1、2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用学 习 目 标核 心 素 养1.能利用两角和与差的余弦公式导出两角和与差的正弦公式、正切公式，了解它们的内在联系(重点)2会用两角和与差的正弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等. (重点、难点)1.通过对两角和与差的正弦、正切公式的推导，培养学生逻辑推理素养2通过应用两角和与差的正弦、正切公式进行求值、化简和证明，培养学生数学运算和逻辑推理素养.1. 两角和与差的正弦公式sin()sin_cos_cos_sin_.(S)sin()sin_cos_cos_sin_.(S)2. 两角和与差的正切公式(1)两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用
2、条件两角和的正切Ttan()，均不等于k(kZ)两角差的正切Ttan()，均不等于k(kZ)(2)两角和与差的正切公式的变形T的变形tan tan tan()(1tan_tan_)tan tan tan tan tan()tan()tan tan 1.T的变形：tan tan tan()(1tan_tan_)tan tan tan tan tan()tan()tan tan 1.思考：1. 两角和与差的正弦公式在结构上有什么特点？提示：正弦公式右边函数名的排列顺序为：正余余正，左右两边加减运算符号相同2两角和与差的正切公式中的“”“”符号有什么规律？提示：等号左边的“”“”和右边分式的分子相同
3、，和分母相反1若tan 3，tan ，则tan()等于()ABC3D3Atan().2计算sin 43cos 13cos 43sin 13的结果等于()ABCDAsin 43cos 13cos 43sin 13sin(4313) sin30.3已知sin ，0，则cos _，sin_.因为sin ，0，所以cos ，所以sinsin cos cos sin .给角求值【例1】(1)计算：sin 14cos 16sin 76cos 74；(2)计算：tan 23tan 37tan 23tan 37.解(1)原式sin 14cos 16sin(9014)cos(9016)sin 14cos 16c
4、os 14sin 16sin(1416)sin 30.(2)法一：tan 23tan 37tan 23tan 37tan(2337)(1tan 23tan 37)tan 23tan 37tan 60(1tan 23tan 37)tan 23tan 37.法二：tan(2337)，tan 23tan 37tan 23tan 37，tan 23tan 37tan 23tan 37.解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形(2)一般途径是将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消
5、的项并消项求值，化分子，分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式跟进训练1(1)已知角的终边经过点(3,4)，则sin的值为()ABCD(2)_.(1)C(2)(1)因为角的终边经过点(3,4)，则sin ，cos ，所以sinsin cos cos sin .(2)原式tan(4515)tan 60.给值(式)求值【例2】(1)已知sin，cos，且0，求cos()的值(2)若tan，则tan _.(1)解0，0.又sin，cos，cos，sin.cos()sinsinsincoscossin.(2)法一：tan.6tan 61tan (tan 1)，tan .法二：tan tan.给值(式
6、)求值的策略(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”跟进训练2(1)已知tan 2，tan()，则tan 的值为_(2)_.(1)3(2)(1)tan tan()3.(2)原式sin 30.给值求角探究问题1若已知角，通过求角的哪个三角函数值来求角的值比较方便？提示：因为正弦函数ysin x和正切函数ytan x在区间上都是单调函数，所以通过求sin 或tan 的值，进而求出角的值比较方便2. 若已知角(0，)，通过求角的哪个三角函数值来求
7、角的值比较方便？提示：因为余弦函数ycos x在(0，)上是单调函数，所以通过求cos 的值，进而求出角的值比较方便【例3】(1)已知，均为锐角，且sin ，cos ，求的值(2)已知，均为锐角，tan ，tan ，则_.思路点拨(1)(2)(1)解因为，均为锐角，且sin ，cos ，所以cos ，sin ，所以sin()sin cos cos sin ，又，所以.(2)因为tan ，tan ，所以tan()1.因为，均为锐角，所以(0，)，所以.1. 在例3(1)中，求出cos()的值，再求的值解因为，均为锐角，且sin ，cos ，所以cos ， sin ，cos()cos cos sin sin .因为sin sin ，所以0，所以，所以.2例3(2)的条件改为“tan ，tan 是方程x23x40的两根，且，”，则的值是什么？解因为tan ，tan 是方程x23x40的两根，所以所以tan 0，tan 0，所以，.所以0，所以0，由题意得，sin ，cos()，cos(2)cos()cos cos()sin sin().(2)cos cos()cos cos()sin sin()，又因为，所以.