车站每隔15 min有1辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求1个乘客到达车站后候车时间大于10 min的概率分析：把时刻抽象为点，时间就抽象为线段，故可用几何概型求解解：设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T=5，T2T=10.如图所示记候车时间大于10 min为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上时，事件A发生，设区域D的测度为15，则区域d的测度为5.所以.答：候车时间大
4、于10 min的概率是.反思 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D，这时区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A发生对应的区域d.在找d的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A的概率.题型二 与“面积”有关的几何概型【例2】 甲、乙两人约定上午7：00到8：00之间到某个汽车站乘车，在这段时间内有3班公共汽车，开车的时刻分别为7：20,7：40，8：00，如果他们约定，见车就乘，则甲、乙两人乘同一班车的概率为()A. B. C. D.解析：设甲到达汽车站的时刻为x，乙到达汽车站的时刻为y，则7x8,7y8，即甲、乙两人到达汽车站的时刻(x，y)
5、所对应的区域在平面直角坐标系中是大正方形(如图所示)将三班车到站的时刻在图形中画出，则甲、乙两人要想乘同一辆车，必须满足7x7,7y7；7x7，7y7；7x8,7y8，即(x，y)必须落在图形中的三个带阴影的小正方形内，所以由几何概型的概率计算公式得P.答案：C反思 本题的关键首先要理解好题意，将其归结为面积型几何概型，而不是长度型几何概型另外一定要认真审题，根据题意画出图形本题中将甲、乙两人到达车站的时刻作为坐标，在坐标系中将汽车的到站时刻，甲、乙两人的到站时刻分别表示出来，就可以直观地发现它们之间的关系，找出两人乘同一辆车的区域，然后计算面积，代入公式求得结果.题型三 与“体积”有关的几何
6、概型【例3】 已知正三棱锥SABC的底面边长为a，高为h，在正三棱锥内取点M，试求点M到底面的距离小于的概率分析：首先作出到底面距离等于的截面，然后再求这个截面的面积，进而求出有关体积解：如图所示，在SA，SB，SC上取点A1，B1，C1，使A1，B1，C1分别为SA，SB，SC的中点，则当点M位于面ABC和面A1B1C1之间时，点M到底面的距离小于.设ABC的面积为S，由ABCA1B1C1，且相似比为2，得A1B1C1的面积为.由题意，区域D的体积为区域d的体积为.P=.点M到底面的距离小于的概率为.反思 解与体积有关的几何概型时要注意：(1)寻求区域d在区域D中的分界面，但要明确是否含分界
7、面不影响概率大小(2)每个基本事件的发生是“等可能的”(3)概率的计算公式为：P(A).题型四 与“角度”有关的几何概型【例4】 已知半圆O的直径为AB2R.(1)过A作弦AM，求使弦AMR的概率；(2)过A作弦AM，求使弦AMR的概率；(3)作平行于AB的弦MN，求使弦MNR的概率；(4)作平行于AB的弦MN，求使弦MNR的概率分析：过A作弦应理解为过A作射线AM交半圆于M，作AB的平行弦MN，可以理解为过垂直于AB的半径上的点作平行于AB的弦解：(1)如图所示，过点A作O的切线AE，作弦R.由平面几何知识，MAB60，MAE30，P(AMR)P(AMAM)P(EAMEAM).(2)类似于(
8、1)可求P(AMR).(3)如图所示，过点O作半径OEAB，作弦MNAB，交OE于点E，且R.连接OM，则OER，EERRR.P(MNR)P(MNMN).(4)类似于(3)可求P(MNR).反思 (1)如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率计算公式为P(A).(2)解决此类问题的关键是事件A在区域内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的.题型五 利用随机模拟实验估计图形的面积【例5】 利用随机模拟的方法近似计算图中阴影部分(y22xx2与x轴围成的图形)的面积分析：解答本题可先计算与之相应的规则多边形的面积，而后由几何概率进行面积估计解：(1)利用计算机产生两组0,1上的均
9、匀随机数，a1，b1.(2)经过平移和伸缩变换，a4a13，b3b1，得到一组3,1，一组0,3上的均匀随机数(3)统计试验总次数N和落在阴影部分的点数N1(满足条件b22aa2的点(a，b)数)(4)计算频率就是点落在阴影部分的概率的近似值(5)设阴影部分面积为S，由几何概型概率公式得点落在阴影部分的概率为，.S即为阴影部分面积的近似值反思 在解答本题的过程中，易出现将点(a，b)满足的条件误写为b22aa2，导致该种错误的原因是没有验证阴影部分的点(a，b)应满足的条件.题型六 易错辨析【例6】 在01之间随机选择两个数，这两个数对应的点把长度为1的线段分成三条，试求这三条线段能构成三角形的概率错解：因为，,xy1，所以xy1.所以P.错因分析：错解误把长度作为几何度量当成本题的模型正解：设三条线段的长度分别为x，y,1xy，则即在平面上建立如图所示的直角坐标系，围成三角形区域G，每对(x，y)对应着G内的点(x，y)，由题意知，每一个试验结果出现的可能性相等，因此，试验属于几何概型记事件A=三条线段能构成三角形，则事件A发生当且仅当即因此图中的阴影区域g就表示“三条线段能构成三角形”，即事件A发生当且仅当即因此图中的阴影区域g就表示“三角线段能构成三角形，即事件A发生，容易求得g的面积为，G的面积为，则P(A).
