1、专题6 立体几何与空间向量第26练 空间向量解决立体几何问题的两大策略“选基底”与“建系”向量作为一个工具，其用途是非常广泛的，可以解决现高中阶段立体几何中的大部分问题，不管是证明位置关系还是求解问题.而向量中最主要的两个手段就是选基底与建立空间直角坐标系.在高考中，用向量解决立体几何解答题，几乎成了必然的选择.题型分析 高考展望 体验高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 123(1)求证：PD平面PAB；1.(2016北京)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD 5.解析答案 123(2)
2、求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；解析答案 123(3)在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BM平面 PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由.解 设 M 是棱 PA 上一点，则存在 0,1使得AM AP，因此点 M(0,1，)，BM(1，)，BM平面 PCD，要使 BM平面 PCD 当且仅当BM n0，即(1，)12，1，1 0，解得 14，在棱 PA 上存在点 M 使得 BM平面 PCD，此时AMAP14.123解析答案 2.(2016天津)如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2.(1)求证：EG平面ADF
3、；123解析答案(2)求二面角OEFC的正弦值；123解析答案(3)设 H 为线段 AF 上的点，且 AH23HF，求直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值.解 由 AH23HF，得 AH25AF.因为AF(1，1,2)，所以AH 25AF25，25，45，进而有 H35，35，45，从而BH 25，85，45.因此 cosBH，n2 BH n2|BH|n2|721.所以直线 BH 和平面 CEF 所成角的正弦值为 721.123解析答案 3.(2016课标全国乙)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF2FD，AFD90，且二面角DAFE与二面角CBEF
4、都是60.(1)证明：平面ABEF平面EFDC；证明 由已知可得AFDF，AFFE，所以AF平面EFDC，又AF平面ABEF，故平面ABEF平面EFDC.123解析答案(2)求二面角E-BC-A的余弦值.返回 高考必会题型 题型一 选好基底解决立体几何问题 例1 如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.(1)求证：MNAB，MNCD；解析答案 解析答案(2)求MN的长；解析答案 点评(3)求异面直线AN与CM夹角的余弦值.解析答案(1)求异面直线GE与PC所成角的余弦值；变式训练 1 如图，在四棱锥 PGBCD 中，PG平面 GBCD，GDB
5、C，GD34BC，且 BGGC，GBGC2，E 是 BC 的中点，PG4.解析答案(2)若 F 点是棱 PC 上一点，且DF GC 0，PFkCF，求 k 的值.解 设 F(0，y，z)，则DF GF GD(0，y，z)(32，32，0)(32，y32，z)，GC(0,2,0).DF GC 0，(32，y32，z)(0,2,0)2(y32)0，y32.在平面 PGC 内过 F 点作 FMGC，M 为垂足，则 GM32，MC12，PFFCGMMC3，k3.题型二 建立空间直角坐标系解决立体几何问题 例 2 如图，矩形 ABCD 中，ABAD(1)，将其沿 AC 翻折，使点 D 到达点 E 的位置
6、，且二面角 CABE 为直二面角.(1)求证：平面ACE平面BCE；解析答案(2)设F是BE的中点，二面角EACF的平面角的大小为，当2,3时，求cos 的取值范围.解析答案 点评 解析答案 变式训练2 在边长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，应用空间向量方法求解下列问题.EF(1,0,1)，EF 2.(1)求EF的长；解 如图建立空间直角坐标系，则A1(2,0,2)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,2)，E(2,1,0)，F(1,1,1)，解析答案(2)证明：EF平面AA1D1D；证明 AD1(2,0,2)2EF，AD
7、1EF，而EF平面AA1D1D，EF平面AA1D1D.解析答案(3)证明：EF平面A1CD.证明 EFCD 0，EFA1D 0，EFCD，EFA1D，又CDA1DD，EF平面A1CD.返回 高考题型精练 12345678910 11 12解析答案 x1，y1，z1，xyz1.1.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，若BD1 xAD yABzAA1，则 xyz 的值为_.解析 BD1 AD ABAA1，1 12345678910 11 12解析答案 2.在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，O 为 AC 的中点.设 E 是棱 DD1 上的点，且DE 23DD1，试用AB，AD，AA1
8、 表示EO _.解析 EO ED DO 23D1D 12DB 23D1D 12(DA AB)23A1A 12DA 12AB12AB12AD 23AA1.12AB12AD 23AA112345678910 11 12解析答案 解析 设平面ABCD的一个法向量n(x，y，z)，3.在四棱锥 PABCD 中，AB(4，2,3)，AD(4,1,0)，AP(6,2，8)，则这个四棱锥的高 h_.则nAB，nAD4x2y3z0，4xy0.令 y4，则 n(1,4，43)，则 cosn，AP nAP|n|AP|68323133 2 26 2626，h|AP|cosnAP|，h 2626 2 262.2123
9、45678910 11 124.如图，在平行四边形ABCD中，ABAC1，ACD90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则BD的长为_.解析 答案 2 或 212345678910 11 12解析答案 5.若a(2x,1,3)，b(1，2y，9)，如果a与b为共线向量，则x_，y_.所以2x，12y，39，解得 x16，y32.解析 因为a与b为共线向量，所以存在实数使得ab，163212345678910 11 126.已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB，AC，M，N 分别是 OA，CB的中点，点 G 在线段 MN 上，且使 MG2GN，则用向量OA，OB，OC 表示向
10、量OG _.解析 答案 16OA 13OB 13OC12345678910 11 12解析答案 7.已知a(2，1,3)，b(1，4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数_.所以2xy7，x4y5，3x2y，解析 a，b，c三向量共面，则存在实数x，y，使cxayb，解得 x337，y177，657.65712345678910 11 128.如图所示，PD 垂直于正方形 ABCD 所在的平面，AB2，E 为 PB 的中点，cosDP，AE 33，若以 DA，DC，DP 所在直线分别为 x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点 E 的坐标为_.解析 答案(1,1,1)1234567
11、8910 11 129.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，棱长为 a，M，N 分别为 A1B 和AC 上的点，A1MAN 2a3，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是_.解析 答案 平行12345678910 11 1210.已知棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中点，F为A1B1的中点.则 D(0,0,0)，E(a2，a,0)，C1(0，a，a)，F(a，a2，a)，解析答案(1)求证：DEC1F；证明 以D为原点，以DA，DC，DD1为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系，所以DE(a2，a,0)，C1F(a，a2，0)，DE C1F 0，所以 DE
12、C1F.12345678910 11 12(2)求异面直线A1C与C1F所成角的余弦值.解 A1(a,0，a)，C(0，a,0)，A1C(a，a，a)，解析答案 C1F(a，a2，0)，cosA1C，C1F A1C C1F|A1C|C1F|32a23a 52 a 155，所以异面直线 A1C 与 C1F 所成角的余弦值是 155.12345678910 11 12解析答案 11.如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD2，E是PB的中点.(1)求证：平面EAC平面PBC；ACBC 2，AC2BC2AB2，证明 PC平面ABCD，
13、AC平面ABCD，ACPC.AB2，ADCD1，ACBC，又BCPCC，AC平面PBC.AC平面EAC，平面EAC平面PBC.12345678910 11 12解析答案(2)若二面角 PACE 的余弦值为 63，求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值.12345678910 11 12解析答案 12.直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，且BAD60，A1AAB，E为BB1延长线上的一点，D1E平面D1AC.设AB2.(1)求二面角EACD1的大小；解析答案 返回 12345678910 11 12(2)在D1E上是否存在一点P，使A1P平面EAC？若存在，求D1PPE的值；若不存在，说明理由.