1、2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质1理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义(重点)2能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理(重点)3能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题(难点)基础初探教材整理1直线与平面平行的性质定理阅读教材P58P59“例3”以上的内容，完成下列问题自然语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a，a，bab图形语言作用证明两直线平行判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行()(2)一条直
2、线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点()(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行()(4)如果直线l和平面平行，那么过平面内一点和直线l平行的直线在内()【解析】由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；由直线与平面平行的定义知(2)正确；因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2平面与平面平行的性质定理阅读教材P60“思考”以下至P61“练习”以上的内容，完成下列问题自然语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言，a，bab图形语言作用证明两直线平行已知平面平面，
3、过平面内的一条直线a的平面，与平面相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是()A平行B相交C异面D不确定【解析】由面面平行的性质定理可知ab.【答案】A小组合作型线面平行性质定理的应用如图2215，四边形EFGH是空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：AB平面EFGH.图2215【精彩点拨】要证明AB平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的【自主解答】四边形EFGH为平行四边形，EFHG.HG平面ABD，EF平面ABD，EF平面ABD.EF平面ABC，平面ABC平面ABDAB，EFAB.AB平面
4、EFGH，EF平面EFGH，AB平面EFGH.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.再练一题1如图2216，在三棱柱ABCA1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE1.求证：AA1EE1.图2216【证明】在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BB1，AA1平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，AA1平面BCC1B1.AA1平面AEE1A1，平面AEE1A1平面BCC1B1EE1，AA1EE1.面面平行性质定理的应用如图2217，已知，点P是平面，外的一点(不在与之间)，
5、直线PB，PD分别与，相交于点A，B和C，D.图2217(1)求证：ACBD；(2)已知PA4，AB5，PC3，求PD的长. 【精彩点拨】(1)利用面面平行的性质定理直接证明即可(2)利用平行线分线段成比例定理可求得PD.【自主解答】(1)证明：PBPDP，直线PB和PD确定一个平面，则AC，BD.又，ACBD.(2)由(1)得ACBD，CD，PDPCCD.1利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由性质定理得出线线平行2应用面面平行的性质定理时，往往
6、需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来再练一题2如图2218，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M平面BC1N，AC平面BC1NN.求证：N为AC的中点图2218【证明】因为平面AB1M平面BC1N，平面ACC1A1平面AB1MAM，平面BC1N平面ACC1A1C1N，所以C1NAM，又ACA1C1，所以四边形ANC1M为平行四边形，所以ANC1M且ANC1M，又C1MA1C1，A1C1AC，所以ANAC，所以N为AC的中点探究共研型平行关系的综合应用探究1应用线面平行性质定理有什么技巧？【提示】应着力寻找过已知直线的平面与已知平
7、面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴探究2面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？【提示】两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法探究3你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？【提示】三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：如图2219，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M
8、在B1C上，且CMDN.求证：MN平面AA1B1B.图2219【精彩点拨】用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN平面AA1B1B.【自主解答】如图，作MPBB1交BC于点P，连接NP，MPBB1，.BDB1C，DNCM，B1MBN，NPCDAB.NP平面AA1B1B，AB平面AA1B1B，NP平面AA1B1B.MPBB1，MP平面AA1B1B，BB1平面AA1B1B，MP平面AA1B1B.又MP平面MNP，NP平面MNP，MPNPP，平面MNP平面AA1B1B.MN平面MNP，MN平面AA1B1B.1三种平行关系的转化要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行
9、的相互联系、相互转化在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化转化思想是解决这类问题的最有效的方法2面面平行的性质定理的几个推论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面(2)夹在两平行平面间的平行线段相等(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例再练一题3如图2220，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点设F是棱AB的中点，证明：直线EE1平面FCC1.图2220【证明】因为F为AB的中点，所以AB2AF.又因为A
10、B2CD，所以CDAF.因为ABCD，所以CDAF，所以AFCD为平行四边形所以FCAD.又FC平面ADD1A1，AD平面ADD1A1，所以FC平面ADD1A1.因为CC1DD1，CC1平面ADD1A1，DD1平面ADD1A1，所以CC1平面ADD1A1，又FCCC1C，所以平面ADD1A1平面FCC1.又EE1平面ADD1A1，所以EE1平面FCC1.1正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是()图2221AAECGBAE与CG是异面直线C四边形AEC1F是正方形DAE平面BC1F【解析】由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直
11、，则AECG不成立；由于EGA1C1AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AEEC1C1FAF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AEC1F，由线面平行的判定定理，可得AE平面BC1F.故选D.【答案】D2如图2222，四棱锥PABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN平面PAD，则()图2222AMNPDBMNPACMNADD以上均有可能BMN平面PAD，平面PAC平面PADPA，MN平面PAC，MNPA.3已知直线l平面，l平面，m，则直线l，m的位置关系是_. 【解析】由直线与平面平行的性质定理知lm.【答案】平行
12、4过两平行平面，外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交于A，C两点，交于B，D两点，若PA6，AC9，PB8，则BD的长为_【解析】两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面，的交线ACBD，所以，又PA6，AC9，PB8，故BD12.【答案】125如图2223，CD，EF，AB，AB.求证：CDEF.图2223【证明】因为AB，AB，CD，所以ABCD.同理可证ABEF，所以CDEF.学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1直线a平面，内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的()A至少有一条B至多有一条C有且只有一条D没有【解析
13、】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面，所以平面与平面只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是故选B.【答案】B2设a，b是两条直线，是两个平面，若a，a，b，则内与b相交的直线与a的位置关系是()A平行B相交C异面D平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以ab，又a与无公共点，故选C.【答案】C3下列命题中不正确的是()A两个平面，一条直线a平行于平面，则a一定平行于平面B平面平面，则内的任意一条直线都平行于平面C一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直
14、线【解析】选项A中直线a可能与平行，也可能在内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】A4如图2224，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()图2224A平行B相交C异面D平行或异面【解析】由长方体性质知：EF平面ABCD，EF平面EFGH，平面EFGH平面ABCDGH，EFGH，又EFAB，GHAB，选A.【答案】A5设平面平面，A，B，C是
15、AB的中点，当点A、B分别在平面，内运动时，动点C()A不共面B当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到、的距离始终相等，故点C在到、距离相等且与两平面都平行的平面上【答案】D二、填空题6如图2225，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_图2225【解析】因为EF平面AB1C，EF平面ABCD，平面AB1C平面ABCDAC，所以EFAC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中
16、点，所以EFAC.【答案】7如图2226所示，直线a平面，A，并且a和A位于平面两侧，点B，Ca，AB、AC分别交平面于点E，F，若BC4，CF5，AF3，则EF_. 图2226【解析】EF可看成直线a与点A确定的平面与平面的交线，a，由线面平行的性质定理知，BCEF，由条件知ACAFCF358.又，EF.【答案】三、解答题8如图2227所示，四边形ABCD是矩形，P平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形图2227【证明】四边形ABCD是矩形，BCAD.AD平面APD，BC平面APD，BC平面APD.又平面BCFE平面APDEF，BCEF，AD
17、EF.又E，F是APD边上的点，EFAD，EFBC.四边形BCFE是梯形9如图2228，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且，求证：MN平面SBC.图2228【证明】在AB上取一点P，使，连接MP，NP，则MPSB.SB平面SBC，MP平面SBC，MP平面SBC.又，NPAD.ADBC，NPBC.又BC平面SBC，NP平面SBC，NP平面SBC.又MPNPP，平面MNP平面SBC，而MN平面MNP，MN平面SBC.能力提升10对于直线m、n和平面，下列命题中正确的是()A如果m，n，m、n是异面直线，那么nB如果m，n，m、n是异面直线，那么n与相交C如果m，
18、n，m、n共面，那么mnD如果m，n，m、n共面，那么mn【解析】对于A，如图(1)所示，此时n与相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确故选C.图(1)图(2)图(3)【答案】C11如图2229，三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC2FB2，当点M在何位置时，BM平面AEF. 图2229【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQAE.因为EC2FB2，所以PEBF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PBEF.又AE，EF平面AEF，PQ，PB平面AEF，所以PQ平面AEF，PB平面AEF.又PQPBP，所以平面PBQ平面AEF.又BQ平面PBQ，所以BQ平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM平面AEF.
