1、高考资源网（） 您身边的高考专家高中同步测试卷(八)单元检测平面向量的数量积及平面向量应用举例(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知向量a(1，2)，2ab(3，1)，则ab()A2 B3 C4 D52已知非零向量a，b，若(a2b)(a2b)，则等于()A B4 C. D23已知|a|6，|b|3，ab12，则a在b方向上的投影是()A4 B4 C2 D24若|a|2，|b|4，且(ab)a，则a与b的夹角为()A. B. C. D5已知a，b均为单位向量，它们的夹角为，那么|a3b|等
2、于()A. B. C. D46平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(2)()0，则ABC的形状为()A直角三角形 B等边三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形7一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A2 B2 C2 D68在ABC中，M是BC的中点，AM1，点P在AM上且满足2，则()等于()A. B. C D9已知向量(2，2)，(4，1)，在x轴上存在一点P使有最小值，则P点的坐标是()A(3，0) B(2，0) C(3，0) D(4，0)10在ABC中，A60，A的平分线交B
3、C于点D，若AB4，且(R), 则AD的长为()A2 B3 C4 D511设向量a(1，3)，b(2，4)若表示向量4a，3b2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c为()A(1，1) B(1，1) C(4，6) D(4，6)12已知ABC中，点D在BC边上，且2，rs，则rs的值是()A. B. C3 D0题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13已知向量a(6，2)与b(3，k)的夹角是钝角，则k的取值范围是_14.如图所示，在ABC中，C90且ACBC4，点M满足3，则_15一个重20 N的物体从倾斜角30，斜
4、面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是_16关于平面向量a，b，c，有下列三个命题：若abac，则bc.若a(1，k)，b(2，6)，ab，则k3.非零向量a和b满足|a|b|ab|，则a与ab的夹角为60.其中真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知单位向量m和n的夹角为60.(1)试判断2nm与m的关系并证明；(2)求n在nm方向上的投影18(本小题满分12分)已知e1、e2是夹角为120的两个单位向量，a3e12e2，b2e13e2.(1)求ab的值；(2)求ab与ab的夹
5、角的大小19.(本小题满分12分)已知三角形ABC三顶点坐标为A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)(1)求2的模；(2)求cosBAC；(3)试判断ABC的形状20(本小题满分12分)设向量a，b满足|a|b|1，且|3a2b|.(1)求a与b夹角的大小；(2)求ab与b夹角的大小；(3)求的值21.(本小题满分12分)如图，在直角三角形ABC中，已知BCa，若长为2a的线段PQ以A为中点，问与的夹角取何值时，的值最大，并求出这个最大值22(本小题满分12分)如图，在ABC中，0，|8，|6，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点(1)求的值；(2)判断的值是
6、否为一个常数，并说明理由参考答案与解析1导学号19460046解析：选D.因为a(1，2)，2ab(3，1)，所以b2(1，2)(3，1)(1，3)，所以ab(1，2)(1，3)1(1)235，故选D.2解析：选D.因为(a2b)(a2b)，所以(a2b)(a2b)0，所以a24b2，所以|a|2|b|，2，故选D.3解析：选A.因为cosa，b，所以向量a在向量b方向上的投影为|a|cosa，b64，故选A.4导学号19460047解析：选A.因为(ab)a，所以(ab)aa2ab0，即aba24，所以cosa，b，又a，b0，所以a，b，故选A.5解析：选C.因为|a3b|2|a|2|3b
7、|22a3b，所以|a3b|21923cos13，所以|a3b|.6解析：选D.()()0，()()0，220，所以|.故选D.7解析：选A.因为力F1，F2，F3是向量，由题意知F3F1F2，平方得|F3|2|F1|2|F2|22F1F2|F1|2|F2|22|F1|F2|cos 60416828，所以|F3|2，故选A.8导学号19460048解析：选A.由2，知P为ABC的重心，则2，则()2|cos 021.9解析：选C.设P点坐标为(x，0)，则(x2，2)，(x4，1)(x2)(x4)(2)(1)x26x10(x3)21.当x3时，有最小值1.所以点P的坐标为(3，0)，故选C.1
8、0解析：选B.由于B、C、D三点线，所以，于是43，3()，即3，又AD平分A，所以3.所以AC12，于是有212242241227，所以|3.故选B.11解析：选D.依题可知4a(3b2a)c0，所以c2a4a3b2a3b2(1，3)3(2，4)(4，6)，故选D.12导学号19460049解析：选D.，所以，所以，所以，又rs，所以r，s，所以rs0，故选D.13解析：ab6(3)2k182k0，所以k9，当k1时，b(3，1)(6，2)a，即a、b反向共线，所以k9且k1.答案：k9且k114解析：()24.答案：415导学号19460050解析：法一：由力的正交分解知识可知沿斜面下滑的
9、分力大小|F|20 N10 N，所以W|F|s|10 J.法二：由斜面高为 m，知W|G|h20 J10 J.答案：10 J16解析：命题明显错误由两向量平行的充要条件得162k0，k3，故命题正确由|a|b|ab|，再结合平行四边形法则可得a与ab的夹角为30，命题错误答案：17解：(1)(2nm)m，证明如下：(2nm)m2nmm22cos 6010，所以(2nm)m.(2)|nm|2n2m22|n|m|cos 603，所以|nm|，所以n在nm方向上的投影为.18解：(1)ab(3e12e2)(2e13e2)6e13e1e26e613cos 1206.(2)设ab与ab的夹角为，即cos
10、 0，所以90，即ab与ab的夹角为90.19导学号19460051解：(1，1)，(1，5)，(2，4)(1)22(1，1)(1，5)(1，7)，|2|5.(2)cosBAC.(3)因为(1，1)(2，4)20，所以，的夹角ABC为钝角，故ABC为钝角三角形20解：(1)设a与b的夹角为，(3a2b)29|a|24|b|212ab7，又|a|b|1，所以ab，所以|a|b|cos ，即cos .又0，所以a与b的夹角为.(2)设ab与b的夹角为，因为(ab)bb2ab1，|ab|，|b|1，所以cos ，又0，所以ab与b的夹角为.(3)(3ab)29|a|26ab|b|293113，(3a
11、b)29|a|26ab|b|29317，所以.21解：以直角顶点为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，设ABc，ACb，则A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，且PQ2a，BCa，设点P(x，y)，则Q(x，y)，所以(xc，y)，(x，yb)，(c，b)，(2x，2y)，所以(xc)(x)y(yb)(x2y2)cxby.所以cos ，所以cxbya2cos ，所以a2a2cos ，故当cos 1，即0(与的方向相同)时，最大，其最大值为0.22导学号19460052解：(1)以点D为坐标原点，BC所在直线为x轴，l所在直线为y轴建立直角坐标系(图略)，则D(0，0)，B(5，0)，C(5，0)，A，此时，(10，0)，所以(10)014.(2)设点E的坐标为(0，y)(y0)，此时，所以(10)014为常数，故的值是一个常数高考资源网版权所有，侵权必究！