1、江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学第二次模拟考试（5月）试题(满分160分，考试时间120分钟)20205一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1. 已知集合A1，2，B1，a若AB1，a，2，则a_2. 若复数z满足(1i)z1i，其中i是虚数单位，则z的实部为_3. 某校100名学生参加知识竞赛的成绩均在50，100内，将学生成绩分成50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100五组，得到如图所示的频率分布直方图，则成绩在80，90)内的学生人数是_y1x1While y1y3x2xyEnd WhilePrint y(第3题)(第4题)4. 一个算法的
2、伪代码如图所示，执行此算法，最后输出y的值为_5. 某班推选一名学生管理班级防疫用品，已知每个学生当选是等可能的，若“选到女生”的概率是“选到男生”的概率的，则这个班级的男生人数与女生人数的比值为_6. 函数f(x)ln x的定义域为_7. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y24x的焦点是双曲线1的顶点，则a_(第9题)8. 已知等比数列an的前n项和为Sn，S45S2，a22，则a4_9. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6，点M是对角线A1C上靠近点A1的三等分点，则三棱锥CMBD的体积为_10. 已知定义在R上的奇函数f(x)的周期为2，且x0，1时，f(x)则ab_11. 已
3、知锐角满足sin 22cos 21，则tan()_(第12题)12. 如图，在ABC中，ABC，AB1，BC3，以AC为一边在ABC的另一侧作正三角形ACD，则_13. 在平面直角坐标系xOy中，AB是圆O：x2y21的直径，且点A在第一象限；圆O1：(xa)2y2r2(a0)与圆O外离，线段AO1与圆O1交于点M，线段BM与圆O交于点N，且0，则a的取值范围是_14. 已知a，bR，abt(t为常数)，且直线yaxb与曲线yxex(e是自然对数的底数，e2.718 28)相切若满足条件的有序实数对(a，b)唯一存在，则实数t的取值范围是_二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出
4、必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)在ABC中，已知a，b，c分别为角 A，B，C的对边，且bsin 2Aasin B.(1) 求A；(2) 求cos(B)sin(C)的最大值16. (本小题满分14分)在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，且平面A1ADD1平面ABCD，DA1DD1，点E，F分别为线段A1D1，BC的中点求证：(1) EF平面CC1D1D；(2) AC平面EBD.17. (本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，右焦点到右准线的距离为3.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 过点P(0，1)的
5、直线l与椭圆C交于两点A，B.己知在椭圆C上存在点Q，使得四边形OAQB是平行四边形，求Q的坐标18. (本小题满分16分)某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路(由线段MP，线段QN三段组成)，其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为.记PCA2(道路宽度均忽略不计)(1) 若，求QN的长度；(2) 求新路总长度的最小值19. (本小题满分16分)已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，a12，且
6、对任意nN*，anSn1an1Sn2an12an恒成立(1) 求证：数列是等差数列，并求数列an的通项公式；(2) 设bnan4n3，已知b2，bi，bj(2ij)成等差数列，求正整数i，j .20. (本小题满分16分)已知函数f(x)(m1)xln x，g(x)(m2)x2(n3)x2，m，nR.(1) 当m0时，求函数f(x)的极值；(2) 当n0时，函数F(x)g(x)f(x)在(0，)上为单调函数，求m的取值范围；(3) 当n0时，判断是否存在正数m，使得函数f(x)与g(x)有相同的零点，并说明理由2020届高三模拟考试试卷数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题
7、】 在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分若多做，则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤A. (选修42：矩阵与变换)已知点M(2，1)在矩阵A对应的变换作用下得到点N(5，6)，求矩阵A的特征值B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin().(1) 求曲线C和直线l的普通方程；(2) 点P是曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值C. (选修45：不等式选讲)已知a，b，c是正数，求证：对任意xR，不等式|x2|x1|恒成立
8、【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤22. 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，ADAP3，点M是棱PD的中点(1) 求二面角MACD的余弦值；(2) 点N是棱PC上的点，已知直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为，求的值23. 已知数列an中，a16，an1aan3(nN*)(1) 分别比较下列每组中两数的大小： a2和6； a3和6()3；(2) 当n3时，求证：()2()n3.2020届高三模拟考试试卷(苏锡常镇)数学参考答案及评分标准1. 12. 03. 304. 15. 26. (0，2
9、7. 18. 2或89. 2410. 011. 212. 413. (2，4)14. te或t5e215. 解：(1) 因为bsin 2Aasin B，所以2bsin Acos Aasin B，所以由正弦定理，得2bacos Aab.(3分)因为ab0，所以cos A.因为三角形内角A(0，)，所以A.(6分)(2) 由(1)知A，又ABC，得CABB，B(0，)，所以cos(B)sin(C)cos Bcos sin Bsinsin(B)sin Bcos Bsin(B)(11分)因为0B，所以B0，x1x2，所以y1y2.(10分)将Q(x1x2，y1y2)的坐标代入椭圆方程得1，化简得k2，
10、所以k，符合题意，(13分)所以Q的坐标是(1，)(14分)18. 解：(1) 因为所对的圆心角为，所以PCQ，PCA2.因为BCA，所以BCQ2，所以四边形BCQN中，BCQCBNCQN，所以四边形BCQN是矩形，从而QNCB1.答：QN的长为1千米(4分)(2) PMtan tan ，BCQ2，NQtan tan()，长为.(6分)从而PMNQtan tan()tan tan ，即PMNQtan tan ，(9分)其中(，)，tan (，)，tan (0，)，(11分)所以PMNQ(tan )22，(14分)当且仅当tan ，又(，)，即当且仅当时取等号(15分)答：当PCA时，新路总长度
11、的最小值为(2)千米(16分)19. (1) 证明：2.因为anSn1an1Sn2an12an，所以anSn12anan1Sn2an1.因为an0，两边除以anan1得，所以0，nN*，所以数列是首项为2，公差为0的等差数列，所以2.(3分)则Sn22an，Sn122an1，两式作差得an1Sn1Sn2an12an，所以an12an.因为an0，所以2，nN*，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，所以an2n.(7分)(2) 解：bn2n4n3，由b2，bi，bj成等差数列得2bib2bj，即2(2i4i3)92j4j3，整理得2i12i2j2j3(2i2)，cn1cn(2nn4)(2
12、n1n5)2n110，则cn1cn(n2)，所以n2时，数列cn单调递增，其中c360，所以cn0，即2j2j32i12i，所以(*)式不成立(15分)综上可得i4，j5.(16分)20. 解：(1) 当m0时，f(x)xln x，令f(x)10，得x1，列表如下：x(0，1)1(1，)f(x)0f(x)极大值所以，当x1时，函数f(x)有极大值为f(1)1，函数f(x)无极小值(3分)(2) 当n0时，F(x)(m2)x2(4m)xln x2，x(0，)，则F(x)2(m2)x(4m)，当m20，即m2时，令F(x)0，则x，所以F(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，不符合题意；
13、(5分)当m2时，令F(x)0，则x或x，若0，则x，令F(x)0，则x0，构造h(x)xln x(3n)(x0)，则h(x)1.令h(x)0，则x1，当0x1时，h(x)1时，h(x)0，所以h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当x1时，h(x)取得极小值h(1)，因为h(1)n0，且h(x)在1，n3上的图象是一条连续不间断的曲线，所以存在x0(1，n3)，使得h(x0)0，即x0ln x0(3n)0，两边同乘以x0，有xx0ln x02(3n)x00.(12分)取m1，构造k(x)1，x0，k(x).令k(x)0有xe，则有k(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)
14、上单调递减，所以当xe时，k(x)取最小值10，所以m10，两边同时乘以x0，有mx0x0ln x0，化简得(m1)x0ln x00，即x0也是f(x)的零点；两边同时乘以x0可得(m1)xx0ln x00.(14分)用可得(m2)x(n3)x020，所以x0也为g(x)的一个零点，所以当n0时，存在正数m，使得函数f(x)与g(x)有相同的零点(16分)2020届高三模拟考试试卷(十八)(苏锡常镇)数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：因为点M(2，1)在矩阵A对应的变换作用下得到点N(5，6)，所以，则解得所以A.(5分)f()|EA|(1)(2)6，令f()0，得2340，即(4
15、)(1)0，解得14，21，所以矩阵A的特征值为4或1.(10分)B. 解：(1) 由题意，曲线C的普通方程为y21，直线l的普通方程为xy20.(4分)(2) 设P(2cos ，sin )，则P到直线l的距离d，(8分)所以当sin()1时，dmin，所以P到直线l的距离的最小值为.(10分)C. 证明：对于正数a，b，c，由均值不等式得33，当且仅当abc时取等号(4分)对任意xR，由绝对值不等式得|x2|x1|x2|x1|(x2)(x1)|3，当且仅当x1时取等号，(8分)所以，对任意xR，都有不等式|x2|x1|成立(10分)22. 解：(1) 以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标
16、系Axyz，则各点的坐标为A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，3，0)，D(0，3，0)，P(0，0，3), M(0，)，(0，0，3)，(2，3，0)，(0，)因为PA平面ABCD，所以平面ACD的一个法向量为(0，0，3)(1分)设平面MAC的法向量为n(x，y，z)，所以即取n(3，2，2)，(3分)所以cos，n，所以，由图可得二面角MACD的余弦值为.(5分)(2) 设(0，1)，其中(2，3，3)，所以(0，)(2，3，3)(2，3，3)因为平面ABCD的一个法向量为(0，0，3)，所以cos，.(8分)因为直线MN与平面ABCD所成角的正弦值为，所以，所以，化简得41，即，所以.(10分)23. (1) 解： 因为a29，69，所以a26；因为a321，6()3，所以a36()3.(3分)(2) 证明：先用数学归纳法证明：当n3时，an6().(4分)当n3时，a36()3；假设当nk(k3，kN*)时，结论成立，即ak6()，当nk1时，ak1aak36()26()36()26()，其中2()()k1，所以ak16()，所以当nk1时，结论也成立，综上所得，当n3时，an6()，(8分)从而，当n3时，()()n1，则()()()2()3()n1()2()3()n12()n3，所以当n3时，()2()n3.(10分)
