1、33函数的应用(一)内容标准学科素养初步体会分段函数、一次函数、二次函数等函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题.数学运算数学建模授课提示：对应学生用书第57页教材提炼知识点一一次函数模型形如ykxb的函数为一次函数模型，其中k0.知识点二二次函数模型1一般式：yax2bxc(a0)2顶点式：ya(xm)2n(a0)3两点式：ya(xm)(xn)(a0)自主检测1某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y5x4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为()A200副B400副C600副D800副解析：由5x4 00010x，解
2、得x800，即日产手套至少800副时才不亏本答案：D2拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)1.06(0.50m1)，其中m0，m是大于或等于m的最小整数(如33，3.74，5.16)则从甲到乙地通话时间为5.5分钟的通话费为()A3.71B3.97C4.24D4.77解析：f(5.5)1.06(0.55.51)1.06(0.5061)1.0644.24.答案：C3某广告公司要为客户设计一幅周长为l(单位：m)的矩形广告牌，当矩形的长为_，广告牌的面积最大答案：授课提示：对应学生用书第57页探究一一次函数模型例1为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的
3、“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜解析(1)由图像可设y1k1x29，y2k2x，把点B(30,35)，C(30,15)分别代入y1k1x29，y2k2x，得k1，k2.y1x29(x0)，y2x(x0)(2)令y1y2，即x29x，则x96.当x96时，y1y2，两种卡收费一致；当x96时，y1y2，使用便民卡便宜；当x96时，y1y2，使用如意卡便宜1.一次函数模型解决实际问题的原则一次函数模型的应用层次要求不高，一般情况
4、下按照“问什么，设什么，列什么”的原则来处理，求解过程也比较简单2一次函数模型解决问题的注意点用一次函数模型解决实际问题时，对于给出图像的应用题可先结合图像利用待定系数法求出解析式对于一次函数yaxb(a0)，当a0时为增函数，当a0时为减函数另外，要结合题目理解(0，b)或这些特殊点的意义.江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称甲、乙两家农贸商店，平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾，“龙虾节”期间，甲、乙两家商店都让利酬宾，付款金额y甲，y乙(单位：元)与原价x(单位：元)之间的函数关系如图所示：(1)直接写出y甲，y乙关于x的函数关系式(2)“龙虾节”期间，如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾
5、更省钱？解析：(1)设y甲kx，把(2 000,1 600)代入，得2 000k1 600，解得k0.8，所以y甲0.8x；当0x2 000时，设y乙ax，把(2 000,2 000)代入，得2 000a2 000，解得a1，所以y乙x；当x2 000时，设y乙mxn，把(2 000，2 000)，(4 000,3 400)代入，得解得所以y乙(2)当0x2 000时，0.8xx，到甲商店购买更省钱；当x2 000时，若到甲商店购买更省钱，则0.8x0.7x600，解得x6 000；若到乙商店购买更省钱，则0.8x0.7x600，解得x6 000；若到甲、乙两商店购买一样省钱，则0.8x0.7
6、x600，解得x6 000；故当购买金额按原价小于6 000元时，到甲商店购买更省钱；当购买金额按原价大于6 000元时，到乙商店购买更省钱；当购买金额按原价等于6 000元时，到甲、乙两商店购买花钱一样探究二二次函数模型例2在经济学中，函数f(x)的边际函数定义为M(x)f(x1)f(x)，利润函数P(x)的边际利润函数定义为M1(x)P(x1)P(x)，某公司最多生产100台报警系统装置，生产x台的收入函数为R(x)3 000x20x2(单位：元)其成本函数为C(x)500x4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差(1)求利润函数P(x)及边际利润函数M1(x)；(2)利润函数P(x)
7、与边际利润函数M1(x)是否具有相等的最大值？(3)你认为本题中边际利润函数M1(x)取最大值的实际意义是什么？解析(1)P(x)R(x)C(x)(3 000x20x2)(500x4 000)20x22 500x4 000(1x100，xN)M1(x)P(x1)P(x)2 48040x(1x100，xN)(2)P(x)20(x)274 125，当x62或63时，P(x)min74 120.又M1(x)是减函数，当x1时M1(x)max2 440，故P(x)与M1(x)不具有相等的最大值(3)边际利润函数M1(x)当x1时取最大值，说明生产第2台与生产第1台的总利润差最大，即第2台报警系统利润最
8、大，M1(x)是减函数，说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润相比较，利润在减少幂函数模型中最常见的是二次函数模型，这种函数模型在生产、生活中应用相当广泛利用二次函数求最值时，应特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符根据实际问题建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题某工厂生产一种机器的固定成本为5 000元，且每生产100部，需要增加投入2 500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为H(x)500xx2，其中x是产品销售出的数量(0x500)
9、(1)若x为年产量，y表示利润，求yf(x)的解析式；(2)当年产量为何值时，工厂的年利润最大？其最大值是多少？(3)当年产量为何值时，工厂有盈利？(已知4.65)解析：(1)当0x500时，产品全部售出，y500xx2(5 00025x)，即yx2475x5 000，当x500时，产品只能售出500台，y5005005002(5 00025x)，即y25x120 000.(2)当0x500时，y(x475)2107 812.5，当x500时，y120 00025x5 000，475xx25 000，整理得x2950x10 0000，解得10x940，市场需求量为每年500部，10400时，f
10、(x)60 000100x是减函数，f(x)60 00010040025 000.当x300时，f(x)的最大值为25 000.即每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25 000元构建分段函数模型的关键点建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，写出每一对应取值区间内的解析式，在此区间内求最值，然后对所有区间求出的值比较，找出适合题意的答案某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元(1)当一次订购量为多少
11、个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数Pf(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个时，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本)解析：(1)设每个零件的实际出厂单价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0100550.因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元(2)当0x100时，P60.当100x550时，P600.02(x100)62.当x550时，P51，Pf(x)(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则
12、L(P40)x当x500时，L6 000；当x1 000时，L11 000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6 000元；如果订购1 000个时，利润是11 000元授课提示：对应学生用书第59页一、图表并用，数学建模拟合函数的建立问题定量分析和研究实际问题时，要深入调查，研究、了解对象信息，作出简化假设，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子(也就是数学模型)，然后计算得到模型的结果，并进行检验，最后解释实际问题，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，选出最恰当的函数模型的过程，称
13、为函数拟合(或数据拟合)建立拟合函数模型的步骤：(1)收集数据(2)根据收集到的数据，在平面直角坐标系内画出散点图(3)根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型(4)选择其中的几组数据求出函数模型(5)将已知数据代入所求出的函数模型中进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则返回步骤；若符合实际，则进入下一步(6)用所得函数模型解释实际问题典例为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/hm2115.228.6210.421.1321.24
14、0.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的图像；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型yf(x)，并画出图像；(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？解析(1)描点作图如图甲：(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型yaxb.取其中的两组数据(10.4,21.1)(24.0,45.8)，代入yaxb，得用计算器可算得a1.8，b2
15、.4.这样，我们得到一个函数模型y1.8x2.4.作出函数图像如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系(3)由y1.8252.4，求得y47.4，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4 hm2.二、忽视实际意义的限制致错典例甲、乙两地相距s km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c km/h，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(km/h)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(km/h)的函数，并指出函数的定义域；(2)为
16、了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？解析(1)由关系式：运输总成本每小时运输成本时间，得y(abv2)，所以全程运输成本y(元)，表示为速度v(km/h)的函数关系式是ys，v(0，c(2)整理函数，得ysbs，由函数yx(k0)的单调性，得当c时，则v时，y取最小值；当c时，则vc时，y取最小值综上所述，为使全程成本y最小，当c时，行驶速度应为v；当c时，行驶速度应为vc.纠错心得此题易错解为(1)由关系式：运输总成本每小时运输成本时间，得y(abv2)，所以全程运输成本y(元)关于速度v(km/h)的函数关系式为ys，v(0，c(2)整理函数，得ysbs，由于v2，当且仅当v，即v时取最小值该解法中忽略了速度不得超过c km/h这个限制条件在解应用题时要注意定义域的限制，对问题的解要注意它是否具有实际意义.
