1、第39练归纳推理与类比推理题型分析高考展望归纳推理与类比推理是新增内容，在高考中，常以填空题的形式考查.题目难度不大，只要掌握合情推理的基础理论知识和基本方法即可解决.常考题型精析题型一利用归纳推理求解相关问题例1(1)(2015陕西)观察下列等式：1，1，1，据此规律，第n个等式可为_.(2)如图所示，是某小朋友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴，则第2 014个图形用的火柴根数为_.(填序号)2 0122 015 2 0132 0142 0132 015 3 0212 015点评归纳推理的三个特点(1)归纳推理的前提是几个
2、已知的特殊对象，归纳所得到的结论是未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围；(2)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否准确，还需要经过逻辑推理和实践检验，因此归纳推理不能作为数学证明的工具；(3)归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助发现问题和提出问题.变式训练1(2014陕西)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_.题型二利用类比推理求解相关问题例2如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股定
3、理c2a2b2.空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，截面面积为S，类比平面中的结论有_.点评类比推理的一般步骤(1)定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；(2)推测，即用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；(3)检验，即检验猜想的正确性，要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力.变式训练2(2015南京模拟)已知正三角形内切圆的半径是其高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_.(填序号)正四面体的内切球的半径是其高的；正
4、四面体的内切球的半径是其高的；正四面体的内切球的半径是其高的；正四面体的内切球的半径是其高的.高考题型精练1.(2015连云港模拟)我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值a，类比上述结论，边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值_.2.已知x0，观察不等式x22，x33，由此可得一般结论：xn1(nN*)，则a的值为_.3.观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10_.4.(2014北京改编)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有
5、一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有_人.5.在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则.推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体PABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则_.6.若数列an是等差数列，则数列bn(bn)也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列cn是等比数列，且dn也是等比数列，则dn的表达式应为_.(填序号)dn； dn；dn ； dn.7.仔细观察下面和的排列规律： 若依此规律继续下去，得到一系列的和，那么在
6、前120个和中，的个数是_.8.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为n2n，记第n个k边形数为N(n，k)(k3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)n2n，正方形数 N(n,4)n2，五边形数 N(n,5)n2n，六边形数 N(n,6)2n2n可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)_.9.两点等分单位圆时，有相应正确关系为sin sin()0；三点等分单位圆时，有相应正确关系为sin sin()sin()0.由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为_.10.观察下列等式121122231
7、2223261222324210照此规律，第n个等式可为_.11.观察下列不等式：1，1，1，照此规律，第五个不等式为_.12.(2015扬州模拟)在计算“1223n(n1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k项：k(k1)k(k1)(k2)(k1)k(k1)，由此得12(123012)，23(234123)，n(n1)n(n1)(n2)(n1)n(n1).相加，得1223n(n1)n(n1)(n2).类比上述方法，请你计算“123234n(n1)(n2)”，其结果为_.答案精析第39练归纳推理与类比推理常考题型典例剖析例1(1)1(2)解析(1)等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个
8、有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为.(2)由题意，第1个图形需要火柴的根数为31；第2个图形需要火柴的根数为3(12)；第3个图形需要火柴的根数为3(123)；由此，可以推出，第n个图形需要火柴的根数为3(123n).所以第2 014个图形所需火柴的根数为3(1232 014)33 0212 015.变式训练1FVE2解析观察F，V，E的变化得FVE2.例2S2SSS解析建立从平面图形到空间图形的类比，在由平面几何的性质类比推理空间立体
9、几何的性质时，注意平面几何中点的性质可类比推理空间几何中线的性质，平面几何中线的性质可类比推理空间几何中面的性质，平面几何中面的性质可类比推理空间几何中体的性质.所以三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：S2SSS.变式训练2解析设正四面体的每个面的面积是S，高是h，内切球半径为R，由体积分割可得：SR4Sh，所以Rh.故正确.常考题型精练1.a解析正四面体内任一点与四个面组成四个三棱锥，它们的体积之和为正四面体的体积.设点到四个面的距离分别为h1，h2，h3，h4，每个面的面积为a2，正四面体的体积为a3，则有a2(h1h2h3h4)a3，得h1h2h3h4a.2
10、.nn解析根据已知，续写一个不等式：x44，由此可得ann.3.123解析观察可得各式的值构成数列1,3,4,7,11，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项.继续写出此数列为1,3,4,7,11,18,29,47,76,123，第十项为123，即a10b10123.4.3解析假设满足条件的学生有4位及4位以上，设其中4位同学分别为甲、乙、丙、丁，则4位同学中必有两个人语文成绩一样，且这两个人数学成绩不一样(或4位同学中必有两个数学成绩一样，且这两个人语文成绩不一样)，那么这两个人中一个人的成绩比另一个人好，故满足条件的学生不能超过3人.当有3位学生时，用A，B，
11、C表示“优秀”“合格”“不合格”，则满足题意的有AC，CA，BB，所以最多有3人.5.解析从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，如图，设正四面体的棱长为a，E为等边三角形ABC的中心，O为内切球与外接球球心.则AEa，DEa，设OAR，OEr，则OA2AE2OE2，即R222，Ra，ra，正四面体的外接球和内切球的半径之比为31，故正四面体PABC的内切球体积V1与外接球体积V2之比等于.6.解析若an是等差数列，则a1a2anna1d，bna1dna1，即bn为等差数列；若cn是等比数列，则c1c2cncq12(n1)cq，dnc1q，即dn为等比数列，故正确.7.14解析进行分组|，则前
12、n组两种圈的总数是f(n)234(n1)，易知f(14)119，f(15)135，故n14.8.1 000解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)n2n，N(10,24)100101 1001001 000.9.sin sin()sin()sin()0解析由类比推理可知，四点等分单位圆时，与的终边互为反向延长线，与的终边互为反向延长线，如图.10.12223242(1)n1n2(1)n1解析观察等式左边的式子，每次增加一项，故第n个等式左边有n项，指数都是2，且正、负相间，所以等式左边的通项为(1)n1n2.等式右边的值的符号也是正、负相间，其绝对值分
13、别为1,3,6,10,15,21，.设此数列为an，则a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式相加得ana1234n，即an123n.所以第n个等式为12223242(1)n1n2(1)n1.11.1解析观察每行不等式的特点，每行不等式左端最后一个分数的分母与右端值的分母相等，且每行右端分数的分子构成等差数列.第五个不等式为1.12.n(n1)(n2)(n3)解析类比已知条件得k(k1)(k2)k(k1)(k2)(k3)(k1)k(k1)(k2)，由此得123(12340123)，234(23451234)，345(34562345)，n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2).以上几个式子相加得：123234n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3).