1、福建省南安第一中学2015-2016学年高二下学期期初考试理数试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知命题已知命题 ，那么下列结论正确的是 （ ）A命题 B命题C命题 D命题【答案】B【解析】试题分析：全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，所以命题考点：全称命题与特称命题 2.计算的结果为（ ）A1 B C D【答案】C【解析】试题分析：考点：定义分计算3.方程的两个根可分别作为 （ ）A一椭圆和一双曲线的离心率 B两抛物线的离心率C一椭圆和一抛物线的离心率 D两椭圆的离心率【答案】C【解析】试
2、题分析：方程的两个根分别为，所以可作为一椭圆和一抛物线的离心率.考点：圆锥曲线离心率4.曲线在点处的切线方程为( )A B C D【答案】B【解析】试题分析：时，直线方程为考点：导数的几何意义及直线方程5.如图，在正方体，若，则的值为（ ）A3 B1 C1 D3 【答案】B【解析】试题分析：考点：平面向量基本定理6.已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）A B C2D【答案】A【解析】试题分析：由题意可知考点：双曲线方程及性质7.如果复数为纯虚数，那么实数的值为（ ）.A2 B1 C2 D1或 2 【答案】A【解析】试题分析：由题意得考点：复数相关概念8.已知空间四面体的每条边
3、都等于1，点分别是的中点，则等于（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：空间四面体D一ABC的每条边都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点 考点：平面向量数量积的运算9.抛物线上的点到直线距离的最小值是（ ）A B C D 【答案】D【解析】试题分析：，代入得，所以与平行的直线与抛物线相切于，所以最小距离为考点：点到直线的距离10.从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（ ）A.2097 B.1553 C.1517 D.2111【答案】C【解析】试题分析：根据如图所示的规则排列，设最上层的一个数
4、为a，则第二层的三个数为a+7，a+8，a+9，第三层的五个数为a+14，a+15，a+16，a+17，a+18，这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104由求出的a一定要在每行的第3，4，5，6个数，9a+104=1517，得a=157，是自然数考点：简单的合情推理11.给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数以下四个函数在上不是凸函数的是（ ）A B C D【答案】B【解析】试题分析：对于，f（x）=cosx-sinx，f（x）=-sinx-cosx，当x时，f（x）0，故为凸函数，排除A；对于，f（x）=
5、2，f（x）=，当x时，f（x）0，故为凸函数，排除D；对于，f（x）=，f（x）=-6x，当x时，f（x）0，故为凸函数，排除C；考点：利用导数研究函数的单调性 12.椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点现有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程，点是它的两个焦点当静止的小球从点开始出发，沿直线运动，经椭圆壁反射后再回到点时，此时小球经过的路程可能是（） A32或4或 B或28或C28或4或D32或28或4【答案】D【解析】试题分析：由方程可知沿着长轴反射时经过的路程为或，不延长轴时经过的路程为，小球经过的路程可能是32或28或4考点：
6、椭圆方程及性质第卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.当时，函数取到极大值，则等于 【答案】【解析】试题分析：，此时考点：函数导数与极值14.双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则 【答案】【解析】试题分析：考点：双曲线方程及性质15.已知= 【答案】2【解析】试题分析：考点：函数求导数16.设（其中），且当或时，方程只有一个实根；当时，方程有三个相异实根现给出下列四个命题：的任一实根大于的任一实根的任一实根大于的任一实根和有一个相同的实根 和有一个相同的实根其中正确的命题有 （请写出所有正确命题的序号）【答案】三、解答题 （本大题共6小题，共74分.解答应写出文
7、字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知椭圆的焦点为，且过点()求椭圆的标准方程；()设直线交椭圆于两点，求线段的中点坐标【答案】() () (-,)【解析】试题分析：（1）设椭圆C的方程为： (ab0)，由题意及a，b，c的平方关系即可求得a，b值；（2）联立方程组消去y可得关于x的一元二次方程，设A，B，由韦达定理可求的值，进而可得中点横坐标，代入直线方程即可求得纵坐标试题解析：()由已知条件得椭圆的焦点在轴上,其中，,从而,3分所以椭圆的标准方程是 .5分（）联立方程组消去得 .7分设, ，则,所以=，=+2=.11分即线段的中点坐标为(-,).12分考点：直线与圆
8、锥曲线的关系；椭圆的标准方程 18.（本小题满分12分）如图，长方体中，是中点，是中点() 求证：； ()求证：平面平面【答案】()详见解析()详见解析【解析】试题分析：（）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，求出，可得，即可证明；（）证明，即可证明平面，从而平面平面试题解析：以为原点，分别以为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则.2分() .6分（）证法一：. ，又，10分平面，又平面，（注条件少一个扣1分）平面平面.12分证法二：.设平面的法向量为， ，取8分设平面的法向量为,，取10分， ，平面平面.12分考点：平面与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系19.（本小题
9、满分12分）已知函数 （）求函数的图象在点处的切线的方程；（）求函数区间上的最值【答案】（）（）最大值为，最小值为（）令，则.7分当变化时，的变化情况如下表：10分故函数区间上的最大值为，最小值为.12分考点：函数导数的几何意义；函数导数与函数最值20.（本小题满分12分）四棱锥中，侧棱，底面是直角梯形，且，是的中点（）求异面直线与所成的角；（）线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（）（）【解析】试题分析：由已知条件建立空间坐标系，利用空间向量求解，由异面直线所成角首先求得两直线的方向向量所成角，从而得到异面直线所成角，首先由线面垂直关系得到直线的方向向量平
10、行于平面的法向量，从而得到点Q坐标，求得的比值.试题解析：以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则.2分（）.则4分，即异面直线与所成的角为6分（）假设线段上存在一点，使，设.设，则，即，.8分.，即.即线段上存在一点，使得，且.12分考点：异面直线所成角；线面垂直的判定 21.（本小题满分12分）已知直线过抛物线的焦点且与抛物线相交于两点，自向准线作垂线，垂足分别为 ()求抛物线的方程；()证明：无论取何实数时，都是定值； ()记的面积分别为，试判断是否成立，并证明你的结论【答案】() ()详见解析() 成立【解析】试题分析：()由直线与x轴交点得到抛物线焦点，进而求得
11、抛物线方程；()将直线与抛物线联立方程，利用二次方程根与系数的关系即可证明；()结合抛物线定理，利用三角形面积公式可求得的值，从而判定是否成立试题解析：()解：由条件知在直线上，即，所以抛物线的方程为2分() 由 得.3分则.4分则，即有定值，.6分() 根据条件有由抛物线的定义得，7分于是，.8分9分 ，则有12分考点：抛物线方程及性质；直线与抛物线相交的相关问题22.（本小题满分14分）已知函数()当时，求函数的单调区间；()若函数在区间上无极值，求的取值范围；()已知且，求证：【答案】() 单调递增区间为，单调递减区间为；() ()详见解析【解析】试题分析：()由原函数求得其导函数，利用导数的正负可求得单调区间；()函数无极值即函数的极值点不在区间上，由导数求得极值点，得到关于的不等式；()利用()中函数的最值得到，通过换元转化为，借助于对数运算法则可证明不等式试题解析：（）当时，定义域为.令，则.2分则当时，当时，故的单调递增区间为，单调递减区间为4分（）令5分若，则在区间上恒成立，则在区间上无极值；6分若，令 ，则.当变化时，的变化情况如下表：0故在处取得极大值.要使在区间上无极值，则.8分综上所述，的取值范围是.9分（）由（）知，当时，在处取得最大值0，10分即 （当时等号成立）.令（且），则，即12分，故14分考点：函数导数与单调性极值；不等式与函数的转化