1、高中同步测试卷(九)章末检测平面向量(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列命题中正确的是()Aa与b共线，b与c共线，则a与c也共线B任意两个相等的非零向量的始点与终点是一个平行四边形的四个顶点Ca与b不共线，则a与b都是非零向量D有相同起点的两个非零向量不平行2已知向量a(x，5)，b(5，x)，两向量方向相反，则x()A5 B5 C1 D13设a，b是两个非零向量，则下列命题正确的是()A若|ab|a|b|，则abB若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD
2、若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|4已知A(4，6)，B，有下列向量：a；b；c；d.其中，与直线AB平行的向量是()A B C D5已知c，其中a(1，2)，b(3，2)，则与c反向的单位向量为()A. B.C. D.6若a，b是非零向量且满足(a2b)a，(b2a)b，则a与b的夹角是()A. B. C. D.7.已知AD、BE分别为ABC的边BC、AC上的中线，设a，b，则等于()A.ab B.abC.ab Dab8已知，0，且|2，则向量与的夹角为()A15 B30 C45 D609已知a(，2)，b(3，5)，且a与b的夹角是钝角，则的取值范围是()A BC，且10定义运算|a
3、b|a|b|sin ，其中是向量a，b的夹角若|x|2，|y|5，xy6，则|xy|()A8 B8 C8或8 D611已知|2，|，AOB120，点C在AOB内，AOC30，设mn(m，nR)，则()A. B1 C. D212在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中，R，则()A. B. C1 D.题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13已知e1(1，2)，e2(2，3)，a(1，2)，试以e1，e2为基底，将a分解为a1e1a2e2的形式为_14A，B是半径为1的圆O上的两点，且AOB.若点C是圆
4、O上任意一点，则的取值范围为_15已知a(1，1)，b(1，0)，c满足ac0，且|a|c|，bc0，则c_16.如图，在矩形ABCD中，AB，BC2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是_三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知平面上三个向量a，b，c，其中a(1，2)(1)若|c|2，且ac，求c的坐标；(2)若|b|，且(a2b)(2ab)，求a与b的夹角.18(本小题满分12分)在边长为1的等边三角形ABC中，设2，3.(1)用向量，作为基底表示向量；(2)求.19.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，
5、已知点A(1，2)，B(2，3)，C(2，1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(t)0，求t的值20(本小题满分12分)设向量a，b均为单位向量(1)记x为a在ab方向上的投影，y是b在ab方向上的投影，比较x，y的大小，并说明理由；(2)若ab(，1)，求a.21.(本小题满分12分)已知两个向量a，b满足|a|2，|b|1，a，b的夹角为60，m2xa7b，naxb，xR.(1)若m，n的夹角为钝角，求x的取值范围；(2)设函数f(x)mn，求f(x)在1，1上的最大值与最小值22(本小题满分12分)已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的
6、中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BECF；(2)APAB.参考答案与解析1解析：选C.由于零向量与任一向量都共线，所以当b为零向量时，a与c不一定共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，所以B不正确；向量的平行只要求方向相同或相反，与起点是否相同无关，所以D不正确故选C.2导学号19460053解析：选A.ab，所以x225，所以x5，因为两向量反向，所以验证x5.3解析：选C.利用排除法可得选项C是正确的，若|ab|a|b|，则a，b共线，即存在实数，使得ba.选项A：|ab|a|b|时，a，b可为反向的共线向量
7、；选项B：若ab，由正方形得|ab|a|b|不成立；选项D：若存在实数，使得ba，a，b可为同向的共线向量，此时显然|ab|a|b|不成立故选C.4解析：选C.，因为，所以与直线AB平行的向量是.5导学号19460054解析：选C.c(5，6)，所以与其反向的单位向量为(5，6)，故选C.6解析：选B.由题意知，a22ab0，b22ab0，所以a2b2，即|a|b|，设a与b的夹角为，则cos ，又0，所以.7导学号19460055解析：选B.22ab.故选B.8解析：选A.如图，由题意可知A，B，C三点共圆，且圆心为O，AB为直径所以|cosBOC|2，所以BOC30，又|，所以CAB15，
8、故选A.9解析：选D.因为a与b的夹角为钝角，所以ab0，所以310，又当，即时，a与b共线反向，夹角为平角，所以，且.10导学号19460056解析：选A.因为|x|2，|y|5，xy6，所以cos .又是向量x，y的夹角，所以sin ，所以|xy|x|y|sin 258.11解析：选C.如图，过点C作CMOB，CNOA，则，设|x，则|2x，2xxxx，所以mx，n，所以.12解析：选D.如图所示，设a，b，则ab，ab，又因为ab，所以()，即，所以.13解析：设aa1e1a2e2(a1，a2R)，则(1，2)a1(1，2)a2(2，3)(a12a2，2a13a2)，所以解得所以ae1e
9、2.答案：ae1e214导学号19460057解析：由题意可得，则()cos，coscos，由1cos，1，得cos，即.答案：15解析：设c(x，y)由ac0，得xy0.再由|a|c|，得x2y22.由，得或又bc0，所以x0，所以c(1，1)答案：(1，1)16解析：以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系(图略)，则由题意知，点B(，0)，点E(，1)，设点F(a，2)，所以(，0)，(a，2)由条件解得点F(1，2)，所以(，1)，(1，2)所以.答案： 17解：(1)因为ac，设ca(，2)，由|c|22，所以c(2，4)(2)(a2b)(2ab)2a23
10、ab2b20，cos 1，因为0，所以.18导学号19460058解：(1).(2)()()|cos 150|cos 3011.19解：(1)(3，5)，(1，1)，求两条对角线的长即求|与|的大小由(2，6)，得|2，由(4，4)，得|4.(2)(2，1)，因为(t)t2，易求11，25，所以由(t)0，得t.20解：(1)由题意可知x，y，又|a|b|1，得xy0，所以xy.(2)设a与b的夹角为，由已知得|ab|2，所以|ab|2|a|2|b|22ab22cos 4，所以cos 1，又0，所以0，所以向量a与b同向，又|a|b|1，所以ab，所以a.21解：(1)ab|a|b|cos 6
11、021cos 601，由m，n的夹角为钝角，得mn0，所以mn(2xa7b)(axb)2xa27ab2x2ab7xb28x72x27x2x215x70，解得7x，当x时，m与n方向相反，所以x的取值范围是.(2)由(1)得f(x)2x215x72，f(x)在1，1上单调递增，所以f(x)minf(1)21576，f(x)maxf(1)215724.22证明：如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB2，则A(0，0)，B(2，0)，C(2，2)，E(1，2)，F(0，1)(1)(1，2)(2，0)(1，2)，(0，1)(2，2)(2，1)，因为1(2)2(1)0，所以，即BECF.(2)设P(x，y)，则(x，y1)，(2，1)，因为，所以x2(y1)，即x2y2.同理由，得y2x4，代入x2y2.解得x，所以y，即P.所以242，所以|，即APAB.