1、第七节正弦定理和余弦定理1正弦定理2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形：(1)abcsin_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C.2余弦定理a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形：cos A，cos B，cos C.3三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)；(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(abc)(r为三角形的内切圆半径)1由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断2在判断三角形形状时，等式
2、两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解试一试1.如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则sin C的值为()A.B.C. D.解析：选D设BD1，则ABAD，BC2.在ABD中，解得sin A，在ABC中，由正弦定理，得sin C，故选D.2在ABC中，若a18，b24，A45，则此三角形有()A无解 B两解C一解 D解的个数不确定解析：选B，sin Bsin Asin 45，sin B.又a0)，则b3t，c7t，可得cos C，故C.答案：考点一利用正弦、余弦定理解三角形典例(2013山东高考)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
3、且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值解(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac(1cos B)，又b2，ac6，cos B，所以ac9，解得a3，c3.(2)在ABC中，sin B ，由正弦定理得sin A.因为ac，所以A为锐角所以cos A.因此sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.类题通法1应熟练掌握正、余弦定理及其变形解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷2已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函
4、数值的有界性和大边对大角定理进行判断针对训练(2014豫东、豫北十校联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点(a，b)在直线4xcos Bycos Cccos B上(1)求cos B的值；(2)若3，b3，求a和c.解：(1)由题意得4acos Bbcos Cccos B，由正弦定理得4sin Acos Bsin Bcos Csin Ccos B，即4sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C，所以4sin Acos Bsin(CB)sin A，又sin A0，所以cos B.(2)由3得accos B3，又cos B，所以ac12.由b2a2c22accos
5、 B，b3可得a2c224，所以(ac)20，即ac.所以ac2.考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状典例在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin Bsin C，试判断ABC的形状解(1)2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，cos A，A60.(2)ABC180，BC18060120.由sin Bsin C，得sin Bsin(120B)，sin Bsin 120cos Bcos 120sin B.sin Bcos
6、B，即sin(B30)1.又0B120，30B30150，B3090，即B60.ABC60，ABC为正三角形在本例条件下，若sin Bsin Csin2A，试判断ABC的形状.解：由正弦定理，得bca2，又b2c2a2bc，b2c22bc.(bc)20.即bc，又A60，ABC是等边三角形类题通法判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断提醒：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范
7、围对三角函数值的影响针对训练(2013陕西高考)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形 D不确定解析：选B依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，有sin(BC)sin2A，从而sin(BC)sin Asin2A，解得sin A1，A，故选B.考点三与三角形面积有关的问题典例(2013北京海淀模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A2B，sin B.(1)求cos A及sin C的值；(2)若b2，求ABC的面积解(1)因为
8、A2B，所以cos Acos 2B12sin2B.因为sin B，所以cos A12.由题意可知，A2B,0A，所以0B.所以cos B.因为sin Asin 2B2sin Bcos B.所以sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B.(2)因为，b2，所以.所以a.所以ABC的面积SABCabsin C.类题通法三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化针对训练在ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c
9、，coscos.(1)求角C的大小；(2)若c2且sin A2sin B，求ABC的面积解：(1)coscos，2cos Ccos，cos C，在ABC中，0C，C.(2)sin A2sin B，a2b，c2a2b22abcos C，(2)24b2b222b23b2，b2，a4.SABCabsin C2.课堂练通考点1(2014安庆模拟)在ABC中，AB12，sin C1，则abc等于 ()A123B321C12 D21解析：选C由sin C1，C，由AB12，故AB3A，得A，B，由正弦定理得，abcsin Asin Bsin C112.2在ABC中，若sin2 Asin2Bsin2C，则A
10、BC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定解析：选C由正弦定理得a2b2c2，所以cos C1.角B不存在，即满足条件的三角形不存在3在ABC中，若lg sin Alg cos Blg sin Clg 2，则ABC的形状是()A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形解析：选D由条件得2，即2cos Bsin Csin A.由正、余弦定理得，2ca，整理得cb，故ABC为等腰三角形4(2013全国卷)已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2Acos 2A0，a7，c6，则b()A10 B9C8 D5解析：选D化简23cos2Aco
11、s 2A0，得23cos2A2cos2 A10，解得cos A.由余弦定理，知a2b2c22bccos A，代入数据解方程，得b5.5在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若b2asin B，则角A的大小为_解析：由正弦定理得sin B2sin Asin B，sin B0，sin A，A30或A150.答案：30或1506(2014广东重点中学联考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的值为_解析：由正弦定理得，即(cos A3cos C)sin B(3sin Csin A)cos B，化简可得，sin(AB)3sin(BC)，又知ABC，所以sin C3si
12、n A，因此3.答案：37(2013湖北高考)在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求sin Bsin C的值解：(1)由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.(2)由Sbcsin A bcbc5 ，得bc20，又b5，知c4.由余弦定理得a2b2c22bccos A25162021，故a.从而由正弦定理得sin B sin Csin Asin Asin2A.8在ABC中，内角
13、A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan Atan C)tan Atan C.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若a1，c2，求ABC的面积S.解：(1)证明：在ABC中，由于sin B(tan Atan C)tan Atan C，所以sin B，因此sin B(sin Acos Ccos Asin C)sin Asin C，所以sin Bsin(AC)sin Asin C.又ABC，所以sin(AC)sin B，因此sin2Bsin Asin C.由正弦定理得b2ac，即a，b，c成等比数列(2)因为a1，c2，所以b，由余弦定理得cos B，因为0B，所以sin B
14、，故ABC的面积Sacsin B12.第卷：提能增分卷1(2014江西省七校联考)已知在ABC中，C2A，cos A，且227.(1)求cos B的值；(2)求AC的长度解：(1)C2A，cos Ccos 2A2cos2A1，sin C，sin A.cos Bcos(AC)sin Asin Ccos Acos C.(2)，ABBC.227，cos B，|24，BC216，AB6，AC5.2在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c ，且a2(bc)2(2)bc，sin Asin Bcos2，BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小；(2)求ABC的面积解：(1)由a2(bc)2(
15、2)bc，得a2b2c2bc，cos A，又0A，A.由sin Asin Bcos2，得sin B，即sin B1cos C，则cos C0，即C为钝角，B为锐角，且BC，则sin1cos C，化简得cos1，解得C，B.(2)由(1)知，ab，由余弦定理得AM2b222bcos Cb2()2，解得b2，故SABCabsin C22.3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2bc)cos Aacos C0.(1)求角A的大小；(2)若a，SABC，试判断ABC的形状，并说明理由解：(1)法一：由(2bc)cos Aacos C0及正弦定理，得(2sin Bsin C)cos Asin Acos C0，2sin Bcos Asin(AC)0，sin B(2cos A1)0.0B，sin B0，cos A.0A，A.法二：由(2bc)cos Aacos C0，及余弦定理，得(2bc)a0，整理，得b2c2a2bc，cos A，0A，A.(2)ABC为等边三角形SABCbcsin A，即bcsin，bc3，a2b2c22bccos A，a，A，b2c26，由得bc，ABC为等边三角形