1、高二数学（理科）参考答案 第 1 页 （共 4 页）桂林市 20202021 学年度下学期期末质量检测 高二年级数学（理科）参考答案及评分标准 题号123456789101112答案BBACAACBBDBA13.10014.5i15.116.2 717.（本小题满分 10 分）解:（1）由题意知6212 31661,0,1,2,3,4,5,6;rrrrrrTCxC xrx2 分令1233r,得3r,4分所以含 x3 的项为3334620TC xx.6 分（2）由知1230r,得4r,8 分所以常数项为45615TC10 分18（本小题满分 12 分）解:（1）即 391f xxx,239fxx
2、；2 分则 23kf,20f,4 分故所求切线方程为32yx,即36yx.6 分（2）2329fxxax,由题知10f,解得3a ,8 分则 323910f xxxx,2369313fxxxxx,9 分当 13x 时 0fx,当3x 时 0fx 11 分所以当3x 时 f x 取极小值 317f 12 分高二数学（理科）参考答案 第 2 页 （共 4 页）19.（本小题满分 12 分）解：（1）由已知得,11B C 平面11ABB A,1 分BE 平面11ABB A,故11BCBE2 分又1BEEC,所以 BE 平面11EB C4 分（2）由知190BEB.由题设知11Rt ABERt A B
3、 E,所以45AEB,故 AEAB,12AAAB5 分以 D 为坐标原点,DA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz,则C(0,1,0),B(1,1,0),1 0,1,2C,1,0,1E,1,0,0CB,1,1,1CE,10,0,2CC 6 分设平面 EBC的法向量为111,nx y z,则00CB nCE n即11110,0,xxyz所以可取0,1,1n 8 分设平面1ECC 的法向量为222,mxy z,则100CCmCE m,即22220,0,zxyz可取1,1,0m 10 分于是1cos,2|n mn mnm 11 分所以,二面角1BECC的余弦值为12.12
4、 分20.（本小题满分 12 分）解:（1）当1n时,;1,21111aasa1 分当2n时,;23,2222221aasaa2 分当3n时,;47,32333321aasaaa3 分当4n时,.815,424444321aasaaaa4 分由此猜想).(2121Nnannn5 分高二数学（理科）参考答案 第 3 页 （共 4 页）（2）证明:当1n时,11 a猜想成立.6 分 假设)1(Nkkkn且时,猜想立,即,2121kkka7 分 那么1 kn时,11112(1)22,kkkkkkkaSSkakaaa .2122212222111kkkkkkaa10 分 当1 kn时,猜想成立.11
5、分 由知猜想121()2nnnanN 成立.12 分21.（本小题满分 12 分）解:（1）记“3 次投篮的人依次是甲,甲,乙”为事件 A,2 分 依题意,得 122339P A 3 分 3 次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是 29.4 分（2）由题意 X 可能取值为 0,1,2,3,则 2121250323239P X,2111211323333P X,1122233327P X,1111333327P X；9 分 所以,分布列为 X 0 1 2 3 P 59 13 227 127 所以 X 的期望512116012393272727E X 12 分 22.（本小题满分 12 分）解:（1）
6、axxf 1)(0 x)1 分()f x 在,0单调递增,0 xf在,0恒成立 3 分xa1在,0恒成立,0a4 分高二数学（理科）参考答案 第 4 页 （共 4 页）（2）设()()1 ln2g xh xxax,1()2g xax,5 分 当0a 时,令1()20=g xax得:12xa,6 分 1(0,),()0,()2xg xg xa单调递增,1(,),()0,()2xg xg xa单调递减,若1()02ga,()0h x 恒成立,()h x 无极值；若1()02ga,1()02ha,而21212()0()2ln10ahhaeeaa ，,此时()h x 有两个极值点；故0a 不符合题意.
7、7 分 当0a 时,1(0,)xe,()0h x,()h x 单调递减,1(,)xe,()0h x,()h x 单调递增,所以()h x 有唯一极小值点 1e,11()h ee 8 分当0a 时,()0g x 恒成立,()()g xh x单调递增；取b 满足102ba 且210be时,()0h b,而12()0ah ee,此时由零点存在定理知:()0h x 有唯一的零点0 x,()h x 只有一个极值点0 x,且01(0,)xe，由题知20000()lnh xxxax,又000()1 ln20h xxax,001(1 ln)2axx,00000000111()ln(1 ln)ln222h xxxxxxxx,10 分设11()ln22u xxxx,1()ln2u xx,当1(0,)xe,()0u x,()u x 单调递减,11()()u xu ee,01()h xe 成立综上,()h x 只有一个极值点0 x 时,a 的取值范围为(,0,且01()h xe.12 分