1、3.4基本不等式:第1课时基本不等式课后篇巩固探究A组1.若a0,b0,且a+b=2,则下列不等式正确的是()A.ab1B.ab1C.a2+b24D.a2+b24解析由已知可得ab=1,而a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab2,故只有A正确.答案A2.若x0,y0,且x+y=,则xy的最大值为()A.B.2C.D.解析由基本不等式可得xy,当且仅当x=y=时,xy取最大值.答案D3.若实数a,b满足a+b=2,则3a+3b的最小值是()A.18B.6C.2D.2解析3a+3b2=2=2=6,当且仅当a=b=1时,取等号.故3a+3b的最小值是6.答案B4.已知a,b均为正实数,则下列不
2、等式不一定成立的是()A.a+b+2B.(a+b)4C.a+bD.解析A项,a+b+22,当且仅当a=b=时等号同时成立;B项,(a+b)=2+4,当且仅当a=b时取等号;C项,=a+b,当且仅当a=b时取等号.故选D.答案D5.若lg x+lg y=2,则的最小值为()A.B.C.D.2解析由lg x+lg y=2可知x0,y0,且xy=100,于是(x+y)2,当且仅当x=y=10时,取等号.故的最小值为.答案B6.已知a1,且m=loga(a2+1),n=loga(a+1),p=loga(2a),则m,n,p的大小关系是.(用“”连接)解析a1,a2+12aa+1,loga(a2+1)l
3、oga(2a)loga(a+1),mpn.答案mpn7.已知t0,则y=的最小值为.解析y=t+-32-3=-1,当且仅当t=1时,取等号.故函数的最小值为-1.答案-18.已知abc,则的大小关系是.解析abc,a-b0,b-c0,.当且仅当b=时取等号.答案9.已知a,b均为正实数,求证:+ab2.证明由于a,b均为正实数,所以2,当且仅当,即a=b时,等号成立.又因为+ab2=2,当且仅当=ab时等号成立,所以+ab+ab2,当且仅当即a=b=时取等号.10.导学号04994085已知不等式ax2-3x+20的解集为A=x|1xb.(1)求a,b的值;(2)求函数f(x)=(2a+b)x
4、-(xA)的最小值.解(1)由题意知解得(2)由(1)知a=1,b=2,A=x|1x2,所以f(x)=4x+ (1x0时,4x+2=26=12.当且仅当4x=,即x=时取等号.而x=A,故f(x)的最小值为12.B组1.已知=2(a0,b0),则ab的最小值是()A.4B.5C.6D.7解析=2(a0,b0),22,化为ab6,当且仅当a=3,b=2时取等号.ab的最小值是6.故选C.答案C2.若a,b,cR,且ab+bc+ca=1,则下列不等式成立的是()A.a2+b2+c22B.a+b+cC.2D.(a+b+c)23解析因为a2+b22ab,b2+c22bc,a2+c22ac,于是a2+b
5、2+c2ab+bc+ca=1,故A错;而(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3(ab+bc+ca)=3,故选项D正确;从而选项B错误;令a=b=c=,则ab+bc+ca=1,但=32,故选项C错误.答案D3.已知x,y均为正数,且xy,则下列四个数中最大的一个是()A.B.C.D.解析取x=1,y=2,可得,因此最大的是.答案A4.函数f(x)=的最小值等于.解析由基本不等式可知f(x)=2=4,当且仅当,即x=4时取最小值.答案45.已知a0,b0,若lg a和lg b的等差中项是0,则的最小值是.解析由已知得lg a+lg b=0,即ab=1,于是=a+b2=2,当且
6、仅当a=b=1时,取等号.故的最小值是2.答案26.已知函数f(x)=4x+ (x0,a0)在x=3处取得最小值,则a=.解析由基本不等式,得4x+2=4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立,即=3,a=36.答案367.若x,yR,且满足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-180.(1)求x2+y2的取值范围;(2)求证:xy2.(1)解由(x2+y2)2+(x2+y2)-200,得(x2+y2+5)(x2+y2-4)0,因为x2+y2+50,所以有0x2+y24.故x2+y2的取值范围是0,4.(2)证明由(1)知x2+y24,所以xy=2,当且仅当x=y时,取等号.故xy2.8.导学号04994086已知a,b为正实数,且=2.(1)求a2+b2的最小值;(2)若(a-b)24(ab)3,求ab的值.解(1)a,b为正实数,且=2,=22,即ab (当且仅当a=b时等号成立).a2+b22ab2=1(当且仅当a=b时等号成立),a2+b2的最小值为1.(2)=2,a+b=2ab.(a-b)24(ab)3,(a+b)2-4ab4(ab)3,即(2ab)2-4ab4(ab)3,即(ab)2-2ab+10,(ab-1)20.a,b为正实数,ab=1.