1、第3讲导数与函数的单调性、极值与最值的基本问题一、选择题1函数f(x)x2ln x的单调递减区间为()A(1,1B(0,1C1，)D(0，)解析由题意知，函数的定义域为(0，)，又由f(x)x0，解得0x1，所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1答案B2.已知函数yf(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间为()A(，1)B(，0)和(2，)CRD(1,2)解析因为函数yx是R上的减函数，所以f(x)0的充要条件是0f(x)1，f(x)0的充要条件是f(x)1.由图象，可知当x(，0)(2，)时，0f(x)1，即f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为(，0)和(2，)答案B3
2、已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1处取到极大值C当k2时，f(x)在x1处取到极小值D当k2时，f(x)在x1处取到极大值解析当k1时，f(x)exx1，f(1)0，f(1)不是极值，故A，B错；当k2时，f(x)(x1)(xexex2)，显然f(1)0，且x在1的左侧附近f(x)0，f(x)在x1处取到极小值故选C.答案C4设函数f(x)的定义域为R，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的极小值点Cx0是f(x)的极小值
3、点Dx0是f(x)的极小值点解析A错，因为极大值未必是最大值；B错，因为函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于y轴对称，x0应是f(x)的极大值点；C错，函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于x轴对称，x0应为f(x)的极小值点；D正确，函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称，x0应为yf(x)的极小值点答案D二、填空题5(2014盐城模拟)已知f(x)x22xf(2 014)2 014ln x，则f(2 014)_.解析因为f(x)x2f(2 014)，所以f(2 014)2 0142f(2 014)，即f(2 014)(2 0141)2 015.答案2 0156函数f(x)2mc
4、os2 1的导函数的最大值等于1，则实数m的值为_解析显然m0，所以f(x)2mcos2 1mm1mcos xm1，因此f(x)msin x，其最大值为1，故有m1.答案17已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于_解析函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，1，得a2.又g(x)2x，依题意g(x)0在x(1,2)上恒成立，得2x2a在x(1,2)上恒成立，有a2，a2.答案28(2014绍兴模拟)若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值为_解析依题意知f(x)12x22ax2
5、b，f(1)0，即122a2b0，ab6.又a0，b0，ab29，当且仅当ab3时取等号，ab的最大值为9.答案9三、解答题9设f(x)a(x5)26ln x，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6)(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值解(1)因f(x)a(x5)26ln x，故f(x)2a(x5).令x1，得f(1)16a，f(1)68a，所以曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y16a(68a)(x1)，由点(0,6)在切线上可得616a8a6，故a.(2)由(1)知，f(x)(x5)26ln x(x0)，f(x)x5.令f(x
6、)0，解得x2或3.当0x3时，f(x)0，故f(x)在(0,2)，(3，)上为增函数；当2x3时，f(x)0时，g(x)0，求b的最大值解(1)f(x)exex20，等号仅当x0时成立所以f(x)在(，)单调递增(2)g(x)f(2x)4bf(x)e2xe2x4b(exex)(8b4)x，g(x)2e2xe2x2b(exex)(4b2)2(exex2)(exex2b2)当b2时，g(x)0，等号仅当x0时成立，所以g(x)在(，)单调递增而g(0)0，所以对任意x0，g(x)0；当b2时，若x满足2exex2b2，即0xln (b1)时g(x)0.而g(0)0，因此当0xln (b1)时，g
7、(x)0，所以当x(0,2)时，f(x)0，函数yf(x)单调递增所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，)(2)由(1)知，k0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，故f(x)在(0,2)内不存在极值点；当k0时，设函数g(x)exkx，x(0，)因为g(x)exkexeln k，当00，yg(x)单调递增故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；当k1时，得x(0，ln k)时，g(x)0，函数yg(x)单调递增所以函数yg(x)的最小值为g(ln k)k(1ln k)函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当解得ek，综上所述，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时，k的取值范围为.