1、安徽省十校联盟2020届高三数学下学期3月线上自主联合检测试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】依题意，故选C2.在正方形内任取一点，则该点在此正方形的内切圆外的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设正方形边长为，则，故选A.3.复数，是虚数单位，则下列结论正确的是A. B. 的共轭复数为C. 的实部与虚部之和为1D. 在复平面内的对应点位于第一象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算，求得，在根据复数的模，复数与共轭复
2、数的概念等即可得到结论【详解】由题意，则，的共轭复数为，复数的实部与虚部之和为，在复平面内对应点位于第一象限，故选D【点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为4.若，则，的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】易知，故选B.5.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的结果为86，则正整数k的最小值为（ ）A 1 806B. 43C. 48D. 42【答案】B【解析】
3、【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的执行过程，可得答案【详解】解：开始，n1，S1，故S2113，n1(11)2，S与输出的结果不符，故2k不成立S2328，n2(21)6，S与输出的结果不符，故6k不成立S28622，n6(61)42，S与输出的结果不相符，故42k不成立S2224286，n42(421)1 806.S与输出的结果相符，故1 806k成立所以k的最小值为43.故选：B.【点睛】本题考查的知识点是程序框图，难度不大，属于基础题6.已知等差数列的前项和为，若，则的公差为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，则，故选B.7.已知，是空间中两条不同的直线，是两个不同的
4、平面，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，且，则【答案】B【解析】【详解】两个平行平面中的两条直线可能异面，A错；两个平行平面中任一平面内的直线都与另一平面平行，B正确；C中直线也可能在平面内，C错；任一二面角的平面角的两条边都二面角的棱垂直，但这个二面角不一定是直二面角，D错.故选B.8.已知实数，满足，若的最大值为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】作出可行域，如图内部（含边界），其中，若A是最优解，则，检验符合题意；若B是最优解，则，检验不符合题意，若，则最大值为34；若C是最优解，则，检验不符合题意；所以，故选B.9.某几何体由三个圆柱
5、和大小相同的两个半球组成，它的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是（ ） （侧视图中间有小圆）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三视图即可知半球的直径为2，左右两个圆柱的高为1，底面直径为2，中间圆柱的高为3，底面直径为1，再根据球的表面积公式，圆柱的侧面积公式等即可求出【详解】由三视图可知，该几何体左、右各是半球，半球的直径为2，左右两个圆柱的高为1，底面直径为2，中间圆柱的高为3，底面直径为1所以该几何体的表面积故选：A.【点睛】本题主要考查利用三视图求几何体的表面积，涉及球的表面积公式，圆柱的侧面积公式等的应用，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于
6、基础题10.已知点和，直线：，若直线与线段有公共点，则的最小值为（ ）A. 24B. C. 25D. 【答案】B【解析】【分析】依题意可知，即可画出点所在区域，根据线性规划的知识和表示的几何意义，即可求出【详解】依题可得，点所在的区域，如图所示：直线过点时，得，直线过点时，得.表示点到原点的距离的平方.到直线的距离，到直线的距离，又，的最小值为故选：B【点睛】本题主要考查一元二次不等式组表示的平面区域，以及非线性目标函数最值的求法应用，属于基础题11.已知抛物线：（）过点，经过焦点的直线与抛物线交于，两点，在轴的上方，.若以为直径的圆经过点，则（ ）A. B. C. 2D. 4【答案】D【解析
7、】【分析】由点可得抛物线方程为,设直线的倾斜角为,由抛物线的定义可得,再由以为直径的圆经过点可得,利用三角函数定义可得,解得的值,代回即可求解.【详解】依题意,将代入抛物线的方程中,可得,则,如图,设直线的倾斜角为,则,同理,以为直径的圆经过点,即,故选:D【点睛】本题考查抛物线的定义的应用,考查抛物线的焦半径,考查数形结合思想.12.已知函数在内单调递减，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求导可得,转化问题为在上恒成立,即在上恒成立,设,整理可得,即可求得的范围,进而求解.【详解】由题,在内单调递减,则,即,令,则,解得,故选:C【点睛】本题考查利用
8、导函数由函数单调性求参,考查转化思想与运算能力.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量，若，则实数_【答案】【解析】，则题意，解得.14.的展开式中，的系数为_（用数字作答）.若变量，满足，且，则的最大值是_.【答案】 (1). 10 (2). 【解析】【分析】的系数分为两部分,一部分为,一部分为,二者求和即可；由题画出可行域,由,即,找到可行域内的交点使该直线截距最大,即可代入求解.【详解】由题,的系数为；由不等式组,画出可行域,如图所示,因为,即,则平移该直线,当与点相交时,截距最大,则的最大值为,故答案为:10；【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数,
9、考查利用线性规划求最值,考查数形结合思想.15.某公司为确定明年投入某产品的广告支出,对近5年的年广告支出(单位:万元)与年销售额(单位:万元)进行了初步统计,如下表所示.年广告支出/万元23578年销售额/万元28376070经测算,年广告支出与年销售额满足线性回归方程,则的值为_.【答案】55【解析】【分析】根据在线性回归方程上,即可求得的值.【详解】根据所给数据求出: 根据在线性回归方程上 ,解得: 故答案为:.【点睛】掌握在线性回归方程是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.16.已知抛物线：（）的焦点为，准线：，点在抛物线上，点在准线上，若，直线的倾斜角为，则_【答案】【解
10、析】如图，设准线与x轴交点为B，由于AF的倾斜角为，双，又由已知，即，.点睛：破解抛物线上的动点与焦点、定点的距离和最值问题的关键：一是“化折为直”的思想，即借助抛物线的定义化折为直；二是“数形结合”思想，即画出满足题设条件的草图，通过图形的辅助找到破题的入口本题就是得出，然后再由已知得等边三角形，从而有三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知数列为等差数列，数列满足，若，成等比数列，且.（1）求，；（2）求数列的前项和.【答案】（1），,；（2）【解析】【分析】（1）根据题意分别求出，即可得到，由可求出数列的公差，即可解出，从而求出，；（2）
11、由（1）可知，即可利用裂项相消法求出数列的前项和【详解】（1）设数列是公差为的等差数列，由，若，成等比数列，可得，即为，由，即，可得，则，解得， 则，;，.（2），则前项和.【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，通项公式的求法，裂项相消法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题18.2019年国际篮联篮球世界杯将于2019年8月31日至9月15日在中国的北京、广州、南京、上海、武汉、深圳、佛山、东莞八座城市举行.为了宣传国际篮联篮球世界杯，某大学从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事的情况进行了问卷调查，统计数据如下：会收看不会收看男生6020女生20
12、20（1）根据上表说明，能否有99%的把握认为是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事与性别有关？（2）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球3次均未命中的概率为.（i）求乙投球的命中率；（ii）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为，求的分布列和数学期望.附：，其中，0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879【答案】（1）有99%的把握认为是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事与性别有关；（2）（i）；（ii）分布列见解析，【解析】【分析】（1）由数据求得,进而与6.635比较大小即可；（2）（i）根据二项分
13、布的概率公式求解即可；（ii）可取0,1,2,3,利用二项分布及独立事件的概率公式求得概率,即可得到分布列与期望.【详解】（1）由表中数据可得的观测值,所以有99%的把握认为是否会收看该国际篮联篮球世界杯赛事与性别有关.（2）（i）（乙投球3次均未命中）,解得.（ii）可取0,1,2,3,则,的分布列为:0123.【点睛】本题考查独立性检验解决实际问题,考查独立重复试验的概率,考查离散型随机变量的分布列及期望,考查数据分析能力.19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，为的中点，.（1）求证：平面平面；（2）若异面直线与所成角为，求的长；（3）在（2）的条件下，求平面与平面所成锐二面角
14、的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）若要证明平面平面,可先证明平面,由面面垂直的性质可得,即证明即可,进而求证；（2）以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,设,分别求得与,进而利用数量积求解即可；（3）由（2）,分别求得平面与平面的法向量,进而利用数量积求解.【详解】（1）,为的中点,四边形为平行四边形,又平面底面,且平面平面,平面,平面,平面平面.（2）,为的中点,平面底面,且平面平面,底面,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,如图所示,设,则,设异面直线与所成角为,异面直线与所成角为,解得,在中,.（3）由（2）平面的法向量,设平面
15、的法向量,则,取,得,设平面与平面所成锐二面角为,则,平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查已知异面直线成角求参数,考查空间向量法求二面角,考查运算能力.20.已知椭圆：（）的左右焦点分别为，若椭圆上一点满足，且椭圆过点，过点的直线与椭圆交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作轴的垂线，交椭圆于，求证：，三点共线.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可得，再把点的坐标代入可求得，得椭圆方程；（2）由于的坐标为，因此我们可以求出直线的方程，再证明点在此直线上即可为此设设的方程为，点，联立直线方程与椭圆方程，消元后得一元二次方程，用韦达定理
16、得，写出直线方程，并把代入得直线方程，令，求出，利用可得结果，结论得证试题解析：（1）依题意，故.将代入中，解得，故椭圆：.（2）由题知直线的斜率必存在，设的方程为.点，联立得即，由题可得直线方程为，又，.直线方程为，令，整理得 ，即直线过点.又椭圆的左焦点坐标为，三点，在同一直线上.点睛：“设而不求”是解题过程中根据需要设邮变量，但并不直接求出其具体值，而是利用某种关系（如和、差、积）来表示变量之间的联系，在解决圆锥曲线的有关问题时能够达到种“化难为易、化繁为简”的效果，在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，步骤一般如下：（1）设直线方程与椭圆为的两个交点坐标为；（2）联立直线与椭圆的方程组成方
17、程组，消元得一元二次方程；（3）利用韦达定理得，然后再求弦长以及面积，或求其他量（如本题向量的数量积）21.已知函数(1)求函数的极值；(2)若是方程两个不同的实数根,求证:【答案】（1）有极小值，无极大值.（2）见解析【解析】试题分析：（1）先求函数导数，再求导函数在定义区间上零点，列表分析导函数符号变化规律，确定函数极值，（2）先根据零点得，再代入化简不等式为，构造函数，其中.最后根据导数确定函数单调性，根据单调性证不等式.试题解析：（1）依题意， 故当时， ，当时， 故当时，函数有极小值，无极大值.（2）因为， 是方程的两个不同的实数根.两式相减得，解得要证： ，即证： ，即证： ，即证
18、，不妨设，令.只需证.设，；令，在上单调递减， ，在为减函数，.即在恒成立，原不等式成立，即.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角）.以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两个坐标系下取相同的长度单位.（1）当时，求直线的极坐标方程；（2）若曲线和直线交于，两点，且，求直线的倾斜角.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）将代入直线的参数方程后，消去参数，可得直线的一般方程，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求出其极坐标方程；（2）先将曲线的参数
19、方程化为普通方程，再将直线的参数方程代入，利用参数的几何意义以及弦长公式即可表示出，即可解出直线的倾斜角【详解】（1）由得，则其极坐标方程，即.（2）由得.将代入圆的方程中，得，化简得，.设，两点对应的参数分别为、，则，.，故，解得或.则直线的倾斜角为或.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程之间的互化，参数方程与极坐标方程之间的互化，直线参数方程中的几何意义以及弦长公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题23.已知f(x)|2x4|x3|.(1)解关于x的不等式f(x)8；(2)对于正实数a，b，函数g(x)f(x)3a4b只有一个零点，求的最小值. 【答案】（1）(3，1)；（2）.【解析】【分析】（1）将函数解析式化成分段函数，用分类讨论的方法解不等式.（2）作出函数的大致图象，的零点，转化为函数与的交点，由图可知，然后利用基本不等式求的最小值.【详解】解：（1）由题意可得,故当时，不等式可化为，解得，故此时不等式的解集为；当时，不等式可化为，解得，故此时不等式的解集为；当时，不等式可化为，解得，此时不等式无解,综上，不等式的解集为.(2)作出函数的大致图象及直线，如图.由图可知，当只有一个零点时，即，故,当且仅当时等号成立的最小值为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法与基本不等式的应用，属于基础题.