1、湖南省株洲市7校2019-2020学年高一数学上学期期末联考试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合，0，1，2，3，则下列结论成立的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由于但.所以不成立.不成立.都不成立.成立.故选（D）.考点：1.集合的运算.2.集合间的关系.2.函数的定义域为（）A. 1，2）（2，+）B. （1，2）（2，+）C. （1，+）D. 1，+）【答案】B【解析】【分析】根据真数大于零和偶次根式被开方数不小于零得到不等式组，解不等式组即可.【详解】由题知：，解得：且.故选B【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，求函数定义域通常要考虑分母
2、不为零，偶次根式被开方数不小于零，真数大于零等等，属于简单题.3.倾斜角为45的直线l经过两点（m，2）和（2m+2，3m），则m的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据直线斜率定义和两点斜率公式得到，解方程即可.【详解】根据，解得：.故选C【点睛】本题主要考查直线斜率的定义和两点求斜率公式，熟记公式是解题的关键，属于简单题.4.已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如图的曲线，其中，则的值为（ ）A. 3B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】由图象可知，由表格可知，故选D.5.圆C1：x2+y24和C2：（x3）2+（y+4）249的位置关系是（）A. 相
3、交B. 相离C. 内切D. 外切【答案】C【解析】【分析】首先求出圆和圆的圆心坐标及半径，求出圆心距，再观察圆心距与半径之间的关系即可得到答案.【详解】由题知：，.，又因为 ，所以圆和圆的位置关系是内切.故选C【点睛】本题主要考查两个圆的位置关系，同时考查了学生的计算能力，属于简单题.6.若0xy1，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D. logx3logxy【答案】D【解析】【分析】根据函数在上为减函数，可判断错误.根据函数在为减函数，可判断错误.根据函数在上为减函数，可判断错误.根据函数在上为减函数，可判断正确.【详解】因为，因为函数在上为减函数，所以，故错误.因函数在为减函数，所
4、以，故错误.因为函数在上为减函数，所以，故错误.因为函数在上为减函数，所以，故正确.故选【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数以及幂函数的单调性，属于简单题.7.下列函数中，既是偶函数又在（0，+）上单调递增的函数是（）A. y1x2B. yx3C. y|x|+1D. ylnx【答案】C【解析】【分析】通过判断四个选项的奇偶性和单调性即可求出答案.【详解】因为函数在上为偶函数，但在为减函数，故错误.因为函数在上为奇函数，故错误.因为函数在上为非奇非偶函数，故错误.因为函数在上为偶函数，在为增函数，故正确.故选【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，熟练掌握初等函数的单调性和奇偶性是解题的关键
5、，属于简单题.8.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中A. B. 与相交C. D. 与所成的角为【答案】D【解析】【分析】还原成正方体，可推导出在原来的正方体中与所成的角为【详解】解：一个正方体的展开图如图所示，为原正方体的顶点，还原成正方体如下图，是与所成角，在原来正方体中与所成的角为故选【点睛】本题考查了学生的空间想象力及作图能力、异面直线所成角的求法，属于基础题9.函数的零点所在区间为A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由零点存在性定理判断即可.详解：，由于，得函数在区间内存在零点.故选：B.点睛：零点存在性定理：利用定理不仅要函数在
6、区间上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点10.九章算术卷5商功记载一个问题“今有圆堡壔（do），周四丈八尺，高一丈尺，文积几何？意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是（）立方尺（取3，1丈10尺）A. 2112B. 2111C. 4224D. 4222【答案】A【解析】【分析】首先根据题意知：圆柱的高为尺，根据底面周长为尺可求出底面半径为，再带入圆柱体积公式即可求出答案.【详解】设圆柱底面半径为，高为由题知：，解得：.故选【点睛】本题主要考查数学文化和圆柱的体积，理解题意为解决本题的
7、关键，属于简单题.11.在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAC，AA1BC5M是BC中点，则直线A1M与平面ABC所成角的正切值为（）A. B. 2C. D. 3【答案】B【解析】【分析】根据平面，即可找到为直线与平面所成角，计算即可.【详解】因为平面，所以为直线与平面所成角.在中，.故选【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的求法，根据直线垂直平面找到直线与平面所成角为解题的关键，属于简单题.12.已知函数，若a、b、c互不相等，且f（a）f（b）f（c），则abc的取值范围是（）A. （5，10）B. （5，8）C. （6，8）D. （8，10）【答案】D【解析】【分析】由题知：令，画
8、出的图像，根据图像可知：的范围，又因为可得，进而可求出答案.【详解】函数的图像如图所示： 不相等，令，因为，由图知：，解得.又因为，所以.故选【点睛】本题主要考查分段函数的图像画法以及对数的运算，正确画出图像是解题的关键，属于中档题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.计算log23+log26log29_【答案】1【解析】【分析】根据对数运算公式和进行计算即可.【详解】.故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算，熟记公式是解题的关键，属于简单题.14.若直线x+2y+10与直线ax+y10互相平行，则实数a的值为_【答案】【解析】【分析】首先分别求出两条直线的斜率，根据两条直线互相平行斜
9、率相等即可求出的值.【详解】由题知：，.因为两条直线互相平行，所以.即：，.故答案为：【点睛】本题主要考查两条直线的平行关系，同时考查了直线一般式求斜率，属于简单题.15.已知f（x）2x2x，若f（a）3，则f（2a）等于 .【答案】7【解析】试题分析:因为，所以考点:求函数值16.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高4cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为3cm，如果不计容器的厚度，则球的表面积为_【答案】25【解析】【分析】设球体的半径为，根据已知条件得出正方体上底面截球所得的截面圆的半径，球心到截面圆圆心的距离，利用勾股定理即可求出球体半
10、径，再带入球体表面积公式即可.【详解】由题意得正方体上底面到水面的高为，设球体的半径为，由题意如图所示：三角形为直角三角形，为球与正方体的交点，则，所以：，解得，所以球的表面积.故答案为：【点睛】本题主要考查球体的表面积，根据截面求出球体的半径为解题的关键，属于中档题.三、解答题（共6个小题，第17题10分，其它每小题10分，共70分）17.已知两条直线l1：x+2y60和l2：x2y+20的交点为P求：（1）过点P与Q（1，4）的直线方程；（2）过点P且与直线x3y10垂直的直线方程【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）首先设出过和交点的直线系方程，然后带入点即可求出的值，再带入所设的直
11、线系方程即可.（2）根据与直线垂直即可求出的值，再带入所设的直线系方程即可.【详解】设过直线和交点的直线方程为，即：；（1）把点代入方程，化简得，解得；所以过两直线交点与的直线方程为，即.（2）由直线与直线垂直，则，解得，所以所求直线的方程为，即.【点睛】本题主要考查直线的交点系方程，同时考查了直线的位置关系的垂直关系，属于简单题.18.已知函数（aR）（1）若函数f（x）为奇函数，求实数a的值；（2）判断并用定义证明函数f（x）的单调性【答案】（1）a1, （2）证明解析【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出的值.（2）首先设出任取，计算化简得，从而证明在定义域上单调递增.【详解】
12、（1）由奇函数的性质，得，解得.（2）任取，因为，所以，所以.所以在定义域上单调递增.【点睛】本题第一问考查函数奇偶性的性质，第二问考查了函数单调性的证明.熟练掌握函数的性质为解题的关键，属于中档题.19.已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.（1）求圆C的标准方程；（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）利用点到直线的距离可得：圆心到直线的距离根据直线与圆相切，可得即可得出圆的标准方程（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即：，可得圆心到直线的距离，又，可得：即可得出直线的方程当的斜率不存在时，代入圆的方程可
13、得：，解得可得弦长，即可验证是否满足条件【详解】（1）圆心到直线的距离直线与圆相切，圆的标准方程为：（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即：，又，解得：直线的方程为：当的斜率不存在时，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，满足条件综上所述的方程为：或【点睛】本题考查直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题20.在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，点E是PD的中点（1）求证：PB平面AEC；（2）求证：平面EAC平面PAB【答案】（1）证明见解析，（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连接交于，连接，
14、利用三角形中位线定理可得到，再证明平面即可.（2）利用线面垂直定理可得到，又因为可得到平面，即可证明平面平面.【详解】（1）如图所示，连接交于，连接，在中，为中位线，；又平面，平面，平面；（2）平面，平面，；又，平面；又平面，平面平面【点睛】本题第一问考查线面平行的证明，熟练掌握中位线法是解题的关键，第二问考查面面垂直的证明，转化为线面垂直为解题的关键，属于中档题.21.中美贸易争端一直不断，2003年至2005年末，由美国单方面挑起的一系列贸易摩擦给中美贸易关系蒙上了浓重的阴影，贸易大战似乎一触即发，中美两国进入了前所未有的贸易摩擦期2018年，特朗普政府不顾中方劝阻，执意发动贸易战，掀起了
15、又一轮的中美贸易争端我国某种出口商品定价为每件60美元，美国不加收关税时每年大约出口80万件，中美经贸摩擦后，美国政府执意要加收进口关税，每进口100美元商品要征税P美元，因此每年出口量将减少万件（1）如果美国政府计划每年对该商品加征的关税金额不少于128万美元，那么税率应怎样确定？（2）在美国政府计划每年对该商品加征关税金额不少于128万美元的前提下，如何确定税率，才会使得我国生产该商品的厂家税后获取最大的出口额【答案】（1），（2）P4【解析】【分析】（1）根据美国政府计划每年对该商品加征关税金额不少于万美元，建立不等式，解不等式即可求出税率的范围.（2）因为税后出口额为万美元，根据函数的
16、单调性即可求出：当时，我国生产该商品的厂家税后获取最大的出口额.【详解】（1）总出口量为件，商品总价格：单价总出口量，加征关税为：总价格关税率，化简得，解之得，故美国政府计划每年对该商品加征的关税金额不少于万美元，税率为.（2）商品总价格为：单价总出口量，每进口美元商品美国要征税美元，即每进口美元商品中国交税后剩余美元，税后出口额为万美元，因为，所以当时，我国生产该商品的厂家税后获取最大的出口额.【点睛】本题主要考查函数模型的构建，同时考查了函数的单调性，确定函数模型是解题的关键，属于中档题.22.定义在D上的函数f（x）如果满足：对任意xD，存在常数M0，都有|f（x）|M成立，则称f（x）
17、是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的一个上界已知函数，（1）求函数f（x）在区间上的所有上界构成的集合；（2）若函数g（x）在0，+）上是以7为上界的有界函数，求实数a的取值范围【答案】（1）3，+）, （2）9，5【解析】【分析】（1）首先求出函数在区间的单调性，再根据单调性即可求出函数的值域，从而求出函数在区间上的所有上界构成的集合.（2）将问题转化为在上恒成立，通过换元法求出相应的最值即可求出的取值范围.【详解】（1），由复合函数的单调性法则易知，函数在上单调递减，函数在区间上单调递减，函数在区间上的值域为，函数在区间上所有上界构成的集合为.（2）由题意知，在上恒成立，即，则，在上恒成立，设， ，.易知，在上为增函数，故，由知，当时，为减函数，故，综上，实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查了函数的新定义问题，同时考查了函数的单调性和函数的值域问题，换元法求函数的值域为解题的关键，属于难题.