1、模块综合测评(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1关于空间直角坐标系Oxyz中的一点P(1,2,3)有下列说法：OP的中点坐标为；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，2，3)；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2，3)；点P关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2，3)其中正确说法的个数是()A2B3C4D1A显然正确；点P关于x轴对称的点的坐标为(1，2，3)，故错；点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1，2，3)，故错；显然正确2直线的方程为xy2 0180，则直线的倾斜角为()A30
2、 B60 C120 D150A设直线的倾斜角为，则tan ，又0，180)，30.选A.3直线axy2a0与圆x2y29的位置关系是()【导学号：90662274】A相离 B相切 C相交 D不确定C将直线axy2a0化为点斜式得ya(x2)，知该直线过定点(2,0)又(2)2029，故该定点在圆x2y29的内部，所以直线axy2a0与圆x2y29必相交故选C.4若(x，y)|ax2y10(x，y)|x(a1)y10，则a等于()A. B2C1 D2或1B依题意，两直线平行由a(a1)210，得a2a20，a2或1.又当a1时，两直线重合，故选B.5如图1所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中
3、，P为BD上任意一点，则一定有()图1APC1与AA1异面BPC1与A1A垂直CPC1与平面AB1D1相交DPC1与平面AB1D1平行D连BC1和DC1(图略)，BDB1D1，AB1DC1，平面AB1D1平面C1BD，而PC1平面C1BD，PC1平面AB1D1.选D.6直线2axy20与直线x(a1)y20互相垂直，则这两条直线的交点坐标为()A. B.C. D.C依题意得，2a11(a1)0，a1，代入方程可得解得交点坐标为.选C.7在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为()【导学号：90662275】A8 B6 C8 D8
4、C连接BC1，因为AB平面BB1C1C，所以AC1B30，ABBC1，所以ABC1为直角三角形又AB2，所以BC12.又B1C12，所以BB12，故该长方体的体积V2228.8一个动点在圆x2y21上移动时，它与定点(3,0)连线中点的轨迹方程是()A(x3)2y24 B(x3)2y21C.2y2 D(2x3)24y21D设中点M(x，y)，则动点A(2x3,2y)，A在圆x2y21上，(2x3)2(2y)21，即(2x3)24y21.故选D.9已知定点P(2,0)和直线l：(13)x(12)y25(R)，则点P到直线l的距离的最大值为()A2 B. C. D2B将(13)x(12)y25变形
5、，得(xy2)(3x2y5)0，所以l经过两直线xy20和3x2y50的交点设两直线的交点为Q，由得交点Q(1,1)，所以直线l恒过定点Q(1，1)，于是点P到直线l的距离d|PQ|，即点P到直线l的距离的最大值为.10球O的一个截面圆的圆心为M，圆M的半径为，OM的长度为球O的半径的一半，则球O的表面积为()A4 B. C12 D16D设截面圆的直径为AB，截面圆的半径为，BM，OM的长度为球O的半径的一半，OB2OM，设球的半径为R，在直角三角形OMB中，R2()2R2.解得R24，该球的表面积为16，故选D.11正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB、B1C的中点，则EF与平
6、面ABCD所成的角的正切值为()图3A2 B.C. D.D取BC中点O，连接OE，F是B1C的中点，OFB1B，FO平面ABCD，FEO是EF与平面ABCD所成的角，设正方体的棱长为2，则FO1，EO，EF与平面ABCD所成的角的正切值为.故选D.12过直线y2x上一点P作圆M: (x3)2(y2)2的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y2x对称时，则APB等于()【导学号：90662276】A30 B45C60 D90C连接PM、AM，可得当切线l1，l2关于直线l对称时，直线lPM，且射线PM恰好是APB的平分线，圆M的方程为(x3)2(y2)2，点M坐标为(3,
7、2), 半径r，点M到直线l：2xy0的距离为PM，由PA切圆M于A，得RtPAM中，sinAPM，得APM30，APB2APM60.故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13ABC中，已知A(2, 1)，B(2,3)，C(0,1)，则BC边上的中线所在的直线的一般式方程为_【导学号：90662277】x3y50线段BC的中点D(1,2)可得BC边上的中线所在的直线的方程：y1(x2)，一般式方程为x3y50.故答案为：x3y50.14已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30.若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_解析由题意
8、画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高设圆锥的母线长为l，则由SASB，SAB的面积为8，得l28，得l4.在RtASO中，由题意知SAO30，所以SOl2，AOl2.故该圆锥的体积VAO2SO(2)228.答案815已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为，则正方体的棱长为_.【导学号：90662278】解析设正方体的棱长为x，其外接球的半径为R，则由球的体积为，得R3，解得R.由2Rx，得x.答案16若曲线C1：y1与曲线C2：(y1)(ykx2k)0有四个不同的交点，则实数k的取值范围为_图3解析由y1得(x1)2(y1)21(y1)，曲线C1表示以
9、(1,1)为圆心以1为半径的上半圆，显然直线y1与曲线C1有两个交点，交点为半圆的两个端点直线ykx2kk(x2)与半圆有2个除端点外的交点，当直线yk(x2)经过点(0,1)时，k，当直线yk(x2)与半圆相切时，1，解得k或k0(舍)，当k时，直线yk(x2)与半圆有2个除端点外的交点答案三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知三角形ABC的顶点坐标为A(1，5)、B(2，1)、C(4,3)，M是BC边上的中点(1)求AB边所在的直线方程；(2)求中线AM的长.【导学号：90662279】解(1)由两点式得方程为，即6xy11
10、0.或直线AB的斜率为k6，直线AB的方程为y56(x1)，即6xy110.(2)设M的坐标为(x0，y0), 则由中点坐标公式得x01，y01，故M(1,1)，AM2.18(本小题满分12分)如图4，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，ABBCAD，BADABC90.图4(1)证明：直线BC平面PAD；(2)若PCD的面积为2，求四棱锥PABCD的体积解(1)证明：在平面ABCD内，因为BADABC90，所以BCAD.又BC平面PAD，AD平面PAD，故BC平面PAD.(2)如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由ABBCAD及BCAD，ABC90得四边形ABCM
11、为正方形，则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以PMAD，PM底面ABCD.因为CM底面ABCD，所以PMCM.设BCx，则CMx，CDx，PMx，PCPD2x.如图，取CD的中点N，连接PN，则PNCD，所以PNx.因为PCD的面积为2，所以xx2.解得x2(舍去)或x2.于是ABBC2，AD4，PM2.所以四棱锥PABCD的体积V24.19(本小题满分12分)在ABC中，点B(4,4)，角A的内角平分线所在直线的方程为y0，BC边上的高所在直线的方程为x2y20.(1)求点C的坐标；(2)求ABC的面积解(1)由题意知BC的斜率为2，又
12、点B(4,4)，直线BC的方程为y42(x4)，即2xy120.解方程组得点A的坐标为(2,0)又A的内角平分线所在直线的方程为y0，点B(4,4)关于直线y0的对称点B(4，4)在直线AC上，直线AC的方程为y(x2)，即2x3y40.解方程组得点C的坐标为(10，8)(2)|BC|6，又直线BC的方程是2xy120，点A到直线BC的距离是d，ABC的面积是S|BC|d648.20(本小题满分12分)如图5所示，在RtABC中，已知A(2，0)，直角顶点B(0，2)，点C在x轴上图5(1)求RtABC外接圆的方程；(2)求过点(0,3)且与RtABC外接圆相切的直线的方程.【导学号：9066
13、2280】解(1)由题意可知点C在x轴的正半轴上，可设其坐标为(a,0)(a0)，又ABBC，则kABkBC1，即1，解得a4.则所求圆的圆心为(1,0)，半径为3，故所求圆的方程为(x1)2y29.(2)由题意知直线的斜率存在，故设所求直线方程为ykx3，即kxy30.当圆与直线相切时，有d3，解得k0或k，故所求直线方程为y3或yx3，即y30或3x4y120.21(本小题满分12分)如图6，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABCA1B1C1中，AB4，ACBC3，D为AB的中点图6(1)求点C到平面A1ABB1的距离；(2)若AB1A1C，求二面角A1CDC1的平面角的余弦值解(1)由
14、ACBC，D为AB的中点，得CDAB，又CDAA1，故CD平面A1ABB1，所以点C到平面A1ABB1的距离为CD.(2)如图，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1AA1CC1.又由(1)知CD平面A1ABB1，故CDA1D，CDDD1，所以A1DD1为所求的二面角A1CDC1的平面角因为CD平面A1ABB1，AB1平面A1ABB1，所以AB1CD，又AB1A1C，A1CCDC，所以AB1平面A1CD，故AB1A1D，从而A1AB1，A1DA都与B1AB互余，因此A1AB1A1DA，所以RtA1ADRtB1A1A.因此，即A1A2ADA1B18，得A1A2.从而A1D2.所以，在RtA1D1D中，cosA1DD1.22(本小题满分12分)已知点A(3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：xy30上，直线l经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值.【导学号：90662281】解(1)设点P的坐标为(x，y)，则2，化简可得(x5)2y216，此即为所求(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图，则直线l是此圆的切线，连接CQ，则|QM|.当CQl1时，|CQ|取最小值，|CQ|4，|QM|最小4.