1、1空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量ab相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量ab共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量中的有关定理(1)共线向量定理空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数，使得ab.(2)共面向量定理共面向量定理的向量表达式：pxayb，其中x，yR，a，b为不共线向量(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc，a，b，c叫做空间的一个基底3空间
2、向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a，b的夹角，记作a，b，其范围是0a，b，若a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做向量a，b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a)b(ab)；交换律：abba；分配律：a(bc)abac.4空间向量的坐标表示及其应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量表示坐标表示数量积aba1b1a2b2a3b3共线ab(b0，R)a1b1，a2b2
3、，a3b3垂直ab0(a0，b0)a1b1a2b2a3b30模|a|夹角a，b(a0，b0)cosa，b【知识拓展】1向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：xy(其中xy1)，O为平面内任意一点2向量四点共面定理：在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是：xyz(其中xyz1)，O为空间中任意一点【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)空间中任意两非零向量a，b共面()(2)在向量的数量积运算中(ab)ca(bc)()(3)对于非零向量b，由abbc，则ac.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同()(5)若A、B、C、D是空间任意
4、四点，则有0.()1已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()Aa2 B.a2 C.a2 D.a2答案C解析如图，设a，b，c，则|a|b|c|a，且a，b，c三向量两两夹角为60.(ab)，c，(ab)c(acbc)(a2cos 60a2cos 60)a2.2(2016大连模拟)向量a(2，3,1)，b(2,0,4)，c(4，6,2)，下列结论正确的是()Aab，ac Bab，acCac，ab D以上都不对答案C解析因为c(4，6,2)2(2，3,1)2a，所以ac.又ab(2)2(3)0140，所以ab.故选C.3与向量(3，4,5)共线的单位向量是_答案
5、和解析因为与向量a共线的单位向量是，又因为向量(3，4,5)的模为5，所以与向量(3，4,5)共线的单位向量是(3，4，5)(3，4,5)4.如图，在四面体OABC中，a，b，c，D为BC的中点，E为AD的中点，则_.(用a，b，c表示)答案abc解析abc.5(教材改编)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为_答案解析|22()22222()1222122(12cos 120021cos 120)2，|，EF的长为.题型一空间向量的线性运算例1(1)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点用，表示，则_.答案解析()，().(2)三棱锥OAB
6、C中，M，N分别是OA，BC的中点，G是ABC的重心，用基向量，表示，.解()().思维升华用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立(2016青岛模拟)如图所示，在空间几何体ABCDA1B1C1D1中，各面为平行四边形，设a，b，c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2).解(1)因为P是C1D1的中点，所以aacacb.(2)因为M
7、是AA1的中点，所以a(acb)abc.又ca，所以(abc)(ac)abc.题型二共线定理、共面定理的应用例2(2016天津模拟)如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)求证：BD平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有()证明(1)连接BG，则()，由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面(2)因为()，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知，同理，所以，即EH綊FG，
8、所以四边形EFGH是平行四边形，所以EG，FH交于一点M且被M平分故()()()()思维升华(1)证明空间三点P，A，B共线的方法(R)；对空间任一点O，t(tR)；对空间任一点O，xy(xy1)(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法xy；对空间任一点O，xy；对空间任一点O，xyz(xyz1)；(或或)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足()(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内解(1)由题意知3，()()即，共面(2)由(1)知，共面且基线过同一点M，M，A，B，C四点共面从而点M在平面ABC内题型三空间向量数量积的应用例3(2017济
9、南月考)如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA12，A1ABA1AD120.(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；(3)求证：AA1BD.(1)解设a，b，c，则|a|b|1，|c|2，ab0，cacb21cos 1201.abc，|abc|.线段AC1的长为.(2)解设异面直线AC1与A1D所成的角为，则cos |cos，|.abc，bc，(abc)(bc)abacb2c20112222，|.cos |.故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.(3)证明c，ba，c(ba)cbca(1)(1)0，AA1BD.思维
10、升华(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置；(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角；(3)可以通过|a|，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60.(1)求的长；(2)求与夹角的余弦值解(1)记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，abbcca.|2(abc)2a2b2c22(abbcca)1112()6，|，即AC1的长为.(2)bca，ab，|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1，cos，.即
11、与夹角的余弦值为.18坐标法在立体几何中的应用典例(12分)如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1，在底面ABC中，CACB1，BCA90，棱AA12，M，N分别是A1B1，A1A的中点(1)求的模；(2)求cos，的值；(3)求证：A1BC1M.思想方法指导利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题，通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解规范解答(1)解如图，建立空间直角坐标系依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，所以|.2分(2)解依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0，1,2)所以(1，1,2)，(0,1,2)，3，|，|，所以cos，
12、.6分(3)证明依题意得C1(0,0,2)，M(，2)，(1,1，2)，(，0)9分所以00，所以，即A1BC1M.12分1在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案A解析a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们
13、三个却不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.2(2017郑州调研)已知a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6，)，若a，b，c三向量共面，则等于()A9 B9 C3 D3答案B解析由题意知cxayb，即(7,6，)x(2,1，3)y(1,2,3)，解得9.3已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为()A2 B C. D2答案D解析由题意知a(ab)0，即a2ab0，所以1470，解得2.4.如图，在大小为45的二面角AEFD中，四边形ABFE，CDEF都是边
14、长为1的正方形，则B，D两点间的距离是()A. B. C1 D.答案D解析，|2|2|2|22221113，故|.5已知a，b是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb且AB2，CD1，则异面直线a，b所成的角等于()A30 B45 C60 D90答案C解析如图，设a，b，c，则abc，所以cos，所以异面直线a，b所成的角等于60，故选C.6(2016深圳模拟)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为()A.a B.aC.a D.a答案A解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a，0,0)，C1(0，a，a)，N(a，a，)设
15、M(x，y，z)，点M在AC1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)，xa，y，z.M(，)，| a.7A，B，C，D是空间不共面四点，且0，0，0，则BCD的形状是_三角形(填锐角、直角、钝角中的一个)答案锐角解析因为()()220，所以CBD为锐角同理BCD，BDC均为锐角8设OABC是四面体，G1是ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG3GG1，若xyz，则x，y，z的值分别为_答案，解析如图所示，取BC的中点E，连接AE.()()()()，xyz.9(2016合肥模拟)已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，则c_.答案(3，2,2)解析因为ab，所以
16、，解得x2，y4，此时a(2,4,1)，b(2，4，1)，又因为bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)10(2016天津模拟)已知ABCDA1B1C1D1为正方体，()232；()0；向量与向量的夹角是60；正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|.其中正确的序号是_答案解析中，()222232，故正确；中，因为AB1A1C，故正确；中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60，但与的夹角为120，故不正确；中，|0，故也不正确*11.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则A1MD1P；A1M
17、B1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.以上正确说法的个数为_答案3解析，A1MD1P，由线面平行的判定定理可知，A1M平面DCC1D1，A1M平面D1PQB1.正确12.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)；(2)；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值解(1)设a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，ca，a，bc.(a)a2ac.(2)(ca)(bc)(bcabc2ac).(3)abacbabc，|2a2b2c2abbcca，则|.(4)bc，ba，cos，由于异
18、面直线所成角的范围是，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.*13.(2016沈阳模拟)如图，在直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D、E分别为AB、BB的中点(1)求证：CEAD；(2)求异面直线CE与AC所成角的余弦值(1)证明设a，b，c，根据题意得，|a|b|c|，且abbcca0，bc，cba.c2b20.，即CEAD.(2)解ac，|a|，|a|.(ac)c2|a|2，cos，.即异面直线CE与AC所成角的余弦值为.14.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，a，b，c，点M，N分别是A1D，B1D1的中点(1)试用a，b，c表示；(2)求证：MN平面ABB1A1.(1)解ca，(ca)同理，(bc)，(bc)(ca)(ba)ab.(2)证明ab，即MNAB1，AB1平面ABB1A1，MN平面ABB1A1，MN平面ABB1A1.