1、第16讲导数与函数的单调性夯实基础【p35】【学习目标】了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间及参数的范围【基础检测】1函数f(x)ln xx的单调递增区间是()A(，1) B(0，1)C(1，) D(0，)【解析】函数f(x)ln xx，定义域为(0，)，由f(x)10，解得0xf(3)f() Bf(3)f(2)f()Cf(2)f()f(3) Df()f(3)f(2)【解析】f(x)1xsin x，则f(x)1cos x0，则函数f(x)为增函数23f(3)f(2)【答案】D5定义在R上的奇函数f(x)，其导函数为f(x)，当x(，0时，恒有xf(x)f
2、(x)，则满足(2x1)f(2x1)f(3)的实数x的取值范围是_【解析】函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x)f(x)，由xf(x)f(x)可得xf(x)f(x)0，即xf(x)0，当x(，0时，恒有xf(x)f(x)，当x(，0时，恒有xf(x)0，设F(x)xf(x)，则函数F(x)xf(x)在(，0上为减函数，F(x)(x)f(x)(x)(f(x)xf(x)F(x)，函数F(x)为R上的偶函数，函数F(x)xf(x)为0，)上的增函数，(2x1)f(2x1)f(3)，(2x1)f(2x1)3f(3)，F(2x1)F(3)，|2x1|3，解得1x0，那么函数yf(x)在这个区间内单调
3、递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递减典 例 剖 析【p35】考点1利用导数判断和证明函数的单调性已知函数f(x)ex，aR.(1)求f(x)的零点；(2)当a5时，求证：f(x)在区间(1，)上为增函数【解析】(1)f(x)的定义域为(，0)(0，)，令f(x)0得x2a0，x2a，当a0时，方程无解，f(x)没有零点；当a0时，得x.综上，当a0时，f(x)无零点；当a1)，则g(x)3x22xa，其对称轴为x，所以g(x)在(1，)上单调递增所以g(x)31221a5a.当a5时，g(x)0恒成立，所以g(x)在(1，)上为增函数可得g(x)g(1)20，f(x)0
4、，所以f(x)在区间(1，)上为增函数【点评】 应用导数法判断或证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的三步骤：(1)一求求f(x)；(2)二定确认或推导f(x)在(a，b)内的符号；(3)三结论作出结论：f(x)0时为增函数；f(x)0时为减函数考点2利用导数求函数的单调区间已知函数f(x)(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与x轴平行(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间【解析】(1)由题意得f(x)，又f(1)0，故k1.(2)由(1)知，f(x).设h(x)ln x1(x0)，则h(x)0，即h(x)在(0，)上是减函数由h(1)0知，当0x1
5、时，h(x)0，从而f(x)0；当x1时，h(x)0，从而f(x)0.综上可知，f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，)【点评】应用导数求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间考点3已知函数的单调性求参数的取值范围已知函数f(x)xln xmx2x(mR)(1)若函数f(x)在(0，)上是减函数，求实数m的取值范围；(2)若函数f(x)在(0，)上存在两个极值点x1，x2，且x12.【解析】(1)f(x)xln xmx2x(
6、mR)在(0，)上是减函数，f(x)ln xmx0在定义域(0，)上恒成立，m，设h(x)，则h(x)，由h(x)0，得x(0，e)，由h(x)e，函数h(x)在(0，e)上递增，在(e，)上递减，h(x)maxh(e)，m.故实数m的取值范围是.(2)由(1)知f(x)ln xmx，函数f(x)在(0，)上存在两个极值点x1，x2，且x12，只需证2，只需证ln t，只需证ln t0，g(t)ln t在t(0，1)上递增，g(t)g(1)0，即g(t)ln t2.【点评】已知函数单调性求参数范围的两个方法：(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单
7、调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解方 法 总 结【p36】1函数的导数与函数的单调性在一个区间上，f(x)0(个别点取等号)f(x)在此区间上为增函数在一个区间上，f(x)0(个别点取等号)f(x)在此区间上为减函数2解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点3研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论4根据函数单调性求参数的一般思路：(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集
8、(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解走 进 高 考【p36】1(2018全国卷)已知函数f(x)xaln x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：2，令f(x)0得，x或x.当x时，f(x)0.所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增(2)由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21，不妨设x11.由于1a2a2a，所以a2等价于x22ln x20.设函数g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)上单调递减，又
9、g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0.所以x22ln x20，即a2.考 点 集 训【p193】A组题1函数f(x)sin x，x的单调递减区间是()A. B.C. D.【解析】f(x)cos x，x，令f(x)0，则x，故f(x)在上的减区间为.【答案】B2若函数fkxln x在区间单调递增，则k的取值范围是()A. B.C. D.【解析】由函数fkxln x在区间单调递增可得：f0在区间恒成立，fk，故k0k.【答案】B3函数yf的图象如图所示，则其导函数yf的图象可能是()【解析】根据函数图象可知函数yf在和单调递减，则yf在和均为负数，排除A，B，D，故选C.【答案】C4已知函数
10、f(x)(ax34b)ex，若ba0，则()Af(x)在(，0)单调递增Bf(x)在(，0)单调递减Cf(x)在(，)单调递增Df(x)在(，)单调递减【解析】f(x)(ax33ax24b)exaex，由ba01，x33x2x33x24，令h(x)x33x24，则h(x)3x26x，所以h(x)在(0，2)递减，(2，)递增，所以h(x)的最小值是h(2)0，所以h(x)0，又a0，则f(x)0f(x)在(，)单调递增【答案】C5已知函数f(x)x33ax23(a2)x1恰有三个单调区间，则实数a的取值范围是_【解析】函数f(x)x33ax23(a2)x1，f(x)3x26ax3(a2)，由函
11、数f(x)恰好有三个单调区间，得f(x)有两个不相等的零点，3x26ax3(a2)0满足：36a236(a2)0，解得a2.【答案】(，1)(2，)6已知函数f(x)x2(exex)，则不等式f(x22x)0的解集为_【解析】由函数的解析式可得：f(x)12(exex)，由于exex22，当且仅当exex，即x0时等号成立，据此可得：f(x)12(exex)3，则函数f(x)是R上的单调递减函数，注意到f(0)0，则题中的不等式等价于f(x22x)f(0)，结合函数的单调性脱去f符号有：x22x0，解得0x0恒成立，即不等式x22(1m)x10对于任意x0恒成立，即不等式m1对于任意x0恒成立
12、；又因为当x0时1112(当x1时取等号)，则m2，故实数m的取值范围是(，2(2)由于目标不等式中两个字母x与y可以轮换，则不妨设0y1.欲证目标不等式ln u0.()根据(1)的结论知，当m1，则f1(u)f1(1)0，则不等式()正确，故原目标不等式得证B组题1定义在R上的奇函数yf(x)满足f(3)0，且当x0时，不等式f(x)xf(x)恒成立，则函数g(x)xf(x)lg|x1|的零点的个数为()A1 B2 C3 D4【解析】定义在R上的奇函数f(x)满足：f(0)0f(3)f(3)，且f(x)f(x)，又x0时，f(x)xf(x)，即f(x)xf(x)0，xf(x)0，函数h(x)
13、xf(x)在x0时是增函数，又h(x)xf(x)xf(x)，h(x)xf(x)是偶函数；x0时，h(x)是减函数，结合函数的定义域为R，且f(0)f(3)f(3)0，可得函数y1xf(x)与y2lg|x1|的大致图象如图所示，由图象知，函数g(x)xf(x)lg|x1|的零点的个数为3个【答案】C2已知函数f(x)ax24axln x，则f(x)在(1，3)上不单调的一个充分不必要条件是()Aa BaCa Da【解析】f(x)2ax4a，若f(x)在(1，3)上不单调，令g(x)2ax24ax1，则函数g(x)2ax24ax1与x轴在(1，3)有交点，设其解为x1，x2，则x1x22，因此方程
14、的两解不可能都大于1，其在(1，3)中只有一解，其充要条件是(2a4a1)(18a12a1)0，解得a，因此选项D是满足要求的一个充分不必要条件【答案】D3设函数f(x)ln(1|x|)，则使得f(x)f(2x1)成立的x的取值范围是_【解析】当x0时，f(x)ln(1x)，导数为f(x)0，即函数f(x)在0，)单调递增，函数f(x)ln(1|x|)为偶函数，f(x)f(2x1)等价为f(|x|)f(|2x1|)，即|x|2x1|，平方得3x24x10，解得x1，所求x的取值范围是x1.【答案】4已知函数f(x)aln xax3(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)的
15、图象在点(2，f(2)处的切线的倾斜角为45，对于任意的t1，2，函数g(x)x3x2在区间(t，3)上总不是单调函数，求m的取值范围【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x).当a0时，f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，)；当a0时，f(x)的增区间为(1，)，减区间为(0，1)；当a0时，f(x)不是单调函数(2)由(1)及题意得f(2)1，即a2，f(x)2ln x2x3，f(x).g(x)x3x22x，g(x)3x2(m4)x2.g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，即g(x)0在区间(t，3)上有变号零点由于g(0)2，当g(t)0，即3t2(m4)t20对任意t1，2恒成立，由于g(0)0，故只要g(1)0且g(2)0，即m5且m9，即m9；由g(3)0，即m.所以m9.即实数m的取值范围是.备 课 札 记
