1、4.4幂函数学 习 目 标核 心 素 养1.掌握幂函数的概念、图像和性质(重点)2熟悉1,2,3，1时的五类幂函数的图像、性质及其特点(易错点)3能利用幂函数的图像与性质解决综合问题(难点)1.通过幂函数概念与图像的学习，培养数学抽象素养2借助幂函数性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.1幂函数的概念一般地，函数yx称为幂函数，其中是常数思考：幂函数yx与指数函数yax(a0且a1)有什么样的区别？提示幂函数yx的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数yax中，底数是常数，指数是自变量2五个常见幂函数的图像3幂函数的图像特征及性质(1)幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,
2、1)且平行于y轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上分布(2)当0时，图像过点(1,1)，(0,0)且在第一象限随x的增大而上升，函数在区间0，)上是单调增函数(3)当0时，幂函数的图像，过点(1,1)，且在第一象限随x的增大而下降，函数在区间(0，)上是单调减函数，且向右无限接近x轴，向上无限接近y轴(4)当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数1下列函数中不是幂函数的是()AyByx3Cy2x Dyx1C形如yx的函数为幂函数，只有C不是2幂函数yx(R)的图像一定不经过()A第四象限 B第三象限C第二象限 D第一象限A由幂函数的图像可知，其图像一定不经过
3、第四象限3若幂函数f(x)(m2m1)x1m是偶函数，则实数m()A1 B2C3 D1或2A因为f(x)(m2m1)x1m为幂函数，所以m2m11解得m1或2，又f(x)是偶函数，则1m为偶数故m1.4已知幂函数f(x)的图像经过点(2，)，则f(4)_.2设f(x)x，f(4)42.幂函数的概念【例1】是幂函数，且当x(0，)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式解根据幂函数定义得，m2m11，解得m2或m1，当m2时，f(x)x3在(0，)上是增函数；当m1时，f(x)x3，在(0，)上是减函数，不合要求f(x)的解析式为f(x)x3.1只有形如yx(其中为任意实数，x为自变量)的函数才
4、是幂函数，否则就不是幂函数2判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为yx(为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.形如y(3x)，y2x，yx5，形式的函数都不是幂函数反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数？(2)反比例函数？(3)二次函数？(4)幂函数？解(1)若f(x)为正比例函数，则m1.(2)若f(x)为反比例函数，则m1.(3)若f(x)为二次函数，则m.(4)若f(x)为幂函数，则m22m1，所以m1.幂函数的图像和性质【例2】(1)幂函数 (mZ)的图像如
5、图所示，则m的值为()A1m4B0或2C1或3 D0,1,2或3(2)已知幂函数yx3m9(mN*)的图像关于y轴对称，且在(0，)上单调递减，求满足(a3)(52a)的a的取值范围思路探究(1)根据幂函数的图像特征与性质确定m的值；(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m的值，再利用幂函数的单调性求解关于a的不等式(1)D(1)因为幂函数图像在第一象限内为减函数，所以m23m40，解得1m4，又图像关于y轴对称说明m23m4为偶数，又mZ，所以m的值为0,1,2或3.(2)解因为函数在(0，)上单调递减，所以3m90，解得m3，又mN*，所以m1,2.因为函数的图像关于y轴对称，所以3
6、m9为偶数，故m1，则原不等式可化为(a3) 52a0或52aa30或a3052a，解得a或a0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间0，)上是增函数当01时，在第一象限内为抛物线形，且开口向上(3)若0时，对于yxn，n越大，yxn增幅越快，n0时，n越大，yxn递增速度越快，故C1的n2，C2的n，当n0，且a1)的单调性与实数a有什么关系？幂函数yx在(0，)上的单调性与有什么关系？提示当a1时，函数yax单调递增；当0a0时，幂函数yx在(0，)上单调递增；当，0.50.5.(2)幂函数yx1在(，0)上是单调递减的，又1.(3)函数y1x为R上的减函数，又，.又函数y2x在0，)上是增
7、函数，且，.利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法3比较下列各组数的大小：解(1)函数yx在(0，)上为减函数33.1，33.1.(2)yx0.8在0，)上是增函数，0.70.8，0.70.80.80.8.又y0.8x在R上是减函数，0.70.8，0.80.80.80.7.0.70.80.80.80.80.7，即0.70.80.80.7.(教师独具)1本节课的重点是掌握幂函数的概念、图像及性质，难点是幂函数图像与性质的简单应用2本节课要重点掌握的规律方法(1)判断幂函数的方法(2)解决幂函数图像的两个原则(3)比较幂值大小的方法3本节课的易错点是对幂函数的图像掌握不准而致错.1思考辨析(1)函数yx是幂函数()(2)函数y2x是幂函数()(3)幂函数的图像都不过第二、四象限()(1)(2)(3)(1).函数yx符合幂函数的定义，所以是幂函数(2).幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y2x不是幂函数(3).幂函数yx2过第二象限2下列函数中，其定义域和值域不同的函数是()DA中定义域和值域都是R；B中定义域和值域都是(0，)；C中定义域和值域都是R；D中定义域为R，值域为0，)3函数yx的图像大致是图中的()ABCDB函数yx是奇函数，且1，函数图像为B.4比较下列各组数的大小：解(1)8，函数yx在0，)上为增函数，又，则.从而8.