1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入深研高考备考导航为教师备课、授课提供丰富教学资源五年考情考点2016年2015年2014年2013年2012年平面向量的线性运算全国卷T7全国卷T13全国卷T10平面向量基本定理及坐标运算全国卷T7平面向量的数量积及其应用全国卷T13全国卷T3全国卷T3全国卷T5全国卷T15全国卷T3全国卷T13全国卷T13全国卷T13复数的相关概念及其运算全国卷T2全国卷T1全国卷T2全国卷T1全国卷T2全国卷T2全国卷T2全国卷T2全国卷T2全国卷T3重点关注1从近五年全国卷高考试题来看，平面向量与复数是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算，平面向量共线与垂直
2、的充要条件，平面向量的数量积及其应用，复数的有关概念及复数代数形式的四则运算，多以选择题、填空题的形式出现，难度较小2平面向量虽然有时也与其他知识渗透交汇命题，但平面向量仅起到穿针引线的载体作用3本章内容要注意数形结合思想的应用，向量具有“形”与“数”的两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁导学心语1透彻理解平面向量的有关概念及相应的运算法则是学好本章的基础(1)向量的几何运算侧重于“形”，坐标运算侧重于“数”，要善于将二者有机结合和转化(2)平面向量的数量积是高考的重点，要熟练掌握和运用2平面向量与其他知识的综合渗透充分体现了平面向量的载体作用平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，
3、强化应用3复数内容独立性较强，一般会以选择题形式单独命题，重点是代数运算，属容易题，因此切忌盲目拔高要求；重视“化虚为实”的思想方法第一节平面向量的概念及线性运算考纲传真1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义1向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的长度(或模)(2)零向量：长度为零的向量，其方向是任意的(3)单位向量：长度为单位1的向量(4)向量平行(或共线)：表示两个
4、向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线，规定零向量与任一向量平行(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量2向量的加法和减法(1)加法法则：服从三角形法则，平行四边形法则运算律：交换律abba；结合律(ab)ca(bc)(2)减法法则：减法与加法互为逆运算；服从三角形运算法则3实数与向量的积(1)实数与向量a的积是一个向量，记作a，规定：长度：|a|a|；方向：当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0，方向任意(2)运算律：设，R，则(a)()a；()aaa；(ab)ab.4向量共线的判定定理和性质定理(1)判
5、定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数，使得ba，则向量b与非零向量a共线(2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在一个实数，使得ba.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(2)若ab，bc，则ac.()(3)ab是ab(R)的充要条件()(4)ABC中，D是BC的中点，则()()答案(1)(2)(3)(4)2(2015全国卷)设D为ABC所在平面内一点，3，则()A.B.C.D.A().故选A.3(2017银川质检)设点P是ABC所在平面内一点，且2，则_.0因为2，由平行四边形法则知，点P为AC
6、的中点，故0.4(教材改编)已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且a，b，则_，_(用a，b表示)baab如图，ba，ab.5已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.【导学号：57962190】由已知得abk(b3a)，得平面向量的有关概念给出下列六个命题：若|a|b|，则ab或ab；若，则ABCD为平行四边形；若a与b同向，且|a|b|，则ab；，为实数，若ab，则a与b共线；a0(为实数)，则必为零；a，b为非零向量，ab的充要条件是|a|b|且ab.其中假命题的序号为_.【导学号：57962191】不正确|a|b|.但a，b的方向不确定，故a，b不一定是相等或
7、相反向量；不正确因为，A，B，C，D可能在同一直线上，所以ABCD不一定是平行四边形不正确两向量不能比较大小不正确当0时，a与b可以为任意向量，满足ab，但a与b不一定共线不正确当1，a0时，a0.不正确对于非零向量a，b，ab的充要条件是|a|b|且a，b同向规律方法1.(1)易忽视零向量这一特殊向量，误认为是正确的；(2)充分利用反例进行否定是对向量的有关概念题进行判定的行之有效的方法. 2(1)相等向量具有传递性，非零向量平行也具有传递性(2)共线向量(平行向量)和相等向量均与向量的起点无关3若a为非零向量，则是与a同向的单位向量，是与a反向的单位向量变式训练1设a0为单位向量，若a为平
8、面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0B1C2D3D向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.平面向量的线性运算(1)(2014全国卷)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A.B.C.D.(2)(2016广东广州模拟)在梯形ABCD中，ADBC，已知AD4，BC6，若mn(m，nR)，则()【导学号：5796219
9、2】A3BC.D3(1)C(2)A(1)如图，()2.(2)如图，过D作DEAB，mn，所以n，m1，所以3.故选A.规律方法向量的线性运算的求解方法(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解(2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解变式训练2(1)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()【导学号：57962193】A.
10、B2 C3D4(2)已知D为三角形ABC边BC的中点，点P满足0，则实数的值为_(1)D(2)2(1)因为M是AC和BD的中点，由平行四边形法则，得2，2，所以4.故选D.(2)因为D是BC的中点，则2.由0，得.又，所以点P是以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此22，所以2.共线向量定理的应用设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线解(1)证明：ab，2a8b，3(ab)，2分2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线.5分(2)kab和ak
11、b共线，存在实数，使kab(akb)，即kabakb，(k)a(k1)b.9分a，b是两个不共线的非零向量，kk10，k210，k1.12分规律方法共线向量定理的应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线(2)证明三点共线：若存在实数，使，则A，B，C三点共线(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值易错警示：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点变式训练3(1)已知向量a3b，5a3b，3a3b，则()【导学号：57962194】AA，B，C三点共线BA，B，D三点共线CA，C，D三点共线DB，C，D三点共线(2)(2015全国
12、卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.(1)B(2)(1)2a6b2(a3b)2，共线，又有公共点B，A，B，D三点共线故选B.(2)ab与a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得思想与方法1向量加法的三角形法则应注意“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则应注意“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则应注意“起点重合”2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线3对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，不共线，满足xy(x，yR)，则P，A，B共线xy1.易错与防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是向量的大小与方向；二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误3在向量共线的条件中易忽视“a0”，否则可能不存在，也可能有无数个