1、 第 1 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司2022-2023 学年安徽省合肥市六校联盟高二（下）期末数学试卷 一、单选题（本大题共 8 小题，共 40.0 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.数列中，+1=2”是“是公比为2的等比数列”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.某质点沿直线运动，位移(单位：)与时间(单位：)之间的关系为()=42+3，则质点在=2时的瞬时速度为()A.19/B.16/C.11/D.8/3.若直线+5=0与2+(3 1)1=0垂直，则的值为()A.5 B.15 C.5 D.15 4
2、.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想可以表述为“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数的和”，如：16=5+11.在不超过12的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率为()A.12 B.35 C.710 D.45 5.函数()=2()的大致图象为()A.B.C.D.6.已知圆：2+2=1，直线3+4 10=0上动点，过点作圆的一条切线，切点为，则|的最小值为()A.1 B.2 C.3 D.2 7.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为()第 2
3、页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.8 8.设函数()的定义域为，其导函数为()，且满足()()+1，(0)=2023，则不等式()+2022(其中为自然对数的底数)的解集是()A.(2022,+)B.(,2023)C.(0,2022)D.(,0)二、多选题（本大题共 4 小题，共 20.0 分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法中正确的有()A.将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B.设有一个线性回归方程 =3 5，变量增加1个单位时，平均增加5个单位 C.设具有相关关系的两个变量，的相关系数为，则|越接近于0
4、，和之间的线性相关程度越弱 D.在一个2 2列联表中，由计算得2的值，在2 2.706的前提下，2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大 10.已知数列+2是首项为1，公差为的等差数列，则下列判断正确的是()A.1=3 B.若=1，则=2+2 C.2可能为6 D.1，2，3可能成等差数列 11.如图，在正方体 1111中，点在线段1上运动，则下列结论正确的是()A.直线1 平面11 B.三棱锥 11的体积为定值 C.异面直线与1所成角的取值范围是4,2 D.直线1与平面11所成角的正弦值的最大值为 63 12.已知函数()=2+2，则下列说法正确的是()A.当=1时，函数=()的单调增区间
5、为(1,+)B.当=1时，函数=()的极小值为1 第 3 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司C.若()在定义域内不单调，则 (,0)D.若对1 2 0有(1)(2)2(1 2)成立，则 (14,+)三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有 种.14.(+1)(2 1)4展开式中含有3项的系数为_ 15.某工厂为研究某种产品的产量(吨)与所需某种原材料(吨)的相关性，在生产过程中收集了对应数据如表所示：根据表中
6、数据，得出关于的回归直线方程为 =0.6+.据此计算出在样本(4,3)处的残差为0.15，则表中的值为_.(注：残差是实际观察值与估计值之间的差)3 4 5 6 2 3 4 16.设抛物线：2=2(0)的焦点为，点(,0)，过点的直线交于，两点，直线垂直轴，|=3，则|=_ 四、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)已知等比数列是递增数列，25=32,3+4=12,数列满足=1()求数列的通项公式；()求数列的前项和 18.(本小题12.0分)已知四棱锥 中，侧面 为等边三角形，底面为直角梯形，/，=90，=12 =2，
7、(1)求证：平面 平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值 第 4 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 19.(本小题12.0分)博鳌亚洲论坛2023年会员大会于3月28日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织了一次知识竞赛，将所得成绩制成如下频率分布直方图(假定每个分数段内的成绩均匀分布)，组织者计划对成绩前30名的参赛者进行奖励(1)试确定受奖励的分数线；(2)从受奖励的90以下和90,100的30人中采取分层抽样的方法从中选10人在主会场服务，组织者又从这10人中任选5人为贵宾服务，记其中成绩在90分以上(含90分)的人数为，求的分布列与数学期望 20.
8、(本小题12.0分)某企业为了了解年广告费(单位：万元)对年销售额(单位：万元)的影响，统计了近7年的年广告费和年销售额(=1,2,3,4,5,6,7)的数据，得到如表的表格：年广告费 2 3 4 5 6 7 8年销售额 25 41 50 58 64 78 89由表中数据，可判定变量，的线性相关关系较强(1)建立关于的线性回归方程；(2)已知该企业的年利润与，的关系为=2 ，根据(1)的结果，年广告费约为何值时(小数点后保留一位)，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(1,1)，(2,2)，(,)，其回归直线 =+的斜率和截距的最 第 5 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司小二乘估计
9、分别为=(=1)()(=1)2=12=12，=；参考数据：7=1=405，7=1=2305 21.(本小题12.0分)如图，已知椭圆：22+22=1(0)的右焦点为2(3,0)，上顶点为(0,1)，右顶点为(1)求椭圆的标准方程；(2)若点是椭圆上异于，的一点，且直线、分别与轴和轴交于点，求证：|为定值 22.(本小题12.0分)已知函数()=2+2 (1)当=1时，求函数()在点(1,(1)处的切线方程；(2)设1，2(0 1 2)是函数()的两个极值点，证明：(1)(2)()+1，即()()+1 0，()=()()+1 +2022 ()1 2022=(0)1=(0)10，即()(0)，+2
10、022可得()(0)，则答案可求 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化思想，构造函数是关键，是中档题 9.【答案】【解析】解：根据方差的定义可知每个数据都加上同一个常数，则平均数也增加了这个常数，方差不变，故 A 正确；根据回归直线的定义可知变量增加1，增加的量大约是5故 B 错误；第 9 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司相关系数是反映两个变量之间线性相关程度的，相关系数|越接近1，相关性越强，越接近0相关性就越弱，故 C 正确；独立性检验中2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大 故选：根据方差，相关系数，回归直线方程，独立性检验的概念，经过计算可以直接解题 本
11、题考查了方差，相关系数，回归直线方程，独立性检验的概念 10.【答案】【解析】【分析】本题主要考查等差数列的通项公式及性质，属于中档题 利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可得解【解答】解：由已知可得数列+2的通项公式为+2=1+(1)，当=1时，11+2=1，解得1=3，故 A 正确；若=1，则+2=1+(1)1=，所以=2+2，故 B 错误；若2=6，则62+22=1=1+(2 1)，故=0，故 C 正确；若1，2，3成等差数列，则22=1+3，又+2=1+(1)，则1=3,2=6+6,3=11+22，所以12+12=14+22，解得=15，故1，2，3可能成等差数列，故 D
12、正确 故选：11.【答案】【解析】解：对于选项 A，正方体中，11 11，11 1，11 1=1，且11，1 平面11，11 平面11，1 平面11，11 1，同理，1 1，11 1=1，且11，1 平面11，第 10 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司直线1 平面11，选项正确；对于选项 B，正方体中 1/1，1 平面11，1 平面11，1/平面11，点在线段1上运动，到平面11的距离为定值，又 11的面积是定值，三棱锥 11的体积为定值，选项正确；对于选项 C，1/1，异面直线与1所成角为直线与直线1的夹角，易知 1为等边三角形，当为1的中点时，1；当与点1或重合时，直线与直线1
13、的夹角为60，故异面直线与1所成角的取值范围是60,90，选项错误；对于选项 D，以为原点，为轴，为轴，1为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，点竖坐标为，0 1，则(,1,)，(1,1,0)，1(0,1,1)，1(0,0,1)，所以1=(,0,1),1=(1,1,1)，由选项 A 正确：可知1=(1,1,1)是平面11的一个法向量，直线1与平面11所成角的正弦值为：|11|1|1|=1 3 2(12)2+12，当=12时，直线1与平面11所成角的正弦值的最大值为 63，选项正确 故选：在选项 A 中，推导出11 1，1 1，从而直线1 平面11；在选项 B 中，由1/平面11，得到到
14、平面11的距离为定值，再由 11的面积是定值，从而三棱锥的体积为定值；第 11 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司在选项 C 中，异面直线与1所成角转化为直线与直线1的夹角，可求取值范围；在选项 D 中，以为原点，为轴，为轴，1为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可 本题主要考查直线与平面所成的角，属于中档题 12.【答案】【解析】解：()=2+2=2+22，对于、，当=1时，()=222=2(1)(+1)，所以当0 1时，()1时，()0，()单调递增，所以函数=()的单调增区间为(1,+)，在=1有极小值(1)=1，故 A、都正确；对于，因为()=2+2=2+22，0，
15、当 0时，()0恒成立，函数()在定义域内单调递增，当 2 0有(1)(2)2(1 2)成立，即(1)21 (2)22成立，令()=()2=2+2 2(0)，由题意知(1)(2)在(0,+)上恒成立，即函数()在(0,+)上为增函数，则()=2+2 2 0恒成立，故 (2+)，因为2+=(12)2+14 14，所以 14，故 D 错误 故选：对于、，求导后，判断导数的正负后即可判断；对于，分 0和 2(1 2)化为(1)21 (2)22，令()=()2=2+2 2(0)，从而问题转化为函数()在(0,+)上为增函数，求导后得到 (2+)，结合二次函数即可判断 本题主要考查利用导数研究函数的单调
16、性与极值，不等式恒成立求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题 第 12 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司13.【答案】240 【解析】解：根据题意，分2步进行分析：将5人分为4组，有52=10种分法，安排4组学生分别讲4个故事，有44=24种情况，则有10 24=240种分配方案；故答案为：240 根据题意，分2步进行分析：将5人分为4组，安排4组学生分别讲4个故事，由分步计数原理计算可得答案 本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题 14.【答案】8 【解析】解：(+1)(2 1)4=(2 1)4+(2 1)4，3项的系数为：4222 4123=8，故答案
17、为：8 利用二项式定理展开式，即可解出 本题考查了二项式定理的展开式，学生的数学运算能力，属于基础题 15.【答案】4.8 【解析】解：=3+4+5+64=4.5，=2+3+4+4=+94，则样本点的中心的坐标为(4.5,+94)，代入 =0.6+，可得 =+94 0.6 4.5=+94 2.7 关于的回归直线方程为 =0.6+94 2.7 在样本(4,3)处的残差为0.15，=4时的预测值为3.15 即3.15=0.6 4+94 2.7，可得=4.8 故答案为：4.8 由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求解，由题意求得=4时的预测值，结合 第 13 页，共 18 页 学科网（北京
18、）股份有限公司回归直线方程求解值 本题考查线性回归方程与残差的求法，考查运算求解能力，是基础题 16.【答案】32【解析】解：由题意得(2,0)，因为直线垂直于轴，(,0)，准线方程为=2，所以点的横坐标为，设(1,1)，(2,2)，根据抛物线的定义知|=1+2=32 =3，解得=2，则：2=4，则(1,0)，可设直线的方程为 1=，联立抛物线方程有=+12=4可得2 4 4=0，=162+16 0，12=4，则(12)2=1612=16，则322=16，解得2=12，则|=2+2=12+1=32 故答案为：32 根据抛物线定义求出=2，再设直线的方程为 1=，得到韦达定理式，求出点横坐标，再
19、利用抛物线定义即可求出|的长 本题主要考查抛物线的性质，属于中档题 17.【答案】解：()由题意，设首项为1，公比为，则125=3212+13=12，1=1=2 或1=32=12 等比数列是递增数列，1=1=2，=21 =121；()=121，=21 第 14 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 =1+22+322+21 12 =12+222+121+2 得12 =1+12+122+121 2=2 +22 =4 +221 【解析】()由题意，设首项为1，公比为，利用条件，建立方程组求出基本量，从而可得数列的通项；()=21，利用错位相减法，可求数列的和 本题考查数列的通项与求和，正确
20、运用数列的求和方法是关键 18.【答案】解：(1)证明：四棱锥 中，=90，=12 =2，则=2+2=2 2，=(4 2)2+22=2 2，=4，2+2=2，又 ，且 =，平面，平面，又 平面，平面 平面，即平面 平面；(2)如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)，(0,2 2,0)，(2,2,0)，(2,0,6)，所以=(0,2 2,0)，=(2 2,2,6)，=(2,0,6)，设平面的法向量为=(,)，则 =2 2=0 =2+6=0，令=3，则=1，所以=(3,0,1)，第 15 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司设直线与平面所成角为，则=|=624=68，所以直线与平面所成角
21、的正弦值为 68 【解析】(1)由题意，利用勾股定理逆定理证明 ，由已知 ，证明 平面，从而证明平面 平面；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得 本题考查面面垂直的证明，线面角的求解，属中档题 19.【答案】解：(1)由频率分布直方图知，竞赛成绩在90,100分的人数为0.012 10 100=12；竞赛成绩在80,90)的人数为0.02 10 100=20，受奖励分数线在80,90)之间；设受奖励分数线为，则(90 )0.02 100+0.012 10 100=30，解得：=81，受奖励分数线为81(2)由(1)知：受奖励的30人中，分数在90,100分的人数为12，则分数在90
22、分以下的人数为30 12=18；从受奖励的30人中分层抽样选10人在主会场服务，其中分数在90分以下的有1830 10=6人，分数在90,100的有1230 10=4人，5人中成绩在90分以上(含90分)的人数的可能取值为0，1，2，3，4，(=0)=6540105=6252=142；(=1)=6441105=60252=521；(=2)=6342105=120252=1021；(=3)=6243105=60252=521；(=4)=6144105=6252=142；的分布列为：01234 1425211021521142数学期望为()=0 142+1 521+2 1021+3 521+4 1
23、42=2 【解析】(1)根据频率分布直方图首先确定奖励分数线所在区间，从而构造方程求得结果；(2)根据分层抽样原则确定10人中，分数在90分以下和90分以上(含90分)的人数，从而得到所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学 第 16 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司期望公式可计算得到期望值 本题考查离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题 20.【答案】解：(1)由表格数据，得=2+3+4+5+6+7+87=5，=17 7=1=4057，(7=1 )2=(3)2+(2)2+(1)2+02+12+22+32=28，由公式，得=7=17
24、27=172=230575405728=10，所以 =4057 10 5=557，故关于的线性回归方程为 =10+557；(2)由(1)可得，=2 10+557 ，设 10+557=，则=110 2 1114，所以=2 (110 2 1114)=110 2+2+1114，故当=10时，取得最大值，此时=10 1114 9.2，即年广告费约为9.2万元时，年利润的预报值最大 【解析】(1)根据最小二乘法公式计算即可；(2)结合(1)的结果，利用换元法求二次函数最值及取得最值时的自变量值即可 本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了学生的运算求解能力，属于中档题 21.【答案】解：(1)由右焦点2
25、(3,0)，上顶点(0,1)可得，=3,=1，2=2+2=4，即椭圆的标准方程为24+2=1；(2)证明：易知(2,0)，由点是异于，的一点，设(,)，则 2，1；设(0,0)，(0,0)，由，三点共线得=，即02=2，可得0=22，|=|22 1|=|+222|；由，三点共线得/，即0+0=0，得0=1，第 17 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司|=|2 0|=|+221|故|=|+222+221|=|(+2)24(+2)+4(+2)+2|，点在椭圆上，2+42=4，代入即得|=|2+42+44(+2)+4(+2)+2|=|44(+2)+8(+2)+2|=4为定值 【解析】(1)
26、根据焦点和顶点坐标即可得=3,=1，代入可得椭圆的标准方程；(2)设(,)，利用三点共线斜率相等即可求得点，得的坐标，进而可表示出|的表达式，结合2+42=4化简可得|=4 本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题 22.【答案】解：(1)当=1时，()=2+2 ，()=2+2 1(0)，所以(1)=2+2 1=3，(1)=0 所以函数()在点(1,(1)处的切线方程为=3(1)，即3 3=0(2)证明：令()=2+2 =22+2=0，即22 +2=0有两个不等正实根1，2，则 0=2 16 0,解得 16.所以1+2=12，12=1 故(1)(2)=(
27、21+12 1)(22+22 2)=21 22+(1 2)(1+2)(1 2)=21 22 2(1 2)=21 2 11 2 1 (12 1)=41 1+4+2，其中0 1 14 令()=4 +4+2，0 14，()=4 =4，当0 0，当4 14时，()0，所以()在(0,4)上单调递增，在(4,14)上单调递减，故()(4)=4 4 4+4+2=4 2+4(4 1)4 2+4 所以(1)(2)4 2+4成立 【解析】(1)先求导函数，再根据点斜式，即可求解(2)先求导函数，根据韦达定理得两极值点的关系，代入到(1)(2)中化简，构造()=4 第 18 页，共 18 页 学科网（北京）股份有限公司+4+2，求出最值，即可求证 本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的极值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于难题