1、4数列在日常经济生活中的应用学习目标1.能够利用等差数列、等比数列解决一些实际问题(重、难点)；2.了解“零存整取”，“定期自动转存”及“分期付款”等日常经济行为的含义(重点).预习教材P3235完成下列问题：知识点常用公式(1)复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和SP(1r)n.(2)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y.(3)单利公式：利息按单利计算，本金为P元，每期利率为r，存期为n，则本利和为SP(1nr).【预习评价】1.现存入银行10 000元钱，年利率是3.60%，那么按照复利，第5年末的本利和是()A.10
2、 0001.0363 B.10 0001.0364C.10 0001.0365 D.10 0001.0366答案C2.某产品计划每年成本降低q%，若三年后成本为a元，则现在的成本是()A.a(1q%)3 B.a(1q%)3C. D.答案C题型一等差数列模型【例1】某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1 150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少钱？全部按期付清后，买这40套住房实际花了多少钱？解因购房时付150万元，则欠款1 000万元，依题意分
3、20次付款，则每次付款的数额顺次构成数列an.则a1501 0001%60，a250(1 00050)1%59.5，a350(1 000502)1%59，a450(1 000503)1%58.5，an501 00050(n1)1%60(n1)(1n20，nN).an是以60为首项，为公差的等差数列.a1060955.5.第10个月应付55.5(万元).a20601950.5.S20(a1a20)2010(6050.5)1 105.实际共付1 1051501 255(万元).规律方法按单利分期付款问题的三个关键问题(1)规定多少时间内付清全部款额.(2)在规定的时间内分几期付款，并且规定每期所付
4、款额相同.(3)规定多长时间段结算一次利息，及在规定时间段内利息的计算公式.【训练1】某人从1月起每月第一天存入100元，到12月最后一天取出全部本金和利息，已知月利率是0.165%，按单利计息，那么实际取出多少钱？解实际取出的钱等于：本金利息.到12月最后一天取款时：第一个月存款利息：100120.165%第二个月存款利息：100110.165%第11个月存款利息：10020.165%第12个月存款利息：10010.165%S12100120.165%100110.165%10020.165%10010.165%1000.165%(12312)1000.165%12.87.实际取出10012
5、12.871 212.87(元).【例2】某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2015年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2025年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？解设从2015年年初到2025年年初每年存入a元的本利和组成数列an(1n10).则a1a(1p)10，a2a(1p)9，a10a(1p)，故数列an(1n10)是以a1a(1p)10为首项，q为公比的等比数列.所以2025年初这个家庭应取出的钱数为S10(1p)11(1p)(元).【迁移1】若将题中的复利改为单利，结果是多少？解a1a(110p)，a2a(19p)，a3a(18p)，a1
6、0a(1p)S10a(110p)a(19p)a(1p)10aap10a55ap.【迁移2】若将复利改为单利并且按规定，存款利息要纳税20%，则结果为多少？解要将复利改为单利由“迁移1”知结果为10a55ap.由存款利息按20%纳税，则最后结果为10a55ap(120%)10a44ap.规律方法1.复利问题的计算方法复利问题可以转化为等比数列问题，第n年的本息本金(1利率)n.2.解决等比数列应用题的关键(1)认真审题抓特点，仔细观察找规律.(2)等比数列的特点是增加或减少的百分数相同.(3)分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考查.题型三等差、等比数列的综合应用【例3】某企业进行技术改
7、造，有两种方案：甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息.若银行两种形式的货款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？(取1.05101.629，1.31013.786，1.51057.665).解方案甲：十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为130%，前10项和为S101(130%)(130%)2(130%)9.所以S1042.62(万元).又贷款本息总数为10(15%)10101.051016.29(
8、万元)，甲方案净获利42.6216.2926.34(万元).乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为，前10项和为T10132.50(万元)，而贷款本息总数为1.11(15%)(15%)91.113.21(万元)，乙方案净获利32.5013.2119.29(万元).比较两方案可得甲方案获利较多.规律方法解决数列实际应用题，关键是读懂题意，从实际问题中提炼出问题的实质，分清是等差数列，还是等比数列，然后转化为数学问题解决.本题方案甲属等比数列模型，方案乙则属于等差数列模型.【训练2】某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元.该企业2016年年底分红
9、后的资金为1 000万元.(1)求该企业2020年年底分红后的资金.(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元.解设an为(2010n)年年底分红后的资金，其中nN，则a121 0005001 500，a221 5005002 500，an2an1500(n2).所以an5002(an1500)(n2)，即数列an500是首项为a15001 000，公比为2的等比数列.所以an5001 0002n1，所以an1 0002n1500.(1)a41 0002415008 500，所以该企业2020年年底分红后的资金为8 500万元.(2)由an32 500，即2n132，得n6
10、，所以该企业从2023年开始年底分红后的资金超过32 500万元.课堂达标1.某种细菌在培养过程中，每20 min分裂一次(一次分裂成两个)，经过3 h，这种细菌由1个可繁殖成()A.511个 B.512个C.1 023个 D.1 024个解析共进行了9次细胞分裂，可由一个繁殖29512(个).答案B2.某森林原有木材量为a m3，按每年以25%的增长，5年后，这片森林共有木材量()A.a(125%)5 B.a(125%)4C.4a D.a(125%)6解析森林中原有木材量为a，一年后为a(125%)，两年后为a(125%)2，五年后为a(125%)5.答案A3.某人存入银行1万元，年利率为p
11、%，若单利计算，五年后，连本带利全部取出，其取出_元.解析共取出10 00010 000p%510 000(15p%).答案10 000(15p%)4.已知数列an中，a1，点(1，0)在函数f(x)anx2an1x的图像上，则an_.解析由题意可知，anan10，ana1.答案5.有纯酒精a L(a1)，从中取出1 L，再用水加满，然后再取出1 L，再用水加满，如此反复进行，问第九次和第十次共取出多少纯酒精？解第一次取出纯酒精1 L，记为a11；加水后，浓度为1，所以第二次取出纯酒精1 L，记为a21；再加水后，浓度为，所以第三次取出纯酒精 1 L，记为a3；依次类推，第九次取出纯酒精；第十
12、次取出纯酒精.故第九次和第十次共取出纯酒精体积为L.课堂小结1.等差、等比数列的应用题常见于产量增减、价格升降、细胞繁殖、贷款利率、增长率等方面的问题，解决方案是建立数列模型，应用数列知识解决问题.2.银行存款中的单利是等差数列模型，本利和公式为SP(1nr)；复利是等比数列模型，本利和公式为SP(1r)n.(其中P为本金，r为利率，n为期数)3.等额本息分期付款是等比数列求和问题；等额本金分期付款是等差数列求和问题.基础过关1.在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限的两个点，若1，x1，x2，4依次成等差数列，而1，y1，y2，8依次成等比数列，则OP
13、1P2的面积是()A.1 B.2C.3 D.4解析根据等差、等比数列的性质，可知x12，x23，y12，y24，P1(2，2)，P2(3，4).SOP1P21.答案A2.某工厂生产总值连续两年的年平均增长率依次为p%，q%，则这两年的平均增长率是()A. B.p%q%C. D.1解析设该工厂最初的产值为1，经过两年的平均增长率为r，则(1p%)(1q%)(1r)2.于是r1.答案D3.一个蜂巢里有1只蜜蜂.第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中共有蜜蜂的只数是()A.55 986 B.46 65
14、6C.216 D.36解析第一天：a1156，第二天：a266566，第三天：a3665a25a2663，第6天，a66646 656.答案B4.据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b，2012年产生的垃圾量为a吨.由此可知，该区下一年的垃圾量为_吨，2017年的垃圾量为_吨.解析由于每年的垃圾量增长率为b，因而年垃圾量依次组成等比数列，故分别填a(1b)，a(1b)5.答案a(1b)a(1b)55.某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN)等于_.解析设每天植树的棵数组成的数列为an，由题意可知它是等比数列，且首项为2
15、，公比为2，所以由题意可得100，即2n51，而2532，2664，nN，所以n6.答案66.一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比下面一层多放1支，最上面一层放了120支，求这个V形架上共放了多少支铅笔？解由题可知，该V形架中每层所放的铅笔数由下向上依次成等差数列，其中a11，d1，an120，又ana1(n1)dn，n120.Sn7 260.这个V形架上共放了7 260支铅笔.7.假设某市2016年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50
16、万平方米.那么，到哪一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2016年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?解(1)设中低价房的面积形成数列an，由题意可知an是等差数列，其中a1250，d50，则Sn250n5025n2225n.令25n2225n4 750，即n29n1900，解得：n19或n10.而n是正整数，n10.故到2025年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.(2)设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1400，q1.08，则bn400(1.
17、08)n1.由题意可知an0.85bn，即250(n1)50400(1.08)n10.85.借助计算器解得满足上述不等式的最小正整数n6.故到2021年底，当年建造的中低价房面积占该年建造住房的面积的比例首次大于85%.能力提升8.根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始n个月内累计的需求量Sn(万件)近似地满足Sn(21nn25)(n1，2，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是()A.5月、6月 B.6月、7月C.7月、8月 D.8月、9月解析Sn(21nn25)(21n2n35n)，由anSnSn1，得anSnSn1(21n2n35n)21(n1)2(n1)35(
18、n1)21(2n1)(n2n2nn22n1)5(3n245n27)，令an1.5，解得6n9，所以n7，8.答案C9.夏季高山上气温从山脚起每升高100 m就会降低0.7 ，已知山顶气温为14.1 ，山脚气温是26 ，那么此山相对于山脚的高度是()A.1 500 m B.1 600 mC.1 700 m D.1 800 m解析由题意知气温值的变化构成了以26 为首项，公差为0.7 的等差数列，记此数列为an，a126 ，d0.7 ，14.126(n1)(0.7)，解得n18，此山相对于山脚的高度为100(181)1 700(m).答案C10.某单位拿出一定的经费奖励科研人员，第一名得全部资金的
19、一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得剩下的一半多一万元，到第6名恰好将资金分完，则需要拿出资金_万元.解析设全部资金和每次发放后资金的剩余额组成一个数列an，则a1为全部资金，第一名领走资金后剩a2，a2a11，依次类推，an1an1，an12(an2).an2是一个等比数列，公比为，首项为a12.an2(a12)，an(a12)2.第6名领走资金后剩余为a7(a12)20.a1126，即全部资金为126万元.答案12611.某企业在今年年初贷款a万元，年利率为，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，以复利计算，则每年应偿还_万元.解析设每年偿还x万元，第一年的年
20、末偿还x万元后剩余的贷款为a(1)x，第二年的年末偿还x万元后剩余的贷款为a(1)x(1)xa(1)2x(1)x，第五年的年末偿还x万元后剩余的贷款为a(1)5x(1)4x(1)3x，由于第5年还清，所以xx(1)x(1)2x(1)3x(1)4a(1)5，x.答案12.购买一件售价为5 000元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付款一次，如此下去，到第12次付款后全部付清.如果月利率为0.8%，每月利息按复利计算(上月利息计入下月本金)，那么每期应付款多少元？(精确到1元，1.008111.092，1.008121.100)解设每期应付款x元，则第1个
21、月付款x元后，剩余的钱数为5 000(18%)x，第2个月付款x元后剩余的钱数为5 000(18%)x(18%)x5 000(18%)2x(18%)x，第12个月付款x元后剩余的钱数为5 000(18%)12x(18%)11x(18%)10x，由于第12个月付款后全部付清，所以xx(18%)x(18%)115 000(18%)12，所以x5 0001.00812，所以x440元，即每期应付款440元.13.(选做题)一种设备的价值为a元，设备维修和消耗费用第一年为b元，以后每年增加b元，用t表示设备使用的年数，且设备年平均维修和消耗费用与设备年平均价值费用之和为y元，当a450 000，b1 000时，求这种设备的最佳更新年限(使年平均费用最低的时间t).解由题意知，设备维修和消耗费用构成以b为首项，b为公差的等差数列，因此年平均维修和消耗费用为(t1)元.年平均价值费用为元，于是有yt500500.对于函数(t)t，可以证明当0t30时，(t)为减函数；当t30时，(t)为增函数.所以当t30时，(t)有最小值，即y取得最小值.所以当t30时，年平均费用最低.答：这种设备的最佳更新年限是30年.
