1、第3讲 等比数列及其前n项和一、选择题1.1与1两数的等比中项是()A1 B1C1 D.解析 设等比中项为x，则x2(1)(1)1，即x1.答案 C2设an是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是()AXZ2Y BY(YX)Z(ZX)CY2XY DY(YX)X(ZX)解析(特例法)取等比数列1,2,4，令n1得X1，Y3，Z7代入验算，选D.答案D3已知等比数列an为递增数列若a10，且2(anan2)5an1，则数列an的公比q()A2 B. C2或 D3解析2(anan2)5an1，2an2anq25anq，化简得，2q25q20，由题意
2、知，q1.q2.答案A4在正项等比数列an中，Sn是其前n项和若a11，a2a68，则S8 ()A8 B15(1)C15(1) D15(1)解析a2a6a8，aq68，q，S815(1)答案B5已知等比数列an的前n项和Snt5n2，则实数t的值为()A4 B5 C. D.解析a1S1t，a2S2S1t，a3S3S24t，由an是等比数列知24t，显然t0，所以t5.答案B6在由正数组成的等比数列an中，若a3a4a53，则sin(log3a1log3a2log3a7)的值为 ()A. B. C1 D解析因为a3a4a53a，所以a43.log3a1log3a2log3a7log3(a1a2a
3、7)log3a7log33，所以sin(log3a1log3a2log3a7).答案B二、填空题7设1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是_解析设a2t，则1tqt1q2t2q3，由于t1，所以qmaxt，故q的最小值是.答案8在等比数列an中，若公比q4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an_.解析由题意知a14a116a121，解得a11，所以数列an的通项公式an4n1.答案4n19设f(x)是定义在R上恒不为零的函数，且对任意的实数x，yR，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(nN*
4、)，则数列an的前n项和Sn的取值范围是_解析由已知可得a1f(1)，a2f(2)f(1)22，a3f(3)f(2)f(1)f(1)33，anf(n)f(1)nn，Sn23n1n，nN*，Sn0，则Sn一定有最大值其中真命题的序号是_(写出所有真命题的序号)解析对于，注意到an1and是一个非零常数，因此数列是等比数列，正确对于，S1313，因此正确对于，注意到Snna1dnan(n1)ddnand，因此正确对于，Snna1d，d0时，Sn不存在最大值，因此不正确综上所述，其中正确命题的序号是.答案三、解答题11已知等比数列an中，a1，公比q.(1)Sn为an的前n项和，证明：Sn；(2)设
5、bnlog3a1log3a2log3an，求数列bn的通项公式解 (1)证明因为ann1，Sn，所以Sn.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).所以bn的通项公式为bn.12已知数列an的前n项和为Sn，在数列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)求数列bn的通项公式(1)证明anSnn，an1Sn1n1，得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，.首项c1a11，又a1a11.a1，c1，公比是以为首项，公比为的等比数列(2)解由(1)可知cnn1n，ancn11n.当n2时，bnanan
6、11nn1nn.又b1a1代入上式也符合，bnn.13已知两个等比数列an，bn，满足a1a(a0)，b1a11，b2a22，b3a33.(1)若a1，求数列an的通项公式；(2)若数列an唯一，求a的值解(1)设数列an的公比为q，则b11a2，b22aq2q，b33aq23q2，由b1，b2，b3成等比数列得(2q)22(3q2)即q24q20，解得q12，q22.所以数列an的通项公式为an(2)n1或an(2)n1.(2)设数列an的公比为q，则由(2aq)2(1a)(3aq2)，得aq24aq3a10(*)，由a0得4a24a0，故方程(*)有两个不同的实根由数列an唯一，知方程(*
7、)必有一根为0，代入(*)得a.14数列an的前n项和记为Sn，a1t，点(Sn，an1)在直线y3x1上，nN*.(1)当实数t为何值时，数列an是等比数列(2)在(1)的结论下，设bnlog4an1，cnanbn，Tn是数列cn的前n项和，求Tn.解(1)点(Sn，an1)在直线y3x1上，an13Sn1，an3Sn11(n1，且nN*)an1an3(SnSn1)3an，an14an(n1，nN*)，a23S113a113t1，当t1时，a24a1，数列an是等比数列(2)在(1)的结论下，an14an，an14n，bnlog4an1n，cnanbn4n1n，Tnc1c2cn(401)(412)(4n1n)(14424n1)(123n).