1、单元检测(四) 三角函数(满分:150分 时间:120分钟)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分）1.函数的图象的两条相邻对称轴间的距离为( )A. B. C. D.解析:,故两相邻的对称轴间的距离为.答案:B2.函数y=Asin(x+)(0)(|,xR)的部分图象如图所示,则函数表达式为( )A. B.C. D.解析:观察题图,将(-2,0)代入各选项中,可排除A、C,将x=0代入B、D选项中,D选项不符合要求,故选B.答案:B3.下列函数中最小正周期不为的是( )A.f(x)=sinxcosx B.C.f(x)=sin2x-cos2x D.(x)=sinx+cosx解析:A中
2、,f(x)=sin2xT=;B中,T=;C中,f(x)=-cos2xT=.故选D.答案:D4.要得到函数y=sin2x的图象,可由函数y=cos2x的图象( )A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位解析:.答案:D5.使为奇函数,且在区间0,上为减函数的的一个值为( )A. B. C. D.解析:,要使f(x)是奇函数,必须(kZ),因此应排除A、B.当时,f(x)=2sin2x在0,上为增函数,故C不对.当时,f(x)=-2sin2x在0,上为减函数.答案:D6.已知函数y=Asin(x+)在同一周期内,当时,取得最大值,当时,取得最小值,则该函数的解析
3、式为( )A. B.C. D.解析:由题意,知,易知第一个零点为(,0),则,即.答案:B7.若a=sin(cosx),b=cos(sinx)且x,-1,则( )A.a2+b2=1 B.ab C.ab D.a=b解析:x,-1,x,-,cosx-1,0,sinx0,1.a0b.答案:B8.函数的一个单调增区间是( )A.(,) B.(,) C.(0,) D.(,)解析:,令f(x)=sinx-sin2x0,得sinx(1-2cosx)0,或由函数图象,知答案为A.答案:A9.若0x,则下列命题中正确的是( )A.sinx B.sinxC.sinx D.sinx解析:分别取、,排除A、B、C.答
4、案:D10.若函数f(x)=2sin(x+),xR(其中0,|)的最小正周期是,且,则( )A., B.,C.=2, D.=2,解析:,=2.又,|,.答案:D11.若函数f(x)=sinx+cosx,xR,又f()=-2,f()=0,且|-|的最小值等于,则正数的值为( )A. B. C. D.解析:由于,又f()=-2,f()=0,所以x=是函数图象的一条对称轴,(,0)是函数图象的一个对称中心.故|-|的最小值应等于,其中T是函数的最小正周期,于是有,故.答案:B12.定义新运算例如则函数的值域为( )A.-1, B.0, C.-1, D.,解析:方法一:当sinxcosx,即x(kZ)
5、时,f(x)=sinx-1,;当sinxcosx,即x(kZ)时,f(x)=cosx-1,.函数f(x)的值域为-1,.方法二:作出y=sinx,y=cosx的图象观察便知.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知函数y=f(x)的反函数为,其中0,则x=2 006时,f-1(x)=_.解析:由题意得=logsinsin2=2.答案:214.给出下列5个命题:函数f(x)=-sin(k+x)(kZ)是奇函数;函数f(x)=tanx的图象关于点(,0)(kZ)对称;函数f(x)=sin|x|是最小正周期为的周期函数;设是第二象限角,则,且;函数y=cos2x+sinx
6、的最小值是-1.其中正确的命题是_.解析:y=-sin(k+x)(nZ),故f(x)是奇函数,正确;对f(x)=tanx,(k,0)、(,0)都是对称中心(前者在曲线上,后者不在),正确;f(x)=sin|x|不是周期函数,不正确;对,必满足,但是第三象限角时,不正确;y=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx,当sinx=-1时,ymin=-1,正确.答案:15.如果圆x2+y2=2k2至少覆盖函数的一个极大值点和一个极小值点,则k的取值范围是_.解析:函数的极大值点和极小值点分别为(k,),(-k,),k2+32k2.k或k.答案:(-,+)16.函数y=f(x)的图象与直线x=a
7、、x=b及x轴所围成图形的面积称为函数f(x)在a,b上的面积.已知函数y=sinnx在0,上的面积为(nN*),则(1)函数y=sin3x在0,上的面积为_;(2)函数y=sin(3x-)+1在,上的面积为_.解析:(1)令n=3,则y=sin3x在0,上的面积为.又y=sin3x在0,和,上的面积相等,y=sin3x在0,上的面积为. (2)由y=sin(3x-)+1,设3=3x-,y=sin3+1.又x,30,3.0,.由(1)y=sin3在0,上的面积为,y=sin3在0,上的面积为S1+S2+S3-S4,y=sin(3x-)+1在,上的面积为.答案:(1) (2)三、解答题(本大题共
8、6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知函数.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间,上的值域.解:(1).最小正周期为.(2)x,.在区间,上单调递增,在区间,上单调递减,当时,f(x)取得最大值1.又,当时,f(x)取得最小值.函数f(x)在,上的值域为,1.18.(本小题满分12分)已知x0,.(1)求sinx-cosx的值;(2)求的值.解法一:(1)由,平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=,得.,又x0,sinx0,cosx0,sinx-cosx0.故.(2)=sinxcosx(2-cosx-sinx).解法二:(1)联立方程由得,将其代入
9、,整理得25cos2x-5cosx-12=0,或.x0,故.(2)=sinxcosx(2-cosx-sinx).19.(本小题满分12分)已知向量a=(,-1),b=(sin2x,cos2x),函数f(x)=ab.(1)若f(x)=0且0x,求x的值;(2)求函数f(x)的单调增区间以及函数取得最大值时,向量a与b的夹角.解:(1)f(x)=ab=sin2x-cos2x,由f(x)=0,得sin2x-cos2x=0,即.0x,02x2.或.或.(2),由,kZ,得x,kZ.f(x)的单调增区间为,kZ.由上可得f(x)max=2,当f(x)=2时,由ab=|a|b|cosa,b=2,得cosa
10、,b,0a,b,a,b=0.20.(本小题满分12分)设0,P=sin2+sin-cos.(1)若t=sin-cos,用含t的式子表示P;(2)确定t的取值范围,并求出P的最大值和最小值.解:(1)由t=sin-cos,有t2=1-2sincos=1-sin2,sin2=1-t2.P=1-t2+t=-t2+t+1.(2).0,.1,即t的取值范围是-1t.,从而P(t)在-1,上是增函数,在,上是减函数.又P(-1)=-1,P(-1)P()P().P的最大值是,最小值是-1.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin2x,直线x=t(tR)与函数f(x)、g(x)的图象分别交于M、N两点.(1)当时,求|MN|的值;(2)求|MN|在t0,时的最大值.解:(1).(2).t0,|MN|的最大值为.22.(本小题满分12分)已知函数,xR(其中0).(1)求函数f(x)的值域;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为,求函数y=f(x)的单调增区间.解:(1),由-11,得-31.可知函数f(x)的值域为-3,1.(2)由题设条件及三角函数的图象和性质,可知y=f(x)的周期为.又0,.=2.于是.再由,kZ.解得x,kZ,y=f(x)的单调增区间为,(kZ).w.w.w.k.s.5.u.c.o.m