1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。12.2充要条件的应用充要条件：若pq且qp，则记作pq，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？提示：p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；而p的充要条件是q说明q是条件，p是结论1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题()提示：p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”，是相互等价的命题 (2)设xR，则“x1”是“|x|1”的必
2、要而不充分条件()提示：由|x|1，解得x1或x1，故“x1”是“|x|1”的充分不必要条件 (3)若a0，b0，则“ab4”是“ab4”的充分不必要条件. ()提示：因为 a0，b0，若ab4，所以 2 ab4.所以 ab4，此时充分性成立当a0，b0，ab4时，令a4，b1，则ab54，这与ab4矛盾，因此必要性不成立综上所述，当a0，b0时，“ab4”是“ab4”的充分不必要条件2“x22 017”是“x22 016”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.若x22 017，因为2 0172 016，故x22 016，故“x22 017
3、”可以推出“x22 016”，取a22 016.5，则a22 016，a22 017不成立，所以 “x22 016”可以推不出“x22 017”，所以“x22 017”是“x22 016”的充分不必要条件3方程x22xa0有实根的充要条件是_，它的一个充分不必要条件可以是_【解析】因为方程x22xa0有实根，所以0，即(2)24a0，解得a1，反之，当a1时，0，则方程x22xa0有实根，所以a1是方程x22xa0有实根的充要条件，当a1时，方程x22x10有实根x1，而当方程x22xa0有实根时不一定是a1，所以a1是方程x22xa0有实根的一个充分不必要条件答案：a1a1(答案不唯一)类型
4、一充要条件的判断(逻辑推理)应用定义判断充要条件【典例】1.“m”是“一元二次方程x2xm0无实数解”的()A充分不必要条件 B充要条件C.必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【思路导引】由方程无实数解，先得出m的范围，再判断【解析】选B.方程x2xm0无实数解14m0m.2(2021成都高二检测)设a0，b0，则“lg (ab)0”是“lg (ab)0”的()A.充分不必要条件 B必要不充分条件C.充分必要条件 D既不充分也不必要条件【思路导引】注意前提条件，应用充要条件的定义判断【解析】选A.因为lg (ab)0，所以ab1，a0，b0，显然a，b中至少有一个大于1，如果都小于等于1，根
5、据不等式的性质可知：乘积也小于等于1，与乘积大于1不符故由lg (ab)0lg (ab)0，由lg (ab)0，可得ab1，a，b与1的关系不确定，故由lg (ab)0推不出lg (ab)0，当然可以举特例：如ab，符合ab1，但是不符合ab1，因此“lg (ab)0”是“lg (ab)0”的充分不必要条件本例1中“m”若换为“m”，其他条件不变，结论又如何呢？【解析】选D.方程x2xm0无实数解14m0m，所以方程x2xm0无实数解不能推出m，而m也不能推出方程x2xm0无实数解，所以“m”是“一元二次方程x2xm0无实数解”的既不充分也不必要条件借助集合间的关系判断充要条件【典例】已知集合
6、Ax|lg x0，Bx|2x4，Cx|(x4)(x2)0，则“x(AB)”是“xC”的()A.充分不必要条件 B必要不充分条件C.充要条件 D既不充分也不必要条件【思路导引】求出集合，判断集合AB与C的关系【解析】选A.因为Ax|x1，Bx|x2，故AB，又因为Cx|2x4，所以(AB)C，故“x(AB)”是“xC”的充分不必要条件 1命题的条件和结论间的充分性、必要性的分类与判断(1)p是q的充分必要条件(充要条件)，即 pq且qp.(2)p是q的充分不必要条件，即pq且qD/p.(3)p是q的必要不充分条件，即pD/q且qp.(4)p是q的既不充分又不必要条件，即pD/q且qD/p.2从集
7、合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件p表示的集合为A，q表示的集合为B.若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件若AB，则p，q互为充要条件 1“x1且x2”是“x23x20”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】选C.x23x20，即(x2)(x1)0，所以x1或x2.因为当x1或x2时，x23x20，所以“x23x20”是“x1或x2”的充要条件，那么“x1且x2”是“x23x20”的充要条件2已知条件p：|x1|2，条件q：x25x60，则p是q的()A充要条件
8、 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件【解析】选B.条件p：|x1|2，即1x3，条件q：x25x60，即1x6.所以p是q的充分不必要条件3设xR，则“x1”是“x31”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】选C.由于函数yx3在R上是增函数，所以当x1时，x31成立，反过来，当x31时，x1也成立故“x1”是“x31”的充要条件4设a，b是实数，则“ab0”是“ab0”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】选D.本题采用特殊值法：当a3，b1时，ab0，但ab0，故不是充分条件；当a3，
9、b1时，ab0，但ab0，故不是必要条件所以“ab0”是“ab0”的既不充分也不必要条件【补偿训练】 1.设p：|x|30，q：x2x0，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件【解析】选A.使p成立的x的集合为Ax|x3或x3，使q成立的x的集合为Bx|x或x，因为AB，即若xA，则xB.但xB不一定有xA，所以p是q的充分不必要条件2设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】选C.因为点A，B，C不共线，由向量加法的三角形法则，可知，所以|等价于|，因为模为正
10、，故不等号两边平方得2|cos 2|cos (为与的夹角)，整理得4|cos 0，故cos 0，即为锐角又以上推理过程可逆，所以“与的夹角为锐角”是“|”的充分必要条件类型二利用充分条件和必要条件确定参数的取值范围(数学运算、逻辑推理)【典例】(2020邢台高二检测)设p：|4x3|1；q：x2(2a1)xa2a0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围 利用充分条件和必要条件确定参数的取值范围的策略(1)如果条件p与结论q是否成立都与数集有关(例如方程、不等式的解集、参数的取值范围等)，常利用集合法来分析条件的充分性与必要性，将充要条件的讨论转化为集合间的包含关系讨论，可借助数轴等工具
11、进行(2)用集合的关系判断充要条件时，关键抓住已知Ax|p(x)，Bx|q(x)，则ABp是q的充分条件，q是p的必要条件已知命题p：x22x30；命题q：xa，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是_【解析】由x22x30，得x3或x1，由q是p的充分不必要条件，故a1.答案：1，)【拓展延伸】判断p是q的充分必要条件的两种思路(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断pq及qp这两个命题是否成立，若pq成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若qp成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、
12、充要条件，当不容易判断pq及qp的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的【拓展训练】1设an是等比数列，则“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】选C.an为等比数列，ana1qn1.由a1a2a3得a1a1qa1q2，即a10，q1或a10，0q1，则数列an为递增数列反之也成立2“x0”是“ln (x1)0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】选B.由ln (x1)0得0x11，所以1x0，即(1
13、，0)(，0)，所以“x0”是“ln (x1)0”的必要不充分条件类型三充要条件的证明(逻辑推理、数学抽象)【典例】已知x，y都是非零实数，且xy，求证：的充要条件是xy0.【思路导引】充要条件的证明可用其定义，即条件结论且结论条件如果每一步的推出都是等价的()，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“”写出证明【证明】方法一：(充分性)由xy0及xy，得，即，(必要性)由，得0，即0.因为xy，所以yx0，所以xy0.所以的充要条件是xy0.方法二：00.由条件xyyx0，故由0xy0.所以xy0，即的充要条件是xy0. 充要条件的证明思路(1)在证明有关充要条件的问题时，通常从“充分性”和“
14、必要性”两个方面来证明在证明时，要注意：若证明“p的充要条件是q”，那么“充分性”是qp，“必要性”是pq；若证明“p是q的充要条件”，则与之相反(2)证明充要条件问题，其实质就是证明一个命题的原命题和其逆命题都成立若不易直接证明，可根据命题之间的关系进行等价转换，然后加以证明【提醒】证明时一定要注意证明的方向性，分清充分性与必要性的证明方向试证：一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.【证明】必要性：因为方程ax2bxc0有一正根和一负根，所以b24ac0，x1x20(x1，x2为方程的两根)，所以ac0.充分性：由ac0可推得b24ac0及x1x20(x1，x2为方程
15、的两根)，所以方程ax2bxc0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2bxc0有一正根和一负根综上所述，一元二次方程ax2bxc0有一正根和一负根的充要条件是ac0.【补偿训练】 求证：1是关于x的方程ax3bx2cxd0的根的充要条件是ab(cd).【证明】(1)充分性：因为ab(cd)，所以abcd0，所以a13b12c1d0成立，即1是关于x的方程ax3bx2cxd0的根(2)必要性：由1是关于x的方程ax3bx2cxd0的根，得abcd0，即ab(cd).综上所述，1是关于x的方程ax3bx2cxd0的根的充要条件是ab(cd).备选类型充要条件的探求(数学抽象、逻辑推理)【典例】若
16、集合A，B，试写出：(1)ABR的一个充要条件；(2)ABR的一个必要不充分条件【解析】因为集合A，B，所以集合A，B，(1)若ABR，则m2，故ABR的一个充要条件是m2.(2)由(1)知ABR的充要条件是m2，所以ABR的一个必要不充分条件可以是m3.(答案不唯一) 探求一个命题成立的充要条件的两种处理方法(1)先由结论寻找使之成立的必要条件，再验证它也是使结论成立的充分条件，即保证充分性和必要性都成立(2)变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件设集合Ax|2a1x3a5，Bx|y，则A(AB)的充要条件为_；A(AB)的一个充分不必要条件可为_(写出一个即可).
17、【解析】A(AB)AB，Bx|3x22若A，则2a13a5，解得a6；若A，则AB解得6a9.综上可知，A(AB)的充要条件为a9；A(AB)的一个充分不必要条件可为6a9(答案不唯一).答案：a96a9(答案不唯一)1“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】选C.因为“三角形的三条边相等”可以证明出“三角形为等边三角形”， “三角形为等边三角形”也可以证明出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件2(2020北京高考) 已知，R，则“存在kZ，使得k(1)k”是
18、“sin sin ”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【命题意图】考查三角函数诱导公式，充分、必要条件【解析】选C.若存在kZ，使得k(1)k，则有sin sin 是显然的；反之若sin sin ，则2k或2k，即k(1)k(kZ).3已知p：xk；q：1.若p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是()A2，) B(2，)C(1，) D(，1【解析】选B.由1，得0，解得x2或x1，即q：x2或x1.由p是q的充分不必要条件知x|xkx|x2或x1，所以k2.4(教材二次开发：习题改编)“ab”是“a|b|”的()A充分不必要条件 B必要不充
19、分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】选B.当ab时，a|b|不一定成立，如a1，b2；当a|b|时，ab成立，故选B.5若集合A1，m2，B2，4，则“m2”是“AB4”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)【解析】当AB4时，m24，所以m2.所以“m2”是“AB4”的充分不必要条件答案：充分不必要6(2021乐山高二检测)设p：xa，q：x3.(1)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围；(2)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围；(3)若a是方程x26x90的根，判断p是q的什么条件【解析】设Ax|xa，Bx|x3(1)若p是q的必要不充分条件，则有BA，所以a的取值范围为a|a3(3)因为方程x26x90的根为x3，则有AB，所以p是q的充要条件关闭Word文档返回原板块
