1、第6讲空间向量及其运算基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1在下列命题中：若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得pxaybzc.其中正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3解析a与b共线，a，b所在直线也可能重合，故不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a，b都共面，故错误；三个向量a，b，c中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p
2、才能表示为pxaybzc，故不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.答案A2已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值可以是 ()A2， B，C3,2 D2,2解析ab，bka，即(6,21,2)k(1,0,2)，解得或答案A3(2014济南月考)O为空间任意一点，若，则A，B，C，P四点()A一定不共面 B一定共面C不一定共面 D无法判断解析，且1.P，A，B，C四点共面答案B4已知a(2,1,3)，b(1,2,1)，若a(ab)，则实数的值为()A2 B C. D2解析由题意知a(ab)0，即a2ab0，1470，2.答案D5A，B，C，D是空间不共面的四点，且满
3、足0，0，0，M为BC中点，则AMD是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定解析M为BC中点，()()0.AMAD，AMD为直角三角形答案C二、填空题6(2014连云港质检)在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是_解析设M(0，y,0)，则(1，y,2)，(1，3y,1)，由题意知|，12y22212(3y)212，解得y1，故M(0，1,0)答案(0，1,0)7若三点A(1,5，2)，B(2,4,1)，C(a,3，b2)在同一条直线上，则a_，b_.解析(1，1,3)，(a1，2，b4)，因为三点共线，
4、所以存在实数使，即解得a3，b2.答案328.如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos的值为_解析设a，b，c，由已知条件，且|b|c|，a(cb)acab|a|c|a|b|0，cos0.答案0三、解答题9已知a(1，3,2)，b(2,1,1)，点A(3，1,4)，B(2，2,2)(1)求|2ab|；(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得b(O为原点)?解(1)2ab(2，6,4)(2,1,1)(0，5,5)，故|2ab|5.(2)令t(tR)，所以t(3，1,4)t(1，1，2)(3t，1t,42t)，若b，则b0，所以2(3t)(1t)(42t)0，解得t.因
5、此存在点E，使得b，此时E点的坐标为.10.如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心，(1)试证：A1，G，C三点共线；(2)试证：A1C平面BC1D.证明(1)，可以证明：()，即A1，G，C三点共线(2)设a，b，c，则|a|b|c|a，且abbcca0，abc，ca，(abc)(ca)c2a20，因此，即CA1BC1，同理CA1BD，又BD与BC1是平面BC1D内的两相交直线，故A1C平面BC1D.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1有下列命题：若pxayb，则p与a，b共面；若p与a，b共面，则pxayb；若xy，则P，M，A，B共面；若P，M，
6、A，B共面，则xy.其中真命题的个数是()A1 B2 C3 D4解析其中为真命题答案B2已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为()Aa2 B.a2 C.a2 D.a2解析设a，b，c，则|a|b|c|a，且a，b，c三向量两两夹角为60.(ab)，c，(ab)c(acbc)(a2cos 60a2cos 60)a2.答案C二、填空题3.已知在一个60的二面角的棱上，如图有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB4 cm，AC6 cm，BD8 cm，则CD的长为_解析设a，c，d，由已知条件|a|4，|c|6，|d|8，90，90，60，|2|2|cad|2a2c2d22ac2ad2cd16366426868，则|2.答案2 cm三、解答题4.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)；(2)；(3)EG的长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值解设a，b，c.则|a|b|c|1，60，(1)ca，a，bc，(a)a2ac，(2)(ca)(bc)(bcabc2ac)；(3)abacbabc，|2a2b2c2abbcca，则|.(4)bc，ba，cos，由于异面直线所成角的范围是，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
