1、甘肃省永昌县第一高级中学2020-2021-1期中试卷高三数学（文科）一、选择题1. 设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别解出集合、中的不等式即可.【详解】因为所以故选：A【点睛】本题考查的是一元二次不等式的解法和集合的运算，较简单.2. 已知命题，则命题的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题的否定.【详解】命题为特称命题，其否定为，.故选：C.【点睛】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题.3. 已知复数满足（为虚数单位），则在复平面内复数对应的点的
2、坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】根据复数的乘法、除法运算法则以及复数的模的概念，结合复数与对应点的关系，可得结果.【详解】由题意，故，其在复数平面内对应的点的坐标为.故选B.【点睛】本题考查复数的运算以及所对应的点，属基础题.4. 下列函数中，在内有零点且单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】选项A，对数函数的零点是x=1，不在内，故不正确；选项B，指数函数的定义域，底数大于1是增函数，故正确；选项C，二次函数在上是减函数，在上是增函数，故不正确；选项D，在定义域是减函数，故不正确故选B5. 造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四
3、大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生400名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种及其以上发明的有73人，据此估计该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ）.A 69人B. 84人C. 108人D. 115人【答案】C【解析】分析】先求得名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此列出比例式，可求得名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.【详解】在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有人
4、，设该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有人，则，解得人.故选：C.【点睛】本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题.6. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三角函数图象平移变换的规律可得所求的解析式【详解】将函数的图象向左平移个单位后所得图象对应的解析式为故选A【点睛】解题中容易出现的错误是忽视在横方向上的平移只是对变量而言的这一结论，当的系数不是1时，在解题时需要提出系数、化为系数是1的形式后再求解7. 函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解
5、析】【分析】由函数的奇偶性可排除B；由可排除选项A、D.【详解】设，定义域为，所以为奇函数，故排除选项B；又，排除选项A；，排除选项D.故选：C【点睛】本题考查由解析式选函数图象的问题，涉及到函数的性质，此类题一般从单调性、奇偶性、特殊点的函数值入手，是一道容易题.8. 函数在处有极值为10，则a的值为（ ）A. 3B. -4C. -3D. -4或3【答案】B【解析】【分析】首先对求导，然后由题设在时有极值10可得解之即可求出和的值【详解】解：对函数求导得，又在时有极值10，解得或，当，时，,故在无极值，故故选：B【点睛】本题掌握函数极值存在的条件，考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力，属
6、于基础题9. 已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则（ ）A. B. 1C. 2D. 【答案】C【解析】【详解】试题分析：设过点的直线的斜率为，则直线方程，即，由于和圆相切，故，得，由于直线与直线，因此，解得，故答案为C.考点：1、直线与圆的位置关系；2、两条直线垂直的应用.10. 已知正项等比数列的前项和为，且，成等差数列，则与的关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设等比数列的公比为，由已知列式求得，再由等比数列的通项公式与前项和求解得答案.【详解】设等比数列的公比为，由，成等差数列，得，又，所以，即，所以，又，所以，所以，所以，故选：A.【点睛
7、】本题考查等比数列的通项公式与前项和，考查等差数列的性质，属于中档题.11. 已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】据抛物线方程求得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为2，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得【详解】抛物线的准线方程为，联立双曲线，解得，由题意得，所以，所以，故选:D【点睛】本题考查双曲线的简单性质解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出FAB为等腰直角三角形12. 若，则下列不等式正确
8、的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用基本初等函数单调性对选项逐一判断即可【详解】，对A选项，变形为logax3logay2，而函数y=是单调递减函数，x3y2，logax3logay2，故A不正确；对B选项，,函数y=cosx是单调递减函数，故B不正确；对C选项，y=是单调递减函数，, 故C不正确；而D选项，幂函数y=是单调递增函数，故应选D.【点睛】本题考查了基本初等函数的性质的应用，熟练掌握函数的单调性是解本题的关键二填空题13. 已知平面向量、的夹角为，且，则_【答案】【解析】【分析】根据、的夹角为，且，由利用数量积求解.【详解】因为、的夹角为，且，所以，故答
9、案为：.14. 已知为等差数列的前项和，且，则_.【答案】120【解析】【分析】根据等差数列通项公式及前项和公式，可得关于首项与公差的方程组，解方程组求得首项与公差，再代入前项和公式即可求得的值.【详解】设等差数列的公差为，根据题意得解得，所以.故答案为：120.【点睛】本题考查了等差数列通项公式与前项和公式的简单应用，属于基础题.15. 若满足约束条件，则的最小值为_【答案】6【解析】【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】由约束条件作出可行域如图阴影所示，化目标函数z2x+y为y2x+z，由图可知，当直线y2x+z过A时直线在y轴上的截
10、距最小，z最小，联立 得A（2,2），故z的最小值为6故答案为6【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题16. 已知函数对任意的，都有，函数是奇函数，当时，则方程在区间内的所有零点之和为_.【答案】4【解析】【分析】由已知可得函数的图象关于点对称，由可得函数的周期为2，且图象关于直线对称，从而画出函数的图像，结合图像可得出结果【详解】函数是奇函数，函数的图象关于点对称，把函数的图象向右平移1个单位可得函数的图象，即函数的图象关于点对称，则，又，从而，即，函数的周期为2，且图象关于直线对称，画出函数的图象如图所示： 结合图象可得区间内有8个零点，且所有零点之和为.
11、故答案为：4.【点睛】此题考查函数的奇偶性和周期性，考查函数与方程，考查数形结合思想，属于中档题.三、解答题17. 设的内角的对边分别为,且.（1）求角的大小;（2）若,求的值及的周长.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，由于sinA0，可求tanB的值，结合范围B（0，），利用特殊角的三角函数值即可求得B的值（2）由已知及正弦定理可得c=2a，利用余弦定理可求9=a2+c2ac，联立即可解得a，c的值，利用三角形面积公式即可计算得解【详解】（1）由正弦定理得在中，即； （2） ，由正弦定理得 又，解得（负根舍去）， 的周长【点睛】本题主要考查了正弦定理，特
12、殊角的三角函数值，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题18. 在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不少于120分的有10人，统计成绩后得到如下列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时419线上学习时间不足5小时10合计45（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线
13、上学习时间有关”；（2）在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，求至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率.（下面的临界值表供参考）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式其中）【答案】（1）见解析，有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）（或0.7）【解析】【分析】（1）首先根据条件填写列联表，并根据公式计算，并和比较大小，并得出判断；（2）依题意，根据分层抽样
14、，分别计算抽到线上学习时间不少于5小时的学生和线上学习时间不足5小时的学生人数，并编号列举所有基本事件，计算至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率.【详解】（1）分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时15419线上学习时间不足5小时101626合计252045有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关” （2）依题意，抽到线上学习时间不少于5小时的学生人，设为，线上学习时间不足5小时的学生2人，设为，所有基本事件有：，共10种至少1人每周线上学习时间不足5小时包括：，共7种故至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率为（或0.7）【点睛】本题考查独立性
15、检验和古典概型，重点考查读懂题意，重点考查根据数据分析问题，解决问题的能力，属于基础题型，本题第二问的关键是根据分层抽样正确求出两组的人数.19. 如图，直四棱柱中，点M是的中点.（1）证明：平面；（2）求点C到平面的距离.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用中位线定理以及平行传递性证明四边形为平行四边形，从而得出，最后由线面平行的判定定理证明即可；（2）求出以及，利用等体积法，即可得出点C到平面的距离.【详解】（1）取的中点为，连接点M是的中点即四边形为平行四边形平面，平面平面（2）设点C到平面的距离为，连接平面平面，解得【点睛】本题主要考查了证明线面平行以及求点到平面的
16、距离，属于中档题.20. 已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且（1）求抛物线的方程；（2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，若，求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可求出，进而可得抛物线的方程；（2）由题意易知：直线的方程为，与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和向量数量积的坐标运算代入即可解出【详解】解：（1）已知抛物线过点，且则，故抛物线的方程为；（2）设，联立，得，得，又，则，或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，又，综上：的值为-8【点睛】本题重点考查了利用一元二次方程的根与系数的关系研究直线与抛物线相交问题，考查了推理能力与计算能力，属
17、于中档题21. 已知函数（1）判断在定义域上的单调性；（2）若在上的最小值为2，求的值【答案】（1）当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数；（2）.【解析】【分析】（1）先确定的定义域为，再求导，由“，为增函数，在为减函数”判断，要注意定义域和分类讨论（2）因为，由（1）可知当时，在上为增函数，当时，即时，在上也是增函数，当时，即时，在，上是减函数，在，上是增函数，当时，即时，在，上是减函数，最后取并集【详解】解：（1）由题意得的定义域为，当时，故在上为增函数；当时，由得；由得；由得；在上为减函数；在上为增函数所以，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数（2），由（
18、1）可知：当时，在上为增函数，得，矛盾!当时，即时，在上也是增函数，（舍去）当时，即时，在上是减函数，在上是增函数，得（舍去）当时，即时，在上是减函数，有，综上可知：【点睛】本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围时，往往转化为求相应函数的最值问题22. 在平面直角坐标系中，已知直线(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为，直线与曲线的交点为，求的值.【答案】（1）；（2）3.【解析】【分析】（1）把展开得，两边同乘得,再代极坐标公式得曲线的直角坐标方程.（2）将代入曲线C的直角坐标方程得，再利用直线参数方程t的几何意义和韦达定理求解.详解】（1）把展开得，两边同乘得将代入，即得曲线的直角坐标方程为（2）将代入式，得，点M的直角坐标为（0，3），设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，则 t10， t20则由参数t的几何意义即得.【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的互化、直线参数方程t的几何意义，属于基础题.