1、专题4 三角函数与平面向量第18练 解三角形问题正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，而解三角形问题是高考每年必考的热点问题之一.命题的重点主要有三个方面：一是以斜三角形为背景求三角形的基本量、求三角形的面积、周长、判断三角形形状等；二是以实际生活为背景，考查解三角形问题；三是与其他知识的交汇性问题，此类试题一直是命题的重点和热点.题型分析 高考展望 体验高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 12345解析 由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C，即13AC292AC3cos 120，化简得AC23AC40，解得AC1或AC4(舍去).1.(2016天津改编
2、)在ABC 中，若 AB 13，BC3，C120，则 AC等于_.112345解析答案 解析 设BC边上的高线AD交BC于点D，2.(2016课标全国丙改编)在ABC 中，B4，BC 边上的高等于13BC，则cos A 等于_.由题意 B4，BD13BC，DC23BC，tanBAD1，tanCAD2，tan A121123，所以 cos A 1010.101012345解析答案 又bc2，b22bcc24，b2c252.由余弦定理得，a2b2c22bccos A 3.(2015天津)在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为 3 15，bc2，cos A1
3、4，则 a 的值为_.解析 cos A14，0A，sin A 154.SABC12bcsin A12bc 154 3 15，bc24.5222414 64，a8.812345解析答案 4.(2015广东)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a 3，sin B12，C6，则 b_.解析 因为 sin B12且 B(0，)，所以 B6或 B56.又 C6，所以 B6，ABC23.又 a 3，由正弦定理得 asin A bsin B，即3sin 23 bsin6，解得 b1.112345解析答案 5.(2016北京)在ABC 中，a2c2b2 2ac.(1)求B 的大小；解
4、由 a2c2b2 2ac 得 a2c2b2 2ac.由余弦定理得 cos Ba2c2b22ac 2ac2ac 22.又 0B，所以 B4.12345解析答案(2)求 2cos Acos C 的最大值.返回 高考必会题型 题型一 活用正弦、余弦定理求解三角形问题 即b26b80，b4或b2，又bc，b2.例 1(1)(2015广东改编)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a2，c2 3，cos A 32 且 bc，则 b 等于_.解析 由余弦定理a2b2c22bccos A，得4b2122b2 3 32，2解析答案 解析答案(2)(2016课标全国乙)ABC的内角A，B，
5、C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos Bbcos A)c.求C；故 2sin Ccos Csin C.可得 cos C12，所以 C3.解 由已知及正弦定理得，2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C,2cos Csin(AB)sin C，解析答案 点评 若 c 7，ABC 的面积为3 32，求ABC 的周长.解 由已知，得12absin C3 32，又 C3，所以 ab6，由已知及余弦定理得，a2b22abcos C7，故a2b213，从而(ab)225.所以ABC 的周长为 5 7.解析答案 在ABC中，sin A0，变式训练 1 设ABC 的内角
6、 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 bsin A 3acos B.(1)求角 B 的大小；解 bsin A 3acos B，由正弦定理得 sin Bsin A 3sin Acos B.即得 tan B 3.B(0，)，B3.解析答案(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值.即 9a24a22a2acos 3，解 sin C2sin A，由正弦定理得c2a，由余弦定理b2a2c22accos B，解得 a 3，c2a2 3.题型二 正弦、余弦定理的实际应用 例2 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里
7、的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？解析答案 点评(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.解析答案 解析答案 变式训练2 为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10米到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是_米.得BCsinBDCCDsinDBC，
8、解得 BC10 2米，解析 由题意可得，BCD 9015105，CD10，BDC45，CBD30.在BCD中，由正弦定理，在 RtABC 中，塔 AB 的高是 10 6米.10 6题型三 解三角形与其他知识的交汇 例 3 设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 cosA22 55，A B AC3.(1)求ABC 的面积；解析答案 解 cosA22 55，cos A2cos2A2135，sin A45，又A B AC3，得 bccos A3bc5SABC12bcsin A2.点评(2)求a的最小值.a2b2c22bccos Ab2c22535，解析答案 解 bc5，a2
9、b2c26，a2b2c26b2c26a22bc10.amin2.当且仅当 bc 5时，a 有最小值 2.(1)求A；变式训练 3(2015陕西)ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.向量 m(a，3b)与 n(cos A，sin B)平行.解析答案 解 因为 mn，所以 asin B 3bcos A0，由正弦定理，得 sin Asin B 3sin Bcos A0，又 sin B0，从而 tan A 3.由于 0A，所以 A3.返回(2)若 a 7，b2，求ABC 的面积.解析答案 高考题型精练 12345678910 11 12解析答案 1.(2015北京改编)在ABC 中
10、，a4，b5，c6，则sin 2Asin C 等于_.解析 由余弦定理，得 cos Ab2c2a22bc253616256 34，sin A 74，cos Ca2b2c22ab162536245 18，sin C3 78，sin 2Asin C 234 743 781.1 12345678910 11 12解析答案 解析 由3sin A2sin B，得3a2b，2.(2015重庆改编)设ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a2，cos C14，3sin A2sin B，则 c 等于_.b32a3223，在ABC 中，由余弦定理，得 c2a2b22abcos C223222
11、314 16，解得 c4.412345678910 11 12解析答案 3.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且abc，a2b2c2，则角A的取值范围是_.所以 cos Ab2c2a22bc0，所以 A 为锐角，解析 因为a2b2c2，又因为abc，所以A为最大角，所以角 A 的取值范围是3，2.3，212345678910 11 12解析答案 4.在ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asin Absin Bcsin C，则ABC的形状是_三角形.由余弦定理得 cos Ca2b2c22ab0，解析 根据正弦定理可得a2b2c2.故C是钝角.钝角12345
12、678910 11 12解析答案 解析 设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，5.在ABC 中,ACAB|ACAB|3,ABC 的面积的最大值为_.AC AB|AC AB|3，又 cos Ab2c2a22bc1 92bc13cos A2，cos A25，0sin A 215，ABC 的面积 S12bcsin A32tan A32 212 3 214，故ABC 面积的最大值为3 214.3 21412345678910 11 12解析答案 解析 若x1，则ABC为直角三角形，A90.6.在ABC 中，已知 a2，bx，B30.如果 x1，则A_；如果 x2 33，则A_.若 x2 33，则由正
13、弦定理或余弦定理可解得A60或 120.90 60或120 12345678910 11 12解析答案 7.(2016课标全国甲)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若cos A45，cos C 513，a1，则 b_.解析 在ABC 中由 cos A45，cos C 513，可得 sin A35，sin C1213，sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C6365，由正弦定理得 basin Bsin A 2113.211312345678910 11 12解析答案 从而BAD15DAC，所以C1801203030，8.(2015重庆)在ABC 中，B
14、120，AB 2，A 的角平分线 AD 3，则 AC_.解析 在ABD 中，由正弦定理得ABsinADB ADsin B，即2sinADB3sin 120，解得 sinADB 22，ADB45，AC2ABcos 30 6.612345678910 11 129.(2015课标全国)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_.解析 答案(6 2，6 2)12345678910 11 1210.设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 A3，a 3，则 b2c2 的取值范围为_.解析 答案(3,612345678910 11 12解析答案(1)证明：ab2
15、c；11.(2016山东)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2(tan Atan B)tan Acos Btan Bcos A.证明 由题意知，2sin Acos Asin Bcos B sin Acos Acos Bsin Bcos Acos B.化简得2(sin Acos Bsin Bcos A)sin Asin B，即2sin(AB)sin Asin B，因为ABC，所以sin(AB)sin(C)sin C，从而sin Asin B2sin C，由正弦定理得ab2c.12345678910 11 12解析答案(2)求cos C的最小值.解 由(1)知 cab2，
16、所以 cos Ca2b2c22aba2b2ab222ab38abba 1412，当且仅当 ab 时，等号成立，故 cos C 的最小值为12.12345678910 11 12解析答案(1)证明：sin Asin Bsin C；12.(2016四川)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且cos Aacos Bbsin Cc.解析答案 返回 12345678910 11 12由(1)，知sin Asin Bsin Acos Bcos Asin B，(2)若 b2c2a265bc，求 tan B.解 由已知，b2c2a265bc，根据余弦定理，有 cos Ab2c2a22bc35.所以 sin A 1cos2A45.所以45sin B45cos B35sin B，故 tan Bsin Bcos B4.