1、空间向量及运算（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的4个选项中，只有1项是符合题目要求的。）1在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设 ，则x+y+z等于（ ） A1 B C D2已知A（1,2,-1）关于面xoy的对称点为B，而B关于x轴对称的点为C，则 （ ） A（0,4,2） B(0,-4,-2) C（0,4,0） D（2,0,-2）3已知向量a=（1,1,0）,b=（-1,0,2），且ka+b与2a-b互相垂直，则k等于 （ ） A B C1 D24设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足 则B、C、D三点构成（ ）. A直角三角形 B锐角三角形
2、C钝角三角形 D形状不确定5若向量 的起点与终点M、A、B、C互不重合且无三线共点，且满足下列关系（O是空间任一点），则能使向量成为空间一组基底的关系是 （ ）A B C D6已知a=(cos,1,sin),b=(sin,1,cos),且sincos,则向量a+b与a-b的夹角是（ ） A0 B30 C60 D907已知p=(x,y,z),q=(a,b,c),(xyz0,abc0)，若有等式(x2+y2+z2)(a2+b2+c2)=(ax+by+cz)2成立，则p、q之间的关系是( ） A平行 B垂直 C相交 D以上都可能8已知a、b为异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb，且AB=2，
3、CD=1，则a与b所成的角是 （ ） A30 B45 C60 D909已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在 ，N为BB1的中点，则线段MN的长为 （ ） A B C D10设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),若|a|=5,|b|=6,ab=30,则的值为 （ ） A1 B C D11已知向是a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), c=(c1,c2,c3),则下列命题中恒成立的是 （ ） A若ab,则a=b B若ba,bc,且a,c共面，则bC（ab）c=a(bc) D|a|-|b|ab|a|+|b|12在四面体OABC中，点M在OA上，且OM=2
4、MA，N为BC中点，若 则使G与M，N共线的x的一个值为 （ ）A1 B2 C D二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。）13若向量x与向量a=(2,-1,2)共线，且ax=-18，则|x|= 。14已知G是ABC的重心，O是空间与G不重合的任一点，若 则= 。15平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB=1，AD=2，AA1=3，BAD=90，BAA1=DAA1=60，则AC1的长为 。16已知非零向量b1,b2满足b=b1+b2,且b1a,b2a,若a=(1,1,0),b=(1,1,1),则向量b2= 。三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答时应
5、写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17（本小题满分12分）如图，BC=2，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面yoz上，且BDC=90，DCB=30。（1）求向量的坐标；（2）求异面直线AD与BC所成角的大小。18（本小题满分12分）已知a，b是非零的空间向量，t是实数，设u=a+tb。 （1）当|u|取得最小值时，求实数t 的值； （2）当|u|取得最小值时，求证：b(a+tb)19（本小题满分12分）如图，已知四面体OABC中，E、F分别为AB，OC上的点，且AE= F为中点，若AB=3，BC=1，BO=2，且ABC=90，OBA=OBC=60，求异面直线OE与BF所成的角的大小
6、。20（本小题满分12分）已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，P，Q分别是BC，CD上的动点，且|PQ|= ，建立如图所示的直角坐标系。（1）确定P，Q的位置，使得B1QD1P； （2）当B1QD1P时，求二面角C1PQC的大小。21（本小题满分12分）如图，正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都是2，M是BC的中点，P是侧棱BB1上一点，且A1PB1M。（1）试求A1P与平面APC所成角的大小；（2）求点A1到平面APC的距离。22（本小题满分14分）如图，已知向量 可构成空间向量的一组基底，若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), c=(c1,c2,c3),在向量已有
7、的运算法则基础上，新定义一种运算ab=(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1).显然ab的结果仍为一向量，记作p.1）求证：向量p为平面OAB的法向量；（2）求证：以OA，OB为边的平行四边形OADB面积等于|ab|;（3）将到四边形OADB按向量平移，得到一个平行六面体OADBCA1D1B1，试判断平行六面体的体积V与|(ab)c|的大小。空间向量及运算1D 2B 3A 4B 5C 6D 7A 8C 9B 10D 11D 12A136 143 15 16（0,0,1）17过D作DEBC于E，则DE=CDsin30= ,OE=OB-BDcos60=。D的坐标为（0， ，
8、），又C（0，1，0），（2）依题设有A点坐标为A 。故异面直线AD与BC所成角为 18（1）|u|取最小值。（2）19 又故异面直线OE与BF所成的角为20（1）设BP=t，则 B1（2，0，2），D1（0，2，2），P（2，t，0），Q又 由此解得t=1，即P、Q分别是中点时，B1QD1P。（2）由（1）知PQBD,且ACPQ，设ACPQ=E，连C1E， 先求CEC1，后求所求二面角的大小，可得所求角为21建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A1（2，0，0），B1 由A1PB1M知即点P的坐标为 。（1）设平面APC的法向量为n=(x,y,z),由取z= -1，则有n=，方向指向平面APC的左下方，又。设直线A1P与平面APC所成角为，则 （2） ，设A1到平面PAC的距离为d,则22ap=(a1,a2,a3)(a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)=a1a2b3-a1a3b2+a2a3b1-a1a2b3+a1a3b2-a2a3b1=0ap,同理bp,且a,b不共线 即p为平面OAB为法向量。（2）（3）设C到平面OAB的距离为h（即为平行六面体的高）。 与平面OAB所成角为 则V=Sh=|ab|c|sin,又(ab)c=|ab|c|cos=|ab|c|(sin),|(ab)c|=|ab|c|sin,即V=|(ab)c|