1、第七节立体几何中的向量方法(理)时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是a(1,0,1)，b(0,1,1)，那么这条斜线与平面所成的角是()A90 B60C45 D30解析|a|，|b|，cosa，b.又a，b(0，90)，a，b60.答案B2(2014珠海模拟)已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.，4 B.，4C.，2,4 D4，15解析，0，即352z0，得z4，又BP平面ABC，BPAB，BPBC，(3,1,4)，则解得答案B
2、3长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A. B.C. D.解析建立空间直角坐标系如图则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.答案B4在90的二面角的棱上有A，B两点，AC、BD分别在这个二面角的两个面内，且都垂直于棱AB，已知AB5，AC3，CD5，则BD()A4 B5C6 D7解析由条件知ACAB，BDAB，ACBD，又，2()2|2|2|23252|2(5)2，|216，BD4.答案A5已知长方
3、体ABCDA1B1C1D1中，ABBC4，CC12，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为()A.B.C.D.解析如图建立空间直角坐标系，则B(4,0,0)，C(4,4,0)，C1(4,4,2)，显然AC平面BB1D1D，(4,4,0)为平面BB1D1D的一个法向量又(0,4,2)，cos，1.即BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为.答案C6(2014德州调研)二面角的棱上有A，B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个平面内，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，CD2，则该二面角的大小为()A150 B45C60 D120解析由题意知与所成角即为该二面角的平面角，222
4、2222.(2)26242822|cos，116268cos，cos，120.，60，该二面角的大小为60.答案C二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7.(2014潍坊考试)如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1，若ABCD是边长为2的正方形，AA11，A1ADA1AB60，则BD1的长为_解析，|2()29，故BD13.答案38(2013怀化模拟)如图，在直三棱柱中，ACB90，ACBC1，侧棱AA1，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成角的正切值为_解析以C1为原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则平面AA1C1C的法向
5、量为n(0,1,0)，(1,0，)，则直线AM与平面AA1C1C所成角的正弦值为sin|cos，n|，tan.答案9如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC1，AA12，B1A1C190，D为BB1的中点，则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为_解析以A为原点建立空间直角坐标系，如图，A1(0,0,2)，C(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,1,2)，则(1，1，1)，(0,1，2)，|，|，1，cos，故异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为.答案三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10(2013江苏卷)如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2
6、，A1A4，点D是BC的中点(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值解(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面ADC1的一个法向量取平面AB
7、A1的一个法向量为n2(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos|，得sin.因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.11(2013福建卷)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱AA1底面ABCD，ABDC，AA11，AB3k，AD4k，BC5k，DC6k(k0)(1)求证： CD平面ADD1A1；(2)若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值解(1)证明：取CD的中点E，连接BE.ABDE，ABDE3k，四边形ABED为平行四边形，BEAD且BEAD4k.在BCE中，BE4k，CE3k，BC5k，BE2CE2BC2.BEC90
8、，即BECD.又BEAD，CDAD.AA1平面ABCD，CD平面ABCD，AA1CD.又AA1ADA，CD平面ADD1A1.(2)以D为原点，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A(4k,0,0)，C(0,6k,0)，B1(4k，3k,1)，A1(4k,0,1)，所以(4k,6k,0)，(0,3k,1)，(0,0,1)设平面AB1C的法向量n(x，y，z)，则由得取y2，得n(3,2，6k)设AA1与平面AB1C所成角为，则sin|cos，n|，解得k1，故所求k的值为1.12(2014石家庄质检)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，侧面BCC1B1底面ABC.(1)若
9、M，N分别是AB，A1C的中点，求证：MN平面BCC1B1；(2)若三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，侧棱BB1与底面ABC所成的角为60，问在线段A1C1上是否存在一点P，使得平面B1CP平面ACC1A1？若存在，求C1P与PA1的比值，若不存在，说明理由解(1)证明：连接AC1，BC1，则ANNC1，因为AMMB，所以MNBC1.又BC1平面BCC1B1，MN平面BCC1B1，所以MN平面BCC1B1.(2)作B1OBC于O点，连接AO，因为平面BCC1B1底面ABC，所以B1O平面ABC.以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0,0)，C(1,0,0)，B1(0，0，)由，可求出A1(1，)，C1(2,0，)，假设在线段A1C1上存在一点P，使得平面B1CP平面ACC1A1，设(0且1)，则可以求得P(1，)，(，)，(1,0，)设平面B1CP的法向量为n1(x，y，z)，由得令z1，解得n1(，1)同理可求出平面ACC1A1的一个法向量n2(，1，1)由平面B1CP平面ACC1A1，得n1n20，即310，解得3，所以A1C13A1P，从而2.所以存在满足题意的点P，且2.