1、7.6直线与圆锥曲线（2） 基础练习1已知对，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是 （ ）（A） （B） （C） （D）（目的：理解方程中含有一个参数的直线的特征，能够用直线上的特殊点判断直线与圆锥曲线的关系）【答案】【解析】直线恒过点，当点在椭圆上或椭圆内时此直线恒与椭圆有公共点。2已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0）直线y=x1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是（ ）（A） （B）（C） （D）（目的：理解双曲线中点弦的斜率、弦中点的坐标与方程中系数的关系） 【答案】（D）【解析】设双曲线方程为分别代入双曲线方程并相减即可求解。3设抛物线与直线有两个交点
2、，其横坐标分别是，而直线与轴交点的横坐标是，那么的关系是（A）（B）（C）（D）（目的：能够发现直线与抛物线交点之间的特殊联系） 【答案】（B）【解析】由题意得：故选（B）4抛物线截直线得弦，若，是抛物线的焦点，则的周长等于（目的：学会运用抛物线的定义解决有关直线的与抛物线的关系问题） 【答案】【解析】利用弦长公式及抛物线的定义求解。5双曲线的左焦点为，为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线的斜率的变化范围是（目的：能够理解直线与双曲线的位置与双曲线的渐进线斜率有关） 【答案】【解析】画出图形，利用数形结合法求解。6直线，以椭圆的焦点为焦点作另一椭圆与直线有公共点且使所作椭圆长轴最短时，公
3、共点坐标是。（目的：学会运用等价转化的思想解决复杂问题） 【答案】【解析】设椭圆与直线的公共点为，其长轴长欲使的值最小，需在直线上找一点使其到两定点的距离和最小。典型例题例1 已知直线与椭圆交于两点，是中点，为原点。（I）当直线与直线平行（不重合）时，求直线的斜率；（II）若，证明，并求线段长取最大值时，直线的方程（目的：熟练掌握解决直线与圆锥曲线位置关系的基本方法；如运用中点弦、焦点弦、韦达定理等有关知识，采用引参、消参、设而不求、待定系数等常用方法解决问题。）（I）令则 两式相减得（II）由时此时例2如图点是椭圆的短轴位于轴下方的端点，过作斜率为1的直线交椭圆于点，点在轴上，且轴，。（I）
4、若的坐标为（0，1），求椭圆的方程。（II）若的坐标为，求的取值范围。（目的：以椭圆为载体，运用向量和不等式及函数的相关知识解决问题）【解析】由题设，是等腰直角三角形，且代入，得 所求椭圆方程为 （）若由题意得，在曲线上，则若 则在轴下方，例3已知点，、，设为直角坐标平面内 轴正方向上的单位向量，若向量，且=4.（）求动点的轨迹方程，并讨论方程所表示的曲线；（）设直线与点的轨迹交于、两点，问是否存在实数使得？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由.（目的：学会解决向量形式下直线与圆锥曲线的关系问题）【解析】（）解: ，且=4，点到两定点，的距离之差为4 当，即时，点的轨迹是一条射线，方程为；
5、当，即时，点轨迹是以，为焦点的双曲线的右支，方程为： （）解: 当时，显然不合题意； 当时，动点的轨迹方程为设、，则，又得： 把代入上式并整理：由消去得把，代入，并解得 当时，方程为，而且，因此满足条件的值不存在 例4已知抛物线及定点是抛物线上的点，设直线与抛物线的另一个交点分别为，求证：当点在抛物线上变动时（只要存在且与是不同的两点），直线恒过一定点，并求出定点的坐标。 【解析】设因为三点共线，所以同理求得设直线过定点则点共线，所以即由消去得上式对任意恒成立，所以得到故所求的直线恒过定点（1，2）。方法与小结直线与圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体，与其
6、他知识如函数、不等式、方程、向量等综合，涉及求曲线方程、讨论曲线性质、最值、有关参数的取值范围、对称等综合问题。解答这类问题以解析几何思想为指导从方程或方程组入手，还要用用等价转化、函数方程、数形结合、分类讨论、运动变换等数学思想。达标训练1过点的直线与双曲线的右支交于两点，则直线的斜率的取值范围是 （ ）（A）（B）（C）（D）（目的：掌握判断直线与双曲线位置关系的基本方法） 【答案】（B）【解析】直接法：由题意，点是双曲线的右焦点，过的直线平行于渐进线时，此时与双曲线只有一个交点，若使交点同在右支，则。2已知直线交椭圆于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点，则直线的方
7、程是 （ ） （A）（B）（C）（D）（目的：能够利用直线与圆锥曲线的特殊位置关系求出相关量） 【答案】（D）【解析】由题设，设直线方程为则：代入方程检验即可。3过点与抛物线有且只有一个交点的直线有（ ）（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条（目的：掌握判断直线与抛物线位置关系的方法） 【答案】（B）【解析】当直线垂直于轴时满足条件，当直线不垂直于轴时，设直线方程为满足条件的直线有两条。4已知是抛物线的焦点，是抛物线上的两点，为正三角形，求该正三角形的边长。（A）（B）（C）（D）无法确定（目的：理解抛物线的对称性在解题中的运用）【答案】（C）【解析】利用抛物线的对称性求解。【答案】（D）【
8、解析】设点按向量平移后的点为，则，设平移后的切线方程为，代入（1）得5抛物线上不存在关于直线对称的两点，求的范围（目的：学会运用间接、假设的方法解决存在性问题） 【答案】【解析】若时，不存在。若时，设有这样的两点，则 上，且消恒成立，故满足条件。6 已知中心在原点的椭圆经过点，则该椭圆的半长轴长的取值范围是。（目的：学会运用函数的观点解决几何问题） 【答案】【解析】不妨设椭圆方程为，椭圆经过点，则又根据图有再由7如图点，点在轴上运动，点在轴上，为动点，且（）求点的轨迹的方程；（）过点的直线（不与轴垂直）与曲线交于两点，设点， 与的夹角为，求证：（目的：能够将向量形式所表达的图形的几何性质转化为
9、解析式，并学会运用向量的方法解决问题）【解析】（）设即为的中点， 为所求的曲线方程。（）设的方程为，由 消去得设则，8已知双曲线的两条渐进线过坐标原点，且与以点为圆心，为半径的圆相且，双曲线的一个顶点与点关于直线对称，设直线过点，斜率为。（）求双曲线的方程；（）当时，若双曲线的上支上有且只有一个点到直线的距离为，求斜率的值和相应的点的坐标。（目的：理解双曲线的渐进线、对称性及等轴双曲线的特征，并运用他们之间的关系解决问题）【解析】（）设双曲线的渐进线方程是与圆相切，渐进线方程为，又双曲线的一个顶点关于的对称点为双曲线的方程为。（）直线 设在上方与平行且相距的直线的直线方程是由的方程是代入，解得（）当时方程只有一组解，符合题意。此时（）当时，由与有且只有一个公共点，得综上所述：9已知抛物线：和抛物线：是否存在直线，使直线与抛物线从下到上顺次交于点且这些点的纵坐标组成等差数列？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说出理由【解析】解：（1）假设存在直线符合题意，解当时，有同理，解当时，有若组成等差数列，则无解。（1） 假设直线的斜率不存在，设想方程），代入代入若组成等差数列，则，解得存在直线满足题意。
