1、一、解三角形1正弦定理及其推论：设ABC的外接圆半径为R，则(1)2R.(2)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C.(3)sin A，sin B，sin C.(4)在ABC中，ABabsin Asin B.2余弦定理及其推论：(1)a2b2c22bccos A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C.(2)cos A；cos B；cos C.(3)在ABC中，c2a2b2C为直角；c2a2b2C为钝角；c2a2b2C为锐角3正弦定理、余弦定理解三角形的问题：(1)两类正弦定理解三角形的问题：已知两角和任意一边，求其他的两边及一角已知两边和其中一边的对角，求其
2、他边角(2)两类余弦定理解三角形的问题：已知三边求三角已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4三角形面积公式：(1)Sahabhbchc.(2)Sabsin Cbcsin Aacsin B.二、复数1形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部2abi与cdi相等的充要条件是ac且bd.3对于复数abi(a，bR)，当且仅当b0时，它是实数；当b0时，叫做虚数；当a0且b0时，叫做纯虚数4|z|abi|r(r0，rR)5设复数z1，z2对应的向量为，则复数z1z2是以，为邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数，z1z2是连接向量与的终点并指向的向量所对应的复数6
3、z1abi，z2cdi，a，b，c，dR，则z1，z2互为共轭复数的充要条件是ac且bd.7设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)(1)复数的加、减法法则z1z2(ac)(bd)i，z1z2(ac)(bd)i.(2)复数代数形式的乘法法则z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.(3)复数代数形式的除法法则：(abi)(cdi)i(cdi0)三、立体几何初步1多面体及其结构特征(1)棱柱：有两个平面(底面)互相平行；其余各面都是平行四边形；每相邻两个平行四边形的公共边互相平行(2)棱锥：有一个面(底面)是多边形；其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形(3)棱台：上下底面互
4、相平行、且是相似图形；各侧棱延长线相交于一点2圆柱、圆锥、圆台和球圆柱、圆锥、圆台和球可以看成以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰、一个半圆的直径所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形、半圆分别旋转一周而形成的曲面围成的几何体3斜二测画法的意义及建系原则(1)斜二测画法中“斜”和“二测”：“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x轴成45或135.“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴或z轴的线段长度不变；平行于y轴的线段长度变为原来的一半(2)斜二测画法中的建系原则：在已知图中建立直角坐标系，理论上在任何位置建立坐标系都行
5、，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等4空间几何体的表面积和体积(1)多面体的表面积：各个面的面积之和，也就是展开图的面积(2)旋转体的表面积：圆柱：S2r22rl2r(rl)圆锥：Sr2rlr(rl)球：S4R2.(3)柱体、锥体、台体的体积公式柱体的体积公式：V柱体Sh(S为底面面积，h为高)锥体的体积公式：V锥体Sh(S为底面面积，h为高)台体的体积公式：V台体(SS)h(S，S分别为上、下底面面积，h为高)球的体积公式：V球R3.5共面与异面直线(1)共面：空间中的几个点或几条直线，如果都
6、在同一平面内，我们就说它们共面(2)异面直线：既不相交又不平行的直线6平行公理过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行7基本性质4平行于同一条直线的两条直线互相平行即如果直线ab，cb，那么ac.8直线与平面平行的判定与性质(1)判定：如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行那么这条直线和这个平面平行(2)性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行9平面与平面平行的判定(1)文字语言：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行(2)符号语言：a，b，abP，a，b.(3)图形语言：如图所示10平面与平面平行的性质定理(1
7、)文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行(2)符号语言：，a，bab.(3)图形语言：如图所示(4)作用：证明两直线平行11直线与平面垂直的判定定理定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直推论1：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面推论2：如果两条直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行12直线与平面垂直的性质性质：如果条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的任意一条直线垂直符号表示：ab.13面面垂直的判定定理如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直14面面垂直的性质定理如果两个平面互相
8、垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直(教师独具)1在三角形中，大边对大角，小边对小角()2任意给定三边和三角中的三个元素，都可以用正弦、余弦定理解三角形()提示已知三角无法解得三角形三边3已知三角形两边及一边的对角时，解可能有两个()4已知三角形两边及一边的对角时，解一定有两个()提示可能无解，也可能一解，也可能两解5在ABC中，若a2b2c2，则ABC一定为锐角三角形()提示若a2b2c2，则A为锐角，而锐角三角形是三个角均为锐角6余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形()7三角形中已知三边无法求其面积()提示可由余弦定理求其中的一个角的余弦，
9、从而可求其正弦，然后再用三角形面积公式求解8两个不可到达的点之间的距离无法求得()提示可构造三角形，利用正弦定理或余弦定理求解9若a，b为实数，则zabi为虚数()提示当b0时，z为实数10若a为实数，则za一定不是虚数()11如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等()12在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数()提示在复平面内，虚轴上的点除原点外所对应的复数都是纯虚数13复数的模一定是正实数()提示当复数z0时，复数的模为0，不是正实数14a0是复数zabi(a，bR)为纯虚数的充分但不必要条件()提示a0是复数zabi(a，bR)为纯虚数的必要但不充分条件15因
10、为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小()提示虚数的模是实数，因此可以比较大小16两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件()提示两个复数互为共轭复数是它们的模相等的充分不必要条件17若z1，z2C，且zz0，则z1z20.()提示举反例，例如z11，z2i时 ，满足zz0，但z1与z2不一定相等18两个共轭虚数的差为纯虚数()19空间中两直线没有交点，则两直线平行()提示还可以是异面20有两个面互相平行，其余各面都是四边形，所围成的几何体是棱柱()提示还要有每相邻两个四边形公共边平行21棱锥是由一个面是多边形，其余各面是三角形所围成的几何体()提示各三角形必须有一个公共顶点22圆
11、台也可以看作是一个圆锥截去一个小圆锥所形成的几何体()23三点确定一个平面()提示不共线三点才能确定平面24球的表面积公式为SR2.()25有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台()提示棱台侧棱延长后会交于一点26一条直线平行于两平行平面中的一个平面，也平行于另一个()提示可能直线在平面内27一条直线平行于两互相垂直的两平面中的一个，就会垂直于另一平面()提示还可能相交、平行，在平面内28若ab，b，则a.()提示还需要a.29如果一个平面内有两条直线与另一个平面平行，那么两平面平行()提示两直线相交时才成立30垂直于同一直线的两直线平行()31垂直于同一直线的两平面平行()32垂直于同
12、一平面的两平面平行()33锥体的体积等于底面面积与高之积()34经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径()35直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan .()提示90时斜率不存在36正棱锥是底面是正多边形的棱锥()37两平面互相垂直，其中一个平面内的直线垂直于另一平面()38两平面互相平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面()39平行于同一直线的两平面平行()1(2019全国卷)设z，则|z|()A2BC.D1C因为z，所以|z|.故选C.2(2019全国卷)设zi(2i)，则()A12iB12iC12iD12iD因为zi(2i)12i，所以12i.故选D.3(2019全国卷)设z32i，则
13、在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限C由题意，得32i，其在复平面内对应的点为(3，2)，位于第三象限，故选C.4(2019全国卷)若z(1i)2i，则z()A1iB1iC1iD1iDz1i.5(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin Absin B4csin C，cos A，则()A6B5C4D3A因为asin Absin B4csin C，所以由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cos A，因为6.故选A6(2019全国卷)设，为两个平面，则的充要条件是()A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行
14、C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面B对于A，内有无数条直线与平行，当这无数条直线互相平行时，与可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确综上可知选B.7(2019全国卷)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，CEF90， 则球O的体积为()A8B4C2DD因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以E
15、FPB，因为CEF90，所以EFCE，所以PBCE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC平面BDP，所以PBAC，又ACCEC，AC，CE平面PAC，所以PB平面PAC，所以PBPA，PBPC，因为PAPBPC，ABC为正三角形，所以PAPC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥PABC放在正方体中如图所示因为AB2，所以该正方体的棱长为，所以该正方体的体对角线长为，所以三棱锥PABC的外接球的半径R，所以球O的体积VR3，故选D.8(2019全国卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型，如图，该模型为长方体ABCDA1B1C1D1挖去四棱锥OEFGH后所得的几何体，其中O为长方体
16、的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，ABBC6 cm，AA14 cm，3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为_g.118.8由题易得长方体ABCDA1B1C1D1的体积为664144(cm3)，四边形EFGH为平行四边形，如图所示，连接GE，HF，易知四边形EFGH的面积为矩形BCC1B1面积的一半，即6412(cm2)，所以V四棱锥OEFGH31212(cm3)，所以该模型的体积为14412132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8(g)9(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a
17、2c，B，则ABC的面积为_6法一：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以ABC的面积Sacsin B42sin 6.法二：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以a2b2c2，所以A，所以ABC的面积S266.10(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Aacos B0，则B_.因为bsin Aacos B0，所以.由正弦定理，得cos Bsin B，所以tan B1.又B(0，)，
18、所以B.11(2019全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，AB3，求四棱锥EBB1C1C的体积解(1)证明：由已知得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E，所以AEBA1EB145，故AEAB3，AA12AE6.如图，作EFBB1，垂足为F，则EF平面BB1C1C，且EFAB3.所以四棱锥EBB1C1C的体积V36318.12(2019全
19、国卷)图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB1，BEBF2，FBC60.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.图1图2(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC平面BCGE；(2)求图2中的四边形ACGD的面积解(1)证明：由已知得ADBE，CGBE，所以ADCG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE.(2)取CG的中点M，连接EM，DM.因为ABDE，AB平面BCGE，所以DE平面BCGE，故DECG.由已知，四
20、边形BCGE是菱形，且EBC60，得EMCG，故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中，DE1，EM，故DM2.所以四边形ACGD的面积为4.13(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；(2)若ab2c，求sin C.解(1)由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180，所以A60.(2)由(1)知B120C，由题设及正弦定理得sin Asin(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得
21、cos(C60).由于0C120，所以sin(C60)，故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.14(2019全国卷)ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知asinbsin A(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解(1)由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A因为sin A0，所以sinsin B.由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，故sin，因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由(1)知AC120，由正弦定理得a.由于ABC为
22、锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，故a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.15(2019全国卷)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求点C到平面C1DE的距离解(1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且MEB1C.又因为N为A1D的中点，所以NDA1D.由题设知A1B1DC，可得B1CA1D，故MEND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MNED.又MN平面C1DE，所以MN平面C1DE.(2)过点C作C1E的垂线，垂足为H.由已知可得DEBC，DEC1C，所以DE平面C1CE，故DECH.从而CH平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离由已知可得CE1，C1C4，所以C1E，故CH.从而点C到平面C1DE的距离为.
