1、高考热点追踪(三)交汇性试题，向来是高考试题中最为亮丽的风景线，这类问题着重考查观察发现，类比转化以及运用数学知识分析和解决数学问题的能力下面举例说明数列的交汇性运用，请同学们赏析一、数列与几何图形交汇 (2019南通模拟)如图是一个面积为1的三角形，现进行如下操作第一次操作：分别连结这个三角形三边的中点，构成4个三角形，挖去中间一个三角形(如图中阴影部分所示)，并在挖去的三角形上贴上数字标签“1”；第二次操作：连结剩余的三个三角形三边的中点，再挖去各自中间的三角形 (如图中阴影部分所示)，同时在挖去的3个三角形上都贴上数字标签“2”；第三次操作： 连结剩余的各三角形三边的中点，再挖去各自中间
2、的三角形，同时在挖去的三角形上都贴上数字标签“3”；，如此下去记第n次操作后剩余图形的总面积为an(1)求a1、a2；(2)欲使剩余图形的总面积不足原三角形面积的，问至少经过多少次操作？(3)求第n次操作后，挖去的所有三角形上所贴标签上的数字和Sn【解】(1)a1，a2(2)因为an是以为首项，以为公比的等比数列，所以an由，得3n40，3241，3342，3443，3544，所以当n5时，0且函数g(x)的图象与直线y交点的横坐标由小到大依次是x1，x2，xn，求数列xn的前100项和【解】f(x)sincossinsin 2x(1)函数f(x)的最小正周期T令2k2x2k，kZ，得kxk，
3、kZ，所以函数f(x)的单调递减区间为，kZ(2)法一：因为g(x)f，所以g(x)sin x，x0由sin x，x0，得x2k，kN或x2k，kN，所以x1x2x99x100(x1x3x5x99)(x2x4x6x100)4 950法二：因为g(x)f，所以g(x)sin x，x0由正弦函数的对称性、周期性，可知，2，4，98，所以x1x2x99x10051931974 950名师点评高考试题力求以角度新、情境新、设问方式新的形式呈现提高难度主要在于“新”，而不在“难”，“新”本身就已蕴涵“难”把“新”作为关键，能够考查思维的灵活性和创造性，体现高考的选拔功能，本题很好地体现了这一特征三、数列
4、与向量交汇 (2019南京四校第一学期联考)已知向量a(x，1)，b(xy，xy)，若ab，yf(x)(1)求f(x)的表达式；(2)已知各项都为正数的数列an满足a1，a2anf(an)(nN*)，求数列an的通项公式；(3)在(2)的条件下，设bn1，Sn为数列bn的前n项和，求使Sn成立的n的最小值【解】(1)由ab，得x2y(1)(xy)0，所以y，则f(x)的表达式为f(x)(2)由(1)知f(x)，所以a2anf(an)2an，因此，所以1又19180，所以数列是以8为首项，为公比的等比数列，则1824n又an0，所以an，则数列an的通项公式为an(3)由(2)知数列是以8为首项
5、，为公比的等比数列，而bn1，所以数列bn是以8为首项，为公比的等比数列，因此数列bn的前n项和Sn16又Sn，所以16，则，所以n7所以正整数n的最小值为8名师点评 由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，因此在向量与数列交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个亮点 数列an，bn都是等差数列，它们的前n项和分别为Sn，Tn，如果，求的值考查目标：(1)等差数列基本量的运算；(2)等差数列性质的运用；(3)相关的数学思想：如转化化归思想，函数与方程思想等解法探究：法一：利用方程的思想，寻找a1，b1，d，d的关系因为2，所以a12b1，
6、db1，db1，所以一般地，法二：利用前n项和的函数特征由题意知两等差数列的公差均不为0，由于SnAn2Bn，Sn是关于n的二次函数且没有常数项，因此可根据题意将其设为Snkn(5n13)5kn213kn，Tnkn(4n5)4kn25kn(k是常数)，因为anSnSn1k(5n213n)k5(n1)213(n1)k(10n8)bnTnTn1k(4n25n)k4(n1)25(n1)k(8n1)所以，所以法三：利用性质，从一般到特殊(nN*)，所以方法提炼与启示性质1若an是等差数列， 它的前n项和为Sn，则证明：性质2若an是等差数列，它的前n项和为Sn，则证明：例题变式若an是等差数列，且，
7、求解 法一 ：利用性质1，得法二：利用性质2，得设k，a12k(k0)，则a1k，d2k所以1在数列an中，an2n229n3，则此数列最大项的值是_解析 根据题意并结合二次函数的性质可得：an2n229n32323，所以n7时，an取得最大值，最大项a7的值为108答案 1082(2019南京、盐城高三模拟)设公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn若S3a，且S1，S2，S4成等比数列，则a10等于_解析 设等差数列an的公差为d(d0)，由S3a得3a2a，a20或3又由S1，S2，S4成等比数列可得SS1S4若a20，则S1S2a10S2S4a1，a2a3a43a30，a30，则d0，
8、故a20舍去；若a23，则S13d，S26d，S4122d，(6d)2(3d)(122d)(d0)，得d2，此时a10a28d19答案 193已知log3x，则xx2x3xn_解析 由log3xlog3xlog32x由等比数列求和公式得xx2x3xn1答案 14(2019淮阴质检改编)已知数列an满足an1，且a1，则该数列的前2 016项的和为_解析 因为a1，又an1，所以a21，从而a3，a41，即得an故数列的前2 016项的和等于S2 0161 0081 512答案 1 5125(2019盐城市高三第三次模拟考试)已知正项数列an满足an11，其中nN*，a42，则a2 019_解析
9、 an11，所以n2时，an1，两式相减得an1an(n2)，所以aa1(n2)，aa(2 0194)12 019，所以a2 019答案 6已知数列an满足an，则数列的前n项和为_解析 an，4，所求的前n项和为44答案 7秋末冬初，流感盛行某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列an，已知a11，a22，且an2an1(1)n(nN*)，则该医院30天入院治疗甲流的人数为_解析 由于an2an1(1)n，所以a1a3a291，a2，a4，a30构成公差为2的等差数列，所以a1a2a29a30151522255答案 2558(2019辽宁五校协作体联考)在数列an中，a11，an2(
10、1)nan1，记Sn是数列an的前n项和，则S60_解析 依题意得，当n是奇数时，an2an1，即数列an中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a1a3a5a593011465；当n是偶数时，an2an1，即数列an中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a2a4a6a8a58a60(a2a4)(a6a8)(a58a60)15因此，该数列的前60项和S6046515480答案 4809(2019苏锡常镇四市高三调研)设公差为d(d为奇数，且d1)的等差数列an的前n项和为Sn，若Sm19，Sm0，其中m3，且mN*，则an_解析 由条件得(m1)a1d9，ma1d0，消去a1得，整理得(m
11、1)d18，因为d为奇数，且d1，m3，mN*，故d3，m7，从而a19，故an3n12答案 3n1210(2019高三年级第一次模拟考试)若数列an满足a10，a4n1a4n2a4n2a4n33，其中nN*，且对任意nN*都有anm成立，则m的最小值为_解析 在a4n1a4n2a4n2a4n33中令n1，得a3a2a2a13，因为a10，所以a23，a36又，所以a4a33由a4n1a4n2a4n2a4n33得a4n3a4n2a4n2a4n13，又由已知得a4n1a4n，所以a4n2a4n3，所以a4n3a4n23a4n6，a4n4a4n3a4n3，所以a4n44(a4n4)，所以a4n4是
12、首项为1，公比为的等比数列，所以a4n44，a4n12a4n88，a4n2a4n1355，a4n3a4n2322综上，an8，因为对任意nN*都有an0，则b1，c1，则Pnb12b23b3nbn设S，则S，两式相减得S所以S0因为Qnc12c23c3ncnS0，所以PnQn14(2019苏锡常镇四市高三调研) 已知首项为1的正项数列an满足aaan1an，nN*(1)若a2，a3x，a44，求x的取值范围；(2)设数列an是公比为q的等比数列，Sn为数列an前n项的和，若SnSn12Sn，nN*，求q的取值范围；(3)若a1，a2，ak(k3)成等差数列，且a1a2ak120，求正整数k的最
13、小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，ak(k3)的公差解 (1)由题意得，anan12an，所以x3，42x，得x(2，3)(2)因为anan12an，且数列an是等比数列，a11，所以qn1qn2qn1，所以所以q又SnSn12Sn，而当q1时，S22S1，不满足题意；当q1时，2，当q时，即得q，当q(1，2)时，即无解，所以q(3)设数列a1，a2，ak的公差为d，因为anan12an，且数列a1，a2，ak成等差数列，a11，所以1(n1)d1nd21(n1)d，n1，2，k1所以所以d因为a1a2ak120，所以Skk2kk2k120，所以d，所以，得k(15，239)，kN*所以k的最小值为16，此时公差d